Через достаточно большое время сила тока в цепи станет равной нулю, то есть конденсатор полностью зарядится
$$I=0. \tag{1}$$Все напряжение источника будет падать на конденсатор, емкость которого при напряжении $U_0=5~В$ равна
$$C=0.10~мкФ. \tag{2}$$Отсюда заряд конденсатора находится по формуле
$$q=CU_0=0.50~мкКл. \tag{3}$$
Поскольку ток в цепи конечен, а заряд конденсатора до $U_0=10~В$ потребует бесконечного заряда, то время зарядки равно.
$$t=\infty. \tag{4}$$
Пусть конденсатор имеет заряд $q$ и его емкость при этом равна $C$, тогда для последовательной цепи имеем
$$U_0=\frac{q}{C}+IR, \tag{5}$$где сила тока в цепи равна
$$I=\frac{dq}{dt}. \tag{6}$$Подставляя $(6)$ в $(5)$, перепишем его в виде
$$dt=\frac{R}{U_0-\frac{q}{C(q)}}dq=f(q)dq, \tag{7}$$где $f(q)=R/(U_0-\frac{q}{C(q)})$ — некоторая функция от заряда конденсатора.
Функция $f(q)$ легко строится графически по заданной функции $C=C(U)$ и имеет линейный вид, показанный на рисунке.
Уравнение прямой имеет вид
$$f(q)=a+bq, \tag{8}$$$$a=0.10~\frac{мс}{мкКл}, \tag{9}$$$$b=0.20~\frac{мс}{(мкКл)^2}. \tag{10}$$Время, через которое заряд конденсатора станет равным $q=4~мкКл$, определяется в соответствии с $(7)$ и $(8)$ формулой
$$t=aq+\frac{1}{2}bq^2=2.0~мс. \tag{11}$$
Аналогично определяется время $\Delta t$, в течении которого заряд на конденсаторе увеличится с $q_0=4~мкКл$ до $q=8~мкКл$
$$t=(q-q_0)\left(a+\frac{1}{2}b(q+q_0)\right)=5.2~мс. \tag{12}$$
Решая обратную задачу, из формулы $(11)$ находим
$$q_{1/2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+2bt}}{b}. \tag{13}$$Очевидно, что в начальный момент времени $q(0)=0$, поэтому в формуле $(13)$ следует выбрать знак плюс, откуда
$$q=\frac{\sqrt{a^2+2bt}-a}{b}=5.0~мкКл. \tag{14}$$
В обычном конденсаторе заряд прямо пропорционален напряжению, то есть
$$q=CU, \tag{15}$$а сила тока в цепи определяется выражением
$$I=\frac{dq}{dt}=C\frac{dU}{dt}\sim \frac{dU}{dt}. \tag{16}$$Так как конденсатор и сопротивление включены последовательно, то сила тока в них одинакова, а колебания напряжения на сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями тока. Подстановка $U\sim \omega t$ дает $I\sim\cos\omega t=\sin(\omega t-\frac{\pi}{2})$, то есть разность фаз колебаний напряжений между конденсатором и сопротивлением составляет $\varphi=-\frac{\pi}{2}$.
В нашей схеме имеется нелинейный конденсатор, однако пропорциональность в формуле $(16)$ сохраняется, так как колебания напряжения малы по сравнению с подаваемым постоянным напряжением, поэтому
$$\varphi=-\frac{\pi}{2}. \tag{17}$$
Приложенное напряжение имеет постоянную и переменную составляющие. Через достаточно большое время постоянная составляющая напряжения будет целиком падать на конденсаторе, то есть
$$U_C=5.000~В, \tag{18}$$а на сопротивлении постоянная составляющая напряжения будет равна нулю
$$U_R=0. \tag{19}$$В нашем случае емкость зависит от напряжения, поэтому $(16)$ переписывается в виде
$$I=\frac{dq}{dt}=C(U)\frac{dU}{dt}+U\frac{dC(U)}{dU}\frac{dU}{dt}=C_{eff}\frac{dU}{dt}, \tag{20}$$где эффективная емкость конденсатора
$$C_{eff}=C(U)+U\frac{dC(U)}{dU}=0.200~мкФ. \tag{21}$$Известно, что сопротивление конденсатора переменному току равно
$$X_C=\frac{1}{\omega C_{eff}}. \tag{22}$$Для вычисления силы тока воспользуемся векторной диаграммой, показанной на рисунке для последовательного соединения сопротивления и конденсатора.
Из нее следует, что амплитуда силы тока равна
$$I=\frac{\delta U}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2C^2_{eff}}}}=44.7~мкА, \tag{23}$$а сдвиг фаз $\alpha$ между током в цепи и напряжением равен
$$\alpha=\operatorname{arctg}\left(\frac{U_C}{U_R}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\omega C_{eff}R}\right)=1.11~рад=63.4^{\circ}. \tag{24}$$Окончательно, зависимость силы тока от времени имеет вид
$$I(t)=[44.7\sin(2500t+1.1)]~мкА. \tag{25}$$
Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе находится из векторной диаграммы и равна
$$U_C=\delta U\sin\alpha. \tag{26}$$Окончательно, с учетом постоянной составляющей напряжения, получаем
$$U_C(t)=U_C+\delta U\sin\alpha\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)= \\ =[5.000+0.089\sin(2500t-0.464)]~В. \tag{27}$$