Запишем для Юпитера второй закон Ньютона с учётом закона всемирного тяготения:
$$\cfrac{v^2}{R_\text{Ю}}=\cfrac{GM_\text{С}}{R^2_\text{Ю}}{,}
$$откуда:
Запишем условие равенства сил:
$$\cfrac{GM_\text{С}}{(R_\text{Ю}-r_\text{Ю})^2}=\cfrac{GM_\text{Ю}}{r^2_\text{Ю}}{,}
$$откуда:
Для угла $\theta_0$ и скорости $v'$ имеем:
$$\theta_0=\operatorname{arctg}\cfrac{v_0}{v}\qquad v'=\sqrt{v^2+v^2_0}
$$Таким образом:
Потенциальная энергия взаимодействия с Юпитером мала, поэтому:
$$E=\cfrac{mv'^2}{2}{.}
$$Таким образом:
Уравнения движения зонда представляет собой уравнение конического сечения:
$$\cfrac{1}{r}=\cfrac{1+e\cos\theta}{p}{.}
$$Когда зонд находится далеко от Юпитера – обратная величина радиуса стремится к нулю, чему соответствуют углы $\theta_0$, равные:
$$\theta_0=\pm(\pi-\arccos(1/e)){.}
$$За время взаимодействия с Юпитером радиус–вектор поворачивается на угол $\Delta\theta_0$, равный:
$$\Delta\theta_0=2(\pi-\arccos(1/e)){.}
$$Учтём связь между $\Delta\theta_0$ и $\Delta\theta$:
$$\Delta\theta_0=\Delta\theta+\pi\Rightarrow \Delta\theta=\pi-2\arccos(1/e){.}
$$Подставляя выражение для $e$, получим:
В положении, соответствующем минимальному расстоянию до Юпитера:
$$\cfrac{1}{r_{min}}=\cfrac{GM}{v'^2b^2}\left(1+\sqrt{1+\cfrac{v'^4b^2}{G^2M^2}}\right)\leq\cfrac{1}{3R_\text{Ю}}{.}
$$Таким образом:
$$\cfrac{v'^4b^2}{G^2M^2}\leq \cfrac{v'^4b^4}{9G^2M^2R^2_\text{Ю}}-\cfrac{2v'^2b^2}{3GMR_\text{Ю}}\Rightarrow b^2\geq 9R^2_\text{Ю}+\cfrac{6GMR_\text{Ю}}{v'^2}=b^2_{min}{.}
$$Для максимального значения угла отклонения имеем:
$$\Delta\theta_{max}=\pi-2\arccos\left(\cfrac{1}{\sqrt{1+\cfrac{v'^4b^2_{min}}{G^2M^2}}}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{GM}{v'^2b_{min}}\right){.}
$$Окончательно:
После гравитационного манёвра скорость зонда в системе отсчёта юпитера составляет угол $\theta_1=\theta_0+\Delta\theta$ с осью $x$. Возвращаясь в систему отсчёта Солнца:
$$v''_x=v'\cos\theta_1-v\qquad v''_y=v'\sin\theta_1\Rightarrow v^2=v^2+v'^2-2vv'\cos\theta_1{.}
$$Преобразуем последнее выражение:
$$v''^2=v^2+v'^2-2vv'(\cos\theta_0\cos\Delta\theta-\sin\theta_0\sin\Delta\theta){.}
$$Подставляя $v'$ и $\theta_0$, получим: