Изменение поверхностной энергии взаимодействия жидкости с твердым телом можно представить в виде
$$\Delta U_S=-(\sigma_2-\sigma_1)\Delta S. \tag{1}$$
Рассматривая малый отрезок $\Delta l$ на границе капли можно записать условие его равновесия
$$(\sigma_2-\sigma_1)\Delta l=\sigma_0\Delta l\cos\theta. \tag{2}$$
Из этих формул следует, что
$$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\Delta S. \tag{3}$$

Формула для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$ имеет вид
$$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\cdot \Delta S=-\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi R\Delta h, \tag{4}$$
где $\Delta S=2\pi R\Delta h$ — изменение площади соприкосновения жидкости с внутренней поверхностью трубки.

Формула для изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$ записывается в виде
$$\Delta U_G=\pi R^2 \Delta h \rho gh. \tag{5}$$
При ее выводе учтено, что масса жидкости $\Delta m=\pi R^2\Delta h\rho$ поднимается на высоту $h$.

Если $|\Delta U_S|$ превышает величину $\Delta U_G$, то энергия системы при подъеме жидкости будет уменьшаться, следовательно жидкость будет продолжать подъем, в противном случае жидкость начнет опускаться. Вблизи положения равновесия суммарное изменение энергии должно быть равно нулю, отсюда следует, что
$$\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi R\Delta h=\pi R^2\Delta h\rho gh \Rightarrow h_0=\frac{2\sigma_0\cos\theta}{\rho gR}. \tag{6}$$
Подстановка численных значений приводит к результату
$$h_0=\frac{2\sigma_0\cos\theta}{\rho gR}=\frac{2\cdot 0.071\cdot\cos 20^{\circ}}{1.0\cdot 10^3\cdot 9.8\cdot 1.0\cdot 10^{-3}}=1.4\cdot 10^{-2}~м=14~мм. \tag{7}$$

В этом случае формула для изменения поверхностной энергии $\Delta U_S$ системы при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$ имеет вид
$$\Delta U_S=-\sigma_0\cos\theta\cdot \Delta S=-\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi r\frac{\Delta h}{\cos\alpha}. \tag{8}$$
Здесь $r=R-h\operatorname{tg}\alpha$ — радиус трубки на высоте $h$.

Изменение потенциальной энергии жидкости в поле тяжести $\Delta U_G$ при дополнительном поднятии воды в трубке на малую высоту $\Delta h$ определяется формулой
$$\Delta U_G=\pi r^2\Delta h\rho gh. \tag{9}$$

Как и ранее, условию равновесия соответствует равенство модулей найденных изменений энергии
$$\sigma_0\cos\theta\cdot 2\pi r\frac{\Delta h}{\cos\alpha}=\pi r^2\Delta h\rho gh. \tag{10}$$
Подставляя выражение для радиуса трубки на высоте $h$, получим уравнение
$$\frac{2\sigma_0\cos\theta}{R-h\operatorname{tg}\alpha}=\rho gh\cos\alpha, \tag{11}$$
в котором легко выделить параметр
$$\frac{2\sigma_0\cos\theta}{\rho gR\left(1-\frac{h}{R}\operatorname{tg}\alpha\right)}=h\cos\alpha \Rightarrow \frac{h_0}{1-\frac{h}{R}\operatorname{tg}\alpha}=h\cos\alpha. \tag{12}$$

Вода полностью заполнит трубку при любом начальном $H$, если уравнение $(12)$ корней не имеет. Это условие будет выполняться при
$$h_0 > \frac{R}{4\operatorname{tg}\alpha}\cos\alpha, \tag{14}$$
или
$$\sin\alpha > \frac{R}{4h_0}=0.018.$$

Вода начнет вытекать через отверстие только тогда, когда поверхность воды в отверстиях потеряет устойчивость. Это произойдет, если уменьшение потенциальной энергии в поле тяжести земли превысит по модулю увеличение поверхностной энергии. Это условие выражается неравенством
$$2\sigma_0\pi h^2 < 2\frac{\pi R^2h^2}{6}\rho g, \tag{15}$$
из которого следует
$$R > \sqrt{\frac{6\sigma_0}{\rho g}}=6.6~мм. \tag{16}$$