Из условия равновесия поршня находим давление газа: $$p_1=p_0+\cfrac{Mg}{S}\tag{1}=p_0(1+\alpha)=1{.}99\times 10^5~\text{Па}{.} $$

На первой стадии газ сожмется и разогреется до некоторой температуры. Ввиду того, что стенки сосуда и поршень изготовлены из материала, который плохо проводит тепло, сжатие газа можно считать адиабатическим, но сам процесс не является равновесным и к нему нельзя применять уравнение адиабаты. При переходе из начального состояния в конечное над системой «поршень + газ» внешние силы (сила тяжести и атмосферное давление) совершили работу: $$A=Mg(H-H_1)+p_0S(H-H_1)=(Mg+p_0S)(H-H_1){.}\tag{2} $$ По условию только половина этой работы идёт на увеличение внутренней энергии газа $$\Delta{U}=\cfrac{A}{2}, \tag{3} $$ где $$\Delta{U}=\cfrac{\nu R}{\gamma-1}(T_1-T_0){,}\tag{4} $$ здесь $\nu$ — число моль, $R$ — универсальная газовая постоянная. Запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного состояний $$p_0SH=\nu RT_0{,}\tag{5} $$ $$\left(p_0+\cfrac{Mg}{S}\right)SH_1=\nu RT_1{.}\tag{6} $$ Решая систему уравнений $(2)-(6)$, получим $$T_1=T_0\left(1+\cfrac{\gamma-1}{\gamma+1}\cfrac{Mg}{p_0S}\right)=T_0\left(1+\cfrac{\gamma-1}{\gamma+1}\alpha\right)=317~\text{К}{,}\tag{7} $$ $$H_1=\cfrac{H}{(1+Mg/(p_0S))}\left(1+\cfrac{\gamma-1}{\gamma+1}\cfrac{Mg}{p_0S}\right)=\cfrac{H}{1+\alpha}\left(1+\cfrac{\gamma-1}{\gamma+1}\alpha\right)=17{.}7~\text{см}\tag{8} $$

Так как поршень продолжает находиться в положении равновесия, то давление $$p_2=p_0+\frac{Mg}{S}=p_0(1+\alpha)=1{.}99\times 10^5~\text{Па}{.}\tag{9} $$

Через достаточно большой промежуток времени температура газа внутри сосуда сравняется с температурой окружающей среды, то есть станет равной $$T_2=T_0=273~\text{К}{.}\tag{10} $$

Высота $H_2$ находится с помощью $(9)$ и $(10)$, а также уравнения состояния газа $$H_2=\cfrac{p_0S}{p_0S+Mg}H=\cfrac{H}{1+\alpha}=15{.}2~\text{см}{.}\tag{11} $$

Уравнение адиабаты имеет вид $$pV^{\gamma}=\operatorname{const}{,}\tag{12} $$ отсюда получаем: $$dp=-\gamma p\cfrac{dV}{V}{.}\tag{13} $$ Пусть поршень отклонился от положения равновесия на маленькую высоту $x$, тогда согласно $(13)$ изменение давления равно $$\delta p=-\gamma p_2\cfrac{x}{H_2}=-\gamma\cfrac{(p_0S+Mg)^2}{p_0S^2H}x{.}\tag{14} $$ Уравнение движения поршня записывается так $$M\ddot{x}=-\delta pS=-\gamma\cfrac{(p_0S+Mg)^2}{p_0SH}x{,}\tag{15} $$ откуда находим циклическую частоту малых колебаний: $$\omega=(p_0S+Mg)\sqrt{\cfrac{\gamma}{p_0SHM}}=(1+\alpha)\sqrt{\cfrac{\gamma g}{\alpha H}}=13{.}5~\text{Гц}{.}\tag{16} $$

При движении с постоянной скоростью поршень продолжает находиться в положении равновесия, поэтому давление $$p_3=p_0+\frac{Mg}{S}=p_0(1+\alpha)=1{.}99\times 10^5~\text{Па}{,}\tag{17} $$ то есть $$A=p_0, \qquad f(\alpha)=1+\alpha{.}\tag{18} $$

Пусть в сосуде установится некоторая температура. Должен соблюдаться баланс числа частиц и энергии. Закон сохранения числа частиц имеет вид $$\cfrac{p_0+\cfrac{Mg}{S}}{k_BT_3}uS=\cfrac{p_0+\cfrac{Mg}{S}}{k_BT_3}\sqrt{\cfrac{8k_BT_3}{\pi m}}S_O-\cfrac{p_0}{k_BT_0}\sqrt{\cfrac{8k_BT_0}{\pi m}}S_O{.}\tag{19} $$ В законе сохранения энергии надо учесть не только кинетическую, но и вращательную энергию каждой молекулы. Поэтому полная энергия, переносимая каждой молекулой, равна $$W_{tot}=\overline{W}+W_{rot}=2k_BT+k_BT=3k_BT{,}\tag{20} $$ тогда закон сохранения энергии записывается в виде $$(p_0S+Mg)u=\cfrac{p_0+\cfrac{Mg}{S}}{k_BT_3}\sqrt{\cfrac{8k_BT_3}{\pi m}}3k_BT_3S_O-\cfrac{p_0}{k_BT_0}\sqrt{\cfrac{8k_BT_0}{\pi m}}3k_BT_0S_O{.}\tag{21} $$ Решая совместно $(18)$ и $(19)$, окончательно получим $$u=\cfrac{6S_O}{S}\sqrt{\cfrac{2RT_0}{\mu\pi}}\left((\alpha+1)\sqrt{4+2\alpha+\alpha^2}-(2+2\alpha+\alpha^2)\right)=1{.}91\times 10^{-3}~\text{м}/\text{с}{,}\tag{22} $$ то есть $$B=\cfrac{6S_O}{S}\sqrt{\cfrac{2RT_0}{\mu\pi}}, \qquad g(\alpha)=(\alpha+1)\sqrt{4+2\alpha+\alpha^2}-(2+2\alpha+\alpha^2){.}\tag{23} $$

Для температуры имеем: $$T_3=T_0\left(5+4\alpha+2\alpha^2-2(\alpha+1)\sqrt{4+2\alpha+\alpha^2}\right)=116~\text{К}{,}\tag{24} $$ то есть $$C=T_0, \qquad h(\alpha)=5+4\alpha+2\alpha^2-2(\alpha+1)\sqrt{4+2\alpha+\alpha^2}{.}\tag{25} $$