Pho.rs: Реактивное движение

1. ^0.50 Найдите зависимость скорости ракеты $v$ от ее массы $m$. Эта формула называется формулой Циолковского. Ответ выразите через $m$, $m_0$, $u$.

1 Записан ЗСИ $m~\mathrm dv-\mathrm dm~u=0$	0.25
2 Ответ $v=u\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$	0.25

2. ^0.50 Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до первой космической скорости. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом, если $u=5.00~км/с$, ускорение свободного падения $g=9.80~м/с^2$, радиус Земли $R=6400~км$.

1 Формула для первой космической скорости $v_1=\sqrt{gR}$	0.25
2 Численный ответ $m_0=m\exp\left(\frac{v}{u}\right)=4.87\times 10^3~кг$	0.25

3. ^0.75 Запишите уравнение движения ракеты в гравитационном поле Земли. Это уравнение называется уравнением Мещерского. Ответ выразите через $m$, $v$, $u$, $g$, $\mu$.

1 Закон изменения импульса $m~\mathrm dv-\mathrm dm~u=F~\mathrm dt$	0.25
2 $m\dot v=F-\mu u$	0.25
3 Уравнение движения $m\dot v=mg-\mu u$	0.25

4. ^0.75 Найдите, как расход топлива $\mu_{st}(t)$ должен зависеть от времени $t$, чтобы ракета висела на одной высоте неподвижно. Ответ выразите через $m_0$, $u$, $g$, $t$.

1 Условие «зависания» $\mu g=\dot\mu u$	0.25
2 Начальное условие $\mu(0)=m_0g/u$	0.25
3 Ответ $\mu(t)=\frac{m_0g}{u}\exp\left(-\frac{gt}{u}\right)$	0.25

5. ^2.00 Тогда зависимость скорости ракеты $v(t)$ от времени $t$ может быть представлена в виде
$$v(t)=A_1t+A_2\ln(1+A_3t),$$где $A_1$, $A_2$, $A_3$ — некоторые постоянные.
Найдите $A_1$, $A_2$, $A_3$ и выразите их через $m_0$, $u$, $g$, $\mu$.

1 Приравнивание коэффициентов полинома по времени к нулю	0.50
2 $A_1=-g$	0.50
3 $A_2=-u$	0.50
4 $A_3=-\frac{\mu}{m_0}$	0.50

6. ^1.00 Пусть начальная масса ракеты равна $m_0$, а конечная масса — $m$. Найдите максимальную высоту $H_{\max}$, которую может достигнуть ракета и соответствующий расход топлива $\mu_{opt}$. Ответ выразите через $m_0$, $m$, $u$, $g$.

1 Оптимум – топливо сгорает мгновенно, $\mu_{opt}=\infty$	0.50
2 Скорость у поверхности $v=u\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$	0.25
3 Ответ $H_{\max}=\frac{u^2}{2g}\ln^2\left(\frac{m_0}{m}\right)$	0.25

7. ^2.50 Найдите связь ускорения ракеты в сопутствующей системе отсчета $a_p$ с ее ускорением в лабораторной системе отсчета $a_r$, если скорость ракеты в данный момент времени равна $v$, а скорость света — $c$. Ответ выразите через $a_p$, $a_r$, $v$, $c$.

1 Преобразование скоростей $w=\cfrac{v+v^{\prime}}{1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}}$	0.50
2 Приращения скоростей связаны как $\mathrm dw=\cfrac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left[1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}\right]^2}\mathrm dv^{\prime}$	0.50
3 Преобразование Лоренца для времени $t=\cfrac{t^{\prime}+\frac{vx^{\prime}}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$	0.50
4 Приращения времён связаны как $\mathrm dt=\mathrm dt^{\prime}~\cfrac{1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$	0.50
5 Ответ $a_r=\left(1-\cfrac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}a_p$	0.50

8. ^1.50 Пусть ракета в начальный момент времени покоится. Тогда используя результаты предыдущего пункта можно показать, что масса ракеты в некоторый момент времени в сопутствующей системе отсчета связана с ее скоростью в лабораторной системе соотношением
$$m=m_0\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)^\alpha.$$Найдите $\alpha$ и выразите его через $u$, $c$.

1 M1 При выводе релятивистского уравнения Циолковского учтено замедление времени в сопутствующей с.о.	0.50
2 M1 В с.с.о. $a_p=\cfrac{u}{m}\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dt^{\prime}}$	0.25
3 M1 В л.с.о. $\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dv}=\cfrac{m}{u(1-v^2/c^2)}$	0.25
4 M2 Идея искать $\alpha$ переходом к классическому пределу	0.25
5 M2 При $c\to\infty$ $m\approx m_0(1-2v/c)^\alpha$	0.50
6 M2 Предельный переход $(1-x/c)^{cy}\to e^{-xy}~(c\to\infty)$	0.25
7 Ответ $\alpha=\cfrac{c}{2u}$	0.50

9. ^0.25 Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до скорости $v=0.5c$, равной половине скорости света $c=3.00\cdot 10^8~м/с$. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом в виде степени с основанием $10$, если скорость истечения топлива $u=5.00~км/с$.

1 $m_0=10^{28630}~кг$

0.25

10. ^0.25 С точки зрения практики наилучшей является так называемая фотонная ракета, которая выбрасывает назад не раскаленные газы, получаемые при сгорании топлива, а фотоны. Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до скорости $v=0.5c$. Найдите начальную массу фотонной ракеты $m_0$.

1 $m_0=1730~кг$

0.25

Реактивное движение

Разбалловка