Logo
Logo

Равновесие с энергетической точки зрения

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

Zh16
0.0
Сумма баллов
1  1.00 Докажите, что изменение поверхностной энергии на границе жидкости и твердого тела определяется формулой
$$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\Delta S, \tag{1}$$
где $\Delta S$ — изменение площади соприкосновения жидкости с твердым телом.

1. 1 Записано равенство проекций сил: $(\sigma_2-\sigma_1)\Delta l=\sigma_0\Delta l\cos\theta$ 0.50
1. 2 Корректное доказательство 0.50
2.1  0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

2.1. 1 $\Delta U_S = -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi R\Delta h$ 0.50
2.2  0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном
поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

2.2. 1 $\Delta U_G=\pi R^2 \Delta h \rho gh$ 0.50
2.3  1.00 Используя принцип минимума потенциальной энергии, найдите высоту подъема воды в трубке $h_0$ в состоянии равновесия. Рассчитайте численное значение этой величины.

2.3. 1 $h_0=\cfrac{2\sigma_0\cos\theta}{\rho gR}$ 0.70
2.3. 2 $h_0 = 14~\text{мм}$ 0.30
3.1  0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

3.1. 1 Ответ в любом виде:
$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi r \cdot \cfrac{\Delta h}{\cos\alpha}$,
$\Delta U_S = -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi (R-h\operatorname{tg}\alpha) \cdot \cfrac{\Delta h}{\cos\alpha}$,
$\Delta U_S \approx -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi (R-h\alpha) \cdot \Delta h$ 		0.50
3.2  0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

3.2. 1 Ответ в любом виде:
$\Delta U_G=\pi r^2 \cdot \Delta h\rho gh$,
$\Delta U_G=\pi (R-h\operatorname{tg}\alpha) ^2 \cdot \Delta h\rho gh$,
$\Delta U_G=\pi (R-h\alpha) ^2 \cdot \Delta h\rho gh$ 		0.50
3.3  1.00 Получите уравнение для определения высоты подъема воды в трубке $h_1$ в состоянии равновесия и выразите параметры этого уравнения через $\sigma_0$, $\theta$, $\alpha$ и найденную в п.2.3 высоту $h_0$.

3.3. 1 Получено квадратное уравнение, коэффициенты выражены через $\sigma_0$, $\theta$, $\alpha$, $h_0$. Засчитывается в любой из следующих форм:
$-h^2 \cfrac{\sin \alpha}{R} + h \cos \alpha - h_0 = 0$,
$-h^2 \cfrac{\alpha}{R} + h - h_0 = 0$ 		1.00
3.4  1.00 Пусть угол $\alpha=1.1\cdot 10^{-2}~рад$. Трубку частично заполняют водой до некоторого уровня $H$. Найдите зависимость установившейся высоты уровня воды в трубке от $H$.

3.4. 1 Найдены корни квадратного уравнения, анализ устойчивости:
\begin{cases}
h_1 = 17~\text{мм} - устойчивое\\
h_2 = 74~\text{мм} - неустойчивое
\end{cases} 		4 × 0.15
3.4. 2 При $H < h_2 = 74~\text{мм}$ уровень установится на $h_1 = 17~\text{мм}$,
при $H > h_2$ трубка заполнится доверху. 		2 × 0.20
3.5  1.00 Укажите диапазон углов $\alpha$ (и его численные значения) при котором вода полностью заполнит трубку.

3.5. 1 Идея: вода заполнит трубку, если $\Delta U / \Delta h$ всюду отрицательное, т.е. когда уравнение на $h$ не имеет корней, т.е. когда его дискриминант $<0$ 0.40
3.5. 2 Условие отрицательного дискриминанта сведено к одному из неравенств:
$\sin ^2 \alpha + \cfrac{4h_0}{R} \sin \alpha - 1 > 0$
или $\cfrac{4h_0 \alpha}{R} > 1$ 		0.20
3.5. 3 $\sin\alpha > \cfrac{R}{4h_0}$ 0.30
3.5. 4 $\sin\alpha > 0.018$ 0.10
4.1  3.00 При каком минимальном значении радиусов отверстий вода начнет вытекать из бутылки?

4.1. 1 Идея: капля надувается, пока $\Delta U_S+\Delta U_G < 0$ 1.20
4.1. 2 $R_{min}=\sqrt{\cfrac{6 \sigma_0}{\rho g}}$ 1.50
4.1. 3 $R_{min}=6.6~\text{мм}$ 0.30