Рассмотрите метод, часто применяемый для ускорения космических зондов в нужном направлении. Пролетая вблизи планеты, космический зонд может изменить направление полета и значительно увеличить свою скорость на счет незначительной части энергии орбитального движения планеты. Проанализируйте случай космического зонда, пролетающего вблизи Юпитера.
Юпитер вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите, которую можно аппроксимировать окружностью средним радиусом $R$. До начала основной части, предварительно решите две задачи.
Числовые данные: Масса Солнца $M_\text{С}=1{.}991\cdot 10^{30}~\text{кг}$, масса Юпитера $M=1{.}901\cdot 10^{27}~\text{кг}$, средний радиус орбиты Юпитера $R=7{.}783\cdot 10^{11}~\text{м}$, экваториальный радиус Юпитера $R_\text{Ю}=6{.}98\cdot 10^7~\text{м}$, гравитационная постоянная $G=6{.}673\cdot 10^{-11}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot\text{с}^2)$.

Часть A. Равенство сил (1.0 балла)

A1  ^0.50 Определите скорость $v$ движения Юпитера по орбите вокруг Солнца. Выразите ответ через $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.

A2  ^0.50 Найдите расстояние $r_\text{Ю}$ от Юпитера, на котором силы гравитационного взаимодействия зонда с Юпитером и Солнцем равны. Выразите ответ через $R$, $M_\text{С}$, $M_\text{Ю}$ и рассчитайте численное значение.
Предполагается, что зонд находится в точке на отрезке, соединяющем Солнце и Юпитер.

Часть B. Система отсчёта Юпитера (1.5 балла)

Космический зонд массой $m=825~\text{кг}$ пролетает вблизи Юпитера. Для упрощения предположите, что траектория зонда полностью лежит в плоскости орбиты Юпитера.
Рассмотрим ту область пространства, в которой притяжение Юпитера значительно
превосходит все остальные гравитационные силы.

В системе отсчета, связанной с центром Солнца, начальная скорость космического зонда $v_0=1{.}00\cdot 10^4~\text{м}/\text{с}$ (в положительном направлении оси $Y$), в то время как скорость Юпитера направлена в отрицательном направлении оси $X$ (см Рис). Под начальной
скоростью мы понимаем скорость космического зонда в межпланетном пространстве достаточно далеко от Юпитера, но уже в области, где притяжение Солнца пренебрежимо мало. Предположим, что взаимодействие происходит за достаточно короткий промежуток времени, так что можно пренебречь изменением направления скорости движения Юпитера по орбите. Предположим также, что зонд проходит позади Юпитера, то есть его координата $x_1$ больше, чем координата $x_2$ Юпитера в тот момент, когда координаты $y$ равны.

B1  ^1.00 Найдите направление скорости движения космического зонда (угол $\theta_0$ между вектором скорости зонда и осью $X$) и модуль его скорости $v'$ в системе отсчета, связанной с Юпитером, когда зонд находится далеко от Юпитера. Выразите ответ через $v_0$, $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.

B2  ^0.50 Найдите полную механическую энергию $E$ зонда в системе отсчета, связанной с Юпитером. Выразите ответ через $m$, $v_0$, $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.
Считайте, как обычно, что потенциальная энергия на очень больших расстояниях равна нулю.

Часть C. Гравитационный манёвр (7.5 балла)

Траекторией космического зонда в системе отсчета, связанной с Юпитером, является
гипербола, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:
$$\cfrac{1}{r}=\cfrac{GM}{v'^2b^2}\left(1+\sqrt{1+\cfrac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}\cos\theta\right){,}\tag{1}
$$где $b$ - расстояние между асимптотой и центром Юпитера (так называемый прицельный
параметр), $E$ – полная механическая энергия зонда в системе отчёта, связанной с
Юпитером, $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Юпитера, $r$ и $\theta$ – полярные координаты.

На рисунке показаны ветви гиперболы, описываемый уравнением $(1)$, и ее асимптоты в полярных координатах. Фокусы гиперболы находятся в центре Юпитера.
Траектория космического зонда представляет собой «ветвь притяжения» и изображена на рисунке сплошной линией.

C1  ^2.00 Используя уравнение $(1)$, описывающие траекторию зонда, найдите полное угловое отклонение $\Delta\theta$ зонда в системе отсчета, связанной с Юпитером, и выразите его как функцию начальной скорости $v'$ и прицельного параметра $b$.

C2  ^3.00 Полагая, что зонд не может пройти мимо Юпитера на расстоянии от его центра, меньшем, чем три юпитерианских радиуса, найдите минимально возможное значение прицельного параметра и максимально возможное значение углового отклонения $\Delta\theta_{max}$. Выразите ответы через $R_\text{Ю}$, $G$, $M$, $v'$ и рассчитайте численные значения.

C3  ^1.50 Получите выражение для конечной скорости $v''$ зонда в системе отсчета, связанной с Солнцем, как функцию только скорости Юпитера $v$, начальной скорости зонда $v_0$ и углового отклонения $\Delta\theta$.

C4  ^1.00 Используя предыдущий результат, найдите численное значение конечной скорости $v''(\Delta\theta_{max})$ зонда в системе отсчета, связанной с Солнцем, при максимально возможном значении углового отклонения.