Рассмотрим движение ракеты в сопутствующей системе отсчета — инерциальной системе отсчета, которая движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью самой ракеты, то есть в системе отсчета, в которой ракета в данный момент времени покоится. Пусть ракета, имеющая в момент времени $t$ массу $m$, выбрасывает массу $dm$ со скоростью $u$, а ее скорость изменятся на $dv$. Тогда закон сохранения импульса запишется в виде
$$mdv-dmu=0. \tag{1}$$В классической механике изменение скорости ракеты в лабораторной системе отсчета должно совпадать с изменением скорости ракеты в сопутствующей системе отсчета в силу преобразований Галилея. Поэтому, решая уравнение $(1)$ с начальным условием $m=m_0$ при $v=0$, получаем формулу Циолковского
$$v=u\ln\left(\frac{m_0}{m}\right). \tag{2}$$

Известно, что первая космическая скорость на поверхности Земли равна
$$v_1=\sqrt{gR}, \tag{3}$$тогда из формулы $(2)$ находим начальную массу ракеты
$$m_0=m\exp\left(\frac{v}{u}\right)=4.87\times 10^3~кг. \tag{4}$$

Если на ракету действует внешняя сила $F$, то в сопутствующей системе координат полный импульс системы будет изменяться и уравнение $(1)$ перепишется в виде
$$mdv-dmu=Fdt, \tag{5}$$или, используя обозначение $\mu=-dm/dt$, получим
$$m\frac{dv}{dt}=F-\mu u. \tag{6}$$В силу принципа относительности это уравнение не меняет свой вид в произвольной инерциальной системе отсчета и называется уравнением Мещерского.
Подставляя $F=mg$, окончательно получаем
$$m\frac{dv}{dt}=mg-\mu u. \tag{7}$$

Для того, чтобы ракета зависла на постоянной высоте, необходимо, чтобы $v=0$. Подставляя $v=0$ в уравнение $(7)$ и дифференцируя по времени, получаем
$$\mu g=\frac{d\mu}{dt}u, \tag{8}$$отсюда находим с учетом $\mu(0)=m_0g/u$
$$\mu(t)=\frac{m_0g}{u}\exp\left(-\frac{gt}{u}\right). \tag{9}$$

Подставляя $v(t)=A_1t+A_2\ln(1+A_3t)$ и уравнение $m=m_0-\mu t$ в $(7)$, найдем
$$A_1=-g, \tag{10}$$$$A_2=-u, \tag{11}$$$$A_3=-\frac{\mu}{m_0}. \tag{12}$$

Максимальная скорость достигается ракетой, если топливо сгорает практически мгновенно, а при этом и работа силы тяжести оказывается минимально возможной. Таким образом оптимальным расходом топлива является
$$\mu_{opt}=\infty. \tag{13}$$Так как сила тяжести не успевает сказаться, то для скорости ракеты можно использовать формулу Циолковского $(2)$
$$v=u\ln\left(\frac{m_0}{m}\right). \tag{14}$$Значит, максимальная высота полета ракеты равна
$$H_{\max}=\frac{u^2}{2g}\ln^2\left(\frac{m_0}{m}\right). \tag{15}$$

Пусть в системе отсчета, двигающейся со скоростью $v$, движется частица со скоростью $v^{\prime}$. Тогда ее скорость $w$ в покоящейся системе отсчета дается релятивистской формулой сложения скоростей
$$w=\frac{v+v^{\prime}}{1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}}. \tag{16}$$Отсюда находим связь между изменениями скоростей в соответствующих системах отсчета
$$dw=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}\right)^2}dv^{\prime}.\tag{17}$$В соответствии с преобразованиями Лоренца
$$t=\frac{t^{\prime}+\frac{vx^{\prime}}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \tag{18}$$изменения времени в двух системах отсчета связаны соотношением
$$dt=dt^{\prime}\frac{\left(1+\frac{vv^{\prime}}{c^2}\right)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \tag{19}$$Деля уравнения $(17)$ и $(19)$ и полагая $v^{\prime}=0$, окончательно получаем
$$a_r=\frac{dw}{dt}=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}\frac{dv^{\prime}}{dt^{\prime}}=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}a_p. \tag{20}$$

В сопутствующей системе координат движение ракеты является классическим, а ее ускорение определяется выражением
$$a_p=\frac{dv^{\prime}}{dt^{\prime}}=\frac{u}{m}\frac{dm}{dt^{\prime}}. \tag{21}$$Теперь воспользуемся преобразованием ускорения $(20)$ и времени $(19)$ при $v^{\prime}=0$, и получим
$$\frac{dm}{dv}=\frac{m}{u(1-v^2/c^2)}. \tag{22}$$Отсюда находим, что
$$\alpha=\frac{c}{2u}. \tag{23}$$

Вычисления по формуле дают
$$m_0=m\left(\frac{1+v/c}{1-v/c}\right)^{c/2u}=10^{28630}~кг. \tag{24}$$

Вычисления по формуле дают
$$m_0=m\left(\frac{1+v/c}{1-v/c}\right)^{c/2u}=1730~кг. \tag{25}$$