1.  ^2.00 Известно, что большинство атомов стабильно и могут существовать продолжительное время. Это значит, что электрон не может находиться в состоянии покоя, иначе под действием силы притяжения он неминуемо упал бы на протон. Пусть расстояние между электроном и протоном равно $r_0=5.00\times 10^{-11}~м$. Считая применимыми законы классической физики, найдите время падения $t_1$ первоначально покоящегося электрона на протон.

Время падания электрона на протон можно найти по аналогии с третьим законом Кеплера. Рассмотрим круговую орбиту некоторого радиуса $R$, тогда уравнение движения электрона запишется в виде $$m_e\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}, \tag{1}$$ где $T$ — период обращения по орбите. Таким образом, третий закон Кеплера для движения электрона имеет вид $$\frac{a^3}{T^2}=\frac{1}{16\pi^2\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e}, \tag{2}$$ где $a$ — большая полуось эллипса. Рассмотрим падение электрона на протон как движение по очень вытянутому эллипсу с полуосью $a=r_0/2$. Тогда время падения равно половине периода обращения электрона, поэтому $$t_1=\frac{T}{2}=\sqrt{\frac{\pi^3m_e\varepsilon_0r_0^3}{2e^2}}=2.46\times 10^{-17}~с. \tag{3}$$

2.  ^1.00 Найдите скорость движения электрона $v$ в зависимости от радиуса орбиты $r$.

Для нахождения зависимости скорости электрона от радиуса орбиты снова воспользуемся вторым законом Ньютона, который теперь запишем в виде $$m_e\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \tag{4}$$ откуда получаем $$v=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_er}}. \tag{5}$$

3.  ^0.50 Найдите момент импульса движения электрона $L$ в зависимости от радиуса орбиты $r$.

Момент импульса электрона находится из выражения $(5)$ $$L=m_evr=\sqrt{\frac{m_ere^2}{4\pi\varepsilon_0}}. \tag{6}$$

4.  ^0.50 Найдите возможные радиусы орбит электрона $n_r$ в атоме водорода.

Так как согласно постулату Бора момент импульса электрона квантуется, то есть $L=n\hbar$, то из уравнения $(6)$ получаем $$r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0n^2\hbar^2}{m_ee^2}. \tag{7}$$

5  ^0.50 Рассчитайте численное значение минимального радиуса орбиты электрона $r_1$ в атоме водорода.

Из уравнения $(7)$ следует, что минимальному радиусу орбиты соответствует главное квантовое число $n=1$, откуда $$r_1=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=5.19\times 10^{-11}~м. \tag{8}$$

6.  ^1.00 Найдите возможные значения полной энергии электрона $E_n$ в атоме водорода.

Полная энергия электрона в атоме равна сумме кинетической и потенциальной энергий, которая с учетом $(5)$ записывается в виде $$E=\frac{m_ev^2}{2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}. \tag{9}$$ Подставляя возможные значения радиусов орбит $(7)$, немедленно получаем $$E_n=-\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2n^2}. \tag{10}$$

7.  ^0.50 Рассчитайте численное значение минимального значения полной энергии электрона $E_1$ в атоме водорода.

Из уравнения $(10)$ следует, что минимальному значению полной энергии электрона соответствует главное квантовое число $n=1$, откуда $$E_1=-\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2}=-2.24\times 10^{-18}~Дж. \tag{11}$$

8.  ^1.50 Считая, что в момент времени $t=0$ электрон находится на орбите радиусом $r_1$, найдите зависимость радиуса траектории от времени $t$.

Полная энергия электрона $(9)$ тратится на излучение электромагнитных волн, поэтому $$\frac{dE}{dt}=-P. \tag{12}$$ Отсюда получаем уравнение $$r(t)^2\frac{dr(t)}{dt}=-\frac{e^4}{12\pi^2\varepsilon_0^2m_e^2c^3}. \tag{13}$$ Решая уравнение $(13)$ с начальным условием $r(0)=r_1$, получаем $$r(t)=\sqrt[3]{r_1^3-\frac{e^4}{4\pi^2\varepsilon_0^2m_e^2c^3}t}. \tag{14}$$

9.  ^0.50 Найдите и вычислите время падения электрона $\tau_1$ с орбиты радиусом $r_1$ на протон.

Время падения $\tau_1$ определяется из условия $r(t)=0$, откуда $$\tau_1=\frac{4\pi^2m_e^2\varepsilon_0^2c^3r_1^3}{e^4}=\frac{256\pi^5\varepsilon_0^5c^3\hbar^5}{m_e e^{10}}=1.44\times 10^{-11}~с. \tag{15}$$

10.  ^2.00 Сколько оборотов успевает сделать электрон вокруг протона за время падения $\tau_1$?

За малый интервал времени $dt$ электрон совершит поворот на угол $d\varphi$, равный $$d\varphi=\frac{v}{r}dt. \tag{16}$$ Подставляя значение скорости из $(5)$ и выражая $dt$ из $(13)$, находим $$d\varphi=-\frac{6c^3(\pi m_e\varepsilon_0)^{3/2}}{e^3}\sqrt{r}dr. \tag{17}$$ Полный угол поворота $\varphi$ находится интегрированием от $r_1$ до нуля $$\varphi=\int\limits_{r_1}^0 d\varphi=\int\limits_0^{r_1}\frac{6c^3(\pi m_e\varepsilon_0)^{3/2}}{e^3}\sqrt{r}dr=\frac{4c^3(\pi m_e\varepsilon_0r_1)^{3/2}}{e^3}=\frac{32\pi^2\varepsilon_0^3c^3\hbar^3}{e^6}. \tag{18}$$ Тогда полное число оборотов равно $$N=\frac{\varphi}{2\pi}=\frac{16\pi^2 \varepsilon_0^3 c^3\hbar^3}{e^6}=1.96\times 10^5. \tag{19}$$