Pho.rs: Равновесие с энергетической точки зрения

Условие

Edu

Zh16

Широко известен общий физический принцип — всякая система стремится к уменьшению своей потенциальной энергии, а устойчивому положению равновесия соответствует состояние с минимальным ее значением.

В данной задаче рассматривается взаимодействие жидкости с поверхностью твердого тела.
Для описания такого взаимодействия вводят следующие параметры:
$\sigma_0$ — поверхностное натяжение на границе жидкости с газом;
$\sigma_1$ — поверхностное натяжение на границе жидкости с твердым телом;
$\sigma_2$ — поверхностное натяжение на границе твердого тела с газом;
$\theta$ — краевой угол (угол смачивания).
Величины $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ имеют смысл поверхностной энергии, приходящейся на единицу площади контакта сред.
Во всех частях задачи используйте следующие численные значения для воды:
поверхностное натяжение $\sigma_0=0.072~\frac{Н}{м}$;
краевой угол $\theta=20^{\circ}$;
плотность жидкости $\rho=1.0\cdot 10^3~\frac{кг}{м^3}$;
ускорение свободного падения $g=9.8~\frac{м}{с^2}$.

1. Введение

1 ^1.00 Докажите, что изменение поверхностной энергии на границе жидкости и твердого тела определяется формулой
$$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\Delta S, \tag{1}$$
где $\Delta S$ — изменение площади соприкосновения жидкости с твердым телом.

2. Вода в вертикальной цилиндрической трубке

Открытая трубка с внутренним радиусом $R=1.0~мм$ опущена вертикально так, что ее нижний конец касается поверхности воды.
Пусть уровень воды в трубке находится на некоторой высоте $h$, не обязательно соответствующей положению равновесия.

2.1 ^0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

2.2 ^0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном
поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

2.3 ^1.00 Используя принцип минимума потенциальной энергии, найдите высоту подъема воды в трубке $h_0$ в состоянии равновесия. Рассчитайте численное значение этой величины.

Вода в вертикальной конической трубке

В воду вертикально опущена длинная коническая трубка, так что ее нижний конец опущен в воду. Внутренний радиус трубки в ее нижнем основании равен $R=1.0~мм$, а в верхнем основании — близок к нулю. Стенки трубки составляют угол $\alpha$ с вертикалью.

Внимание: В дальнейшем изменение поверхностной энергии на границе жидкости и воздуха не учитывайте.

Пусть уровень воды в трубке находится на некоторой высоте $h$, не обязательно соответствующей положению равновесия.

3.1 ^0.50 Запишите формулу для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

3.2 ^0.50 Запишите формулу для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$.

3.3 ^1.00 Получите уравнение для определения высоты подъема воды в трубке $h_1$ в состоянии равновесия и выразите параметры этого уравнения через $\sigma_0$, $\theta$, $\alpha$ и найденную в п.2.3 высоту $h_0$.

3.4 ^1.00 Пусть угол $\alpha=1.1\cdot 10^{-2}~рад$. Трубку частично заполняют водой до некоторого уровня $H$. Найдите зависимость установившейся высоты уровня воды в трубке от $H$.

3.5 ^1.00 Укажите диапазон углов $\alpha$ (и его численные значения) при котором вода полностью заполнит трубку.

Вытекание воды

Бутылка заполнена водой и перевернута вертикально пробкой вниз. В пробке проделаны два одинаковых круглых отверстия, радиусы которых равны $R$.

4.1 ^3.00 При каком минимальном значении радиусов отверстий вода начнет вытекать из бутылки?

Математические подсказки

Небольшую выпуклость сферической формы можно приближенно описать функцией
$$z=h\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right),$$
где $R$ — радиус выпуклости, $h$ — ее высота, причем $h\ll R$.
Тогда с точностью до малых величин высшего порядка: площадь ее сферической части равна
$$S=\pi(R^2+h^2),$$
а потенциальная энергия в поле тяжести
$$U=\frac{\pi R^2 h^2}{6}\rho g.$$