В физике принято соглашение, что линии магнитного поля начинаются на северном полюсе, а заканчиваются на южном. Поэтому, рисунок должен выглядеть так (см. рисунок).
При вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней возникает э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея
$$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(Bax)=Bav(t). \tag{1}$$По закону Ома
$$\varepsilon=IR, \tag{2}$$откуда получаем связь между током и скоростью
$$I(t)=\frac{Bav(t)}{R}. \tag{3}$$На рамку будет действовать сила, которая будет стараться втянуть рамку обратно в магнитное поле магнитов, и равная по закону Ампера
$$F_A(t)=BaI(t)=\frac{B^2a^2v(t)}{R}. \tag{4}$$Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде
$$m\frac{dv(t)}{dt}=F-\frac{B^2a^2v(t)}{R}. \tag{5}$$Решением уравнения $(5)$ с начальным условием $v(0)=0$ является функция
$$v(t)=\frac{FR}{B^2a^2}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right]. \tag{6}$$
Интегрируя $(6)$ по времени, получаем следующую зависимость
$$x(t)=\int\limits_0^t v(t)dt=\frac{FR}{B^2a^2}\left[t+\frac{mR}{B^2a^2}\left(\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)-1\right)\right]. \tag{7}$$Условие выхода рамки за пределы магнита является равенство
$$x(t_0)=a, \tag{8}$$откуда получаем уравнение для $t_0$
$$t_0+\frac{mR}{B^2a^2}\left[\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t_0\right)-1\right]=\frac{B^2a^2}{FR}. \tag{9}$$Уравнение $(9)$ является трансцендентным и не может быть решено аналитически. Для оценки времени воспользуемся тем, что за характерное время $\tau \sim mR/B^2a^2$ установится практически постоянная скорость $v_0=FR/B^2a^2$. Считаем, что в интервале времени от $0$ до $\tau$ рамка движется практически с постоянным ускорением $w=F/m$, а после этого рамка движется с постоянной скоростью $v_0$. Тогда получаем
$$t_0\sim \tau+\frac{a-\frac{wt^2}{2}}{v_0}=\frac{B^2a^2}{FR}+\frac{mR}{2B^2a^2}=10.25~с. \tag{10}$$Отметим, что численное решение уравнения $(9)$ дает $t_0\approx 10.5~с$.
После момента времени $t_0$ рамка продолжает двигаться с постоянным ускорением $w$. При этом скорость должна быть непрерывной функцией времени, поэтому зависимость скорости от времени имеет вид
$$\begin{equation*}
v(t) =
\begin{cases}
\frac{FR}{B^2a^2}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], t < t_0\\
\frac{FR}{B^2a^2}+\frac{F}{m}(t-t_0), t \ge t_0. \tag{11}
\end{cases}
\end{equation*}$$График зависимости имеет вид (см. ответ).
Пока рамка находится внутри магнита, зависимость силы тока определяется уравнениями $(3)$ и $(6)$. После этого, сила тока в рамке обращается в нуль. Таким образом
$$\begin{equation*}
I(t) =
\begin{cases}
\frac{F}{Ba}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], t < t_0\\
0, t \ge t_0. \tag{12}
\end{cases}
\end{equation*}$$График зависимости имеет вид (см. ответ).
Как и прежде, при вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней индуцируется э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея $(1)$. Помимо этого, действует э.д.с. самоиндукции сверхпроводящей рамки
$$\varepsilon_L=-L\frac{dI}{dt}. \tag{13}$$Так как сопротивление сверхпроводящей рамки равно нулю, то закон Ома для рамки примет вид
$$Bav(t)-L\frac{dI}{dt}=0, \tag{14}$$откуда получаем, с учетом того, что $I=0$ при $x=0$,
$$I=\frac{Bax}{L}. \tag{15}$$Соответствующая сила Ампера дается выражением
$$F_A=BaI=\frac{B^2a^2x}{L}. \tag{16}$$Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде
$$m\frac{d^2x}{dt^2}=F-\frac{B^2a^2}{L}x. \tag{17}$$Уравнение $(17)$ представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой
$$\omega=\frac{Ba}{\sqrt{mL}} \tag{18}$$возле нового положения равновесия с координатой
$$x_0=\frac{FL}{B^2a^2}. \tag{19}$$Очевидно, что сила $F$ будет минимальной, когда
$$x_0=a/2, \tag{20}$$откуда
$$F_{\min}\frac{B^2a^2}{2L}=5.00\times 10^{-5}~Н. \tag{21}$$
В условиях предыдущего пункта, рамка достигает края магнита за половину периода, поэтому
$$t_0=\frac{\pi}{\omega}=\pi \frac{\sqrt{mL}}{Ba}=7.02~с. \tag{22}$$
Решением уравнения $(17)$ с начальными условиями $x(0)=0$, $x^{\prime}=0$ является функция
$$x(t)=\frac{F_{\min}L}{B^2a^2}(1-\cos\omega t)=\frac{a}{2}(1-\cos\omega t). \tag{23}$$В соответствии с формулой $(15)$ сила тока изменяется по закону
$$I(t)=\frac{Bax(t)}{L}=\frac{Ba^2}{2L}(1-\cos\omega t). \tag{24}$$Соответствующий график зависимости имеет вид (см. рисунок в ответе).
Закон Ома для рамки имеет вид
$$Bav-L\frac{dI}{dt}=IR, \tag{25}$$а ее уравнение движения записывается так
$$m\frac{dv}{dt}=-BIa. \tag{26}$$Уравнения $(25)$ и $(26)$ переписываются в конечных разностях следующим образом
$$Ba^2-LI_0=qR, \tag{27}$$$$mv_0=Bqa, \tag{28}$$где $q$ — заряд, протекший по цепи.
Решая $(27)$ и $(28)$ совместно, получаем
$$I_0=\frac{B^2a^2-mv_0R}{aBL}. \tag{29}$$