Pho.rs: Равновесие с энергетической точки зрения

1 ^1.00 Докажите, что изменение поверхностной энергии на границе жидкости и твердого тела определяется формулой $$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\Delta S, \tag{1}$$ где $\Delta S$ — изменение площади соприкосновения жидкости с твердым телом.

1 Записано равенство проекций сил: $(\sigma_2-\sigma_1)\Delta l=\sigma_0\Delta l\cos\theta$	0.50
2 Корректное доказательство	0.50

2.1 ^0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

1 $\Delta U_S = -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi R\Delta h$

0.50

2.2 ^0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

1 $\Delta U_G=\pi R^2 \Delta h \rho gh$

0.50

2.3 ^1.00 Используя принцип минимума потенциальной энергии, найдите высоту подъема воды в трубке $h_0$ в состоянии равновесия. Рассчитайте численное значение этой величины.

1 $h_0=\cfrac{2\sigma_0\cos\theta}{\rho gR}$	0.70
2 $h_0 = 14~\text{мм}$	0.30

3.1 ^0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

1 Ответ в любом виде: $\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi r \cdot \cfrac{\Delta h}{\cos\alpha}$, $\Delta U_S = -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi (R-h\operatorname{tg}\alpha) \cdot \cfrac{\Delta h}{\cos\alpha}$, $\Delta U_S \approx -\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi (R-h\alpha) \cdot \Delta h$

0.50

3.2 ^0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

1 Ответ в любом виде: $\Delta U_G=\pi r^2 \cdot \Delta h\rho gh$, $\Delta U_G=\pi (R-h\operatorname{tg}\alpha) ^2 \cdot \Delta h\rho gh$, $\Delta U_G=\pi (R-h\alpha) ^2 \cdot \Delta h\rho gh$

0.50

3.3 ^1.00 Получите уравнение для определения высоты подъема воды в трубке $h_1$ в состоянии равновесия и выразите параметры этого уравнения через $\sigma_0$, $\theta$, $\alpha$ и найденную в п.2.3 высоту $h_0$.

1 Получено квадратное уравнение, коэффициенты выражены через $\sigma_0$, $\theta$, $\alpha$, $h_0$. Засчитывается в любой из следующих форм: $-h^2 \cfrac{\sin \alpha}{R} + h \cos \alpha - h_0 = 0$, $-h^2 \cfrac{\alpha}{R} + h - h_0 = 0$

1.00

3.4 ^1.00 Пусть угол $\alpha=1.1\cdot 10^{-2}~рад$. Трубку частично заполняют водой до некоторого уровня $H$. Найдите зависимость установившейся высоты уровня воды в трубке от $H$.

1 Найдены корни квадратного уравнения, анализ устойчивости: \begin{cases} h_1 = 17 \text{мм} - устойчивое\\ h_2 = 74 \text{мм} - неустойчивое \end{cases}	4 × 0.15
2 При $H < h_2 = 74~\text{мм}$ уровень установится на $h_1 = 17~\text{мм}$, при $H > h_2$ трубка заполнится доверху.	2 × 0.20

3.5 ^1.00 Укажите диапазон углов $\alpha$ (и его численные значения) при котором вода полностью заполнит трубку.

1 Идея: вода заполнит трубку, если $\Delta U / \Delta h$ всюду отрицательное, т.е. когда уравнение на $h$ не имеет корней, т.е. когда его дискриминант $<0$	0.40
2 Условие отрицательного дискриминанта сведено к одному из неравенств: $\sin ^2 \alpha + \cfrac{4h_0}{R} \sin \alpha - 1 > 0$ или $\cfrac{4h_0 \alpha}{R} > 1$	0.20
3 $\sin\alpha > \cfrac{R}{4h_0}$	0.30
4 $\sin\alpha > 0.018$	0.10

4.1 ^3.00 При каком минимальном значении радиусов отверстий вода начнет вытекать из бутылки?

1 Идея: капля надувается, пока $\Delta U_S+\Delta U_G < 0$	1.20
2 $R_{min}=\sqrt{\cfrac{6 \sigma_0}{\rho g}}$	1.50
3 $R_{min}=6.6~\text{мм}$	0.30

Равновесие с энергетической точки зрения

Разбалловка