Pho.rs: Гравитационный манёвр

A1 ^0.50 Определите скорость $v$ движения Юпитера по орбите вокруг Солнца. Выразите ответ через $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.

1 Получено выражение для скорости $v$: $$v=\sqrt{\cfrac{GM_\text{С}}{R_\text{Ю}}}{.} $$	0.30
2 Определено численное значение скорости $v$: $$v\approx 13{.}07~\text{км}/\text{с}{.} $$	0.20

A2 ^0.50 Найдите расстояние $r_\text{Ю}$ от Юпитера, на котором силы гравитационного взаимодействия зонда с Юпитером и Солнцем равны. Выразите ответ через $R$, $M_\text{С}$, $M_\text{Ю}$ и рассчитайте численное значение.
Предполагается, что зонд находится в точке на отрезке, соединяющем Солнце и Юпитер.

1 Записано условие равенства сил: $$\cfrac{GM_\text{С}}{(R_\text{Ю}-r_\text{Ю})^2}=\cfrac{GM_\text{Ю}}{r^2_\text{Ю}}{,} $$	0.20
2 Получено выражение для расстояния $r_\text{Ю}$: $$r_\text{Ю}=\cfrac{R_\text{Ю}}{1+\sqrt{M_\text{C}/M_\text{Ю}}}{.} $$	0.20
3 Определено численное значение расстояния $r_\text{Ю}$: $$r_\text{Ю}\approx 2{.}333\cdot 10^{10}~\text{м}{.} $$	0.10

B1 ^1.00 Найдите направление скорости движения космического зонда (угол $\theta_0$ между вектором скорости зонда и осью $X$) и модуль его скорости $v'$ в системе отсчета, связанной с Юпитером, когда зонд находится далеко от Юпитера. Выразите ответ через $v_0$, $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.

1 Записано выражение для угла $\theta_0$: $$\theta_0=\operatorname{arctg}\cfrac{v_0}{v}{.} $$	0.25
2 Получен правильный ответ для $\theta_0$: $$\theta_0=\operatorname{arctg}\left(v_0\sqrt{\cfrac{R_\text{Ю}}{GM_\text{С}}}\right)\approx 0{.}653~\text{рад}\approx 37{.}43^{\circ}{.} $$	0.25
3 Записано выражение для скорости $v'$: $$v'=\sqrt{v^2+v^2_0}{.} $$	0.25
4 Получен правильный ответ для $v'$: $$v'=\sqrt{v^2_0+\cfrac{GM_\text{С}}{R_\text{Ю}}}\approx 16{.}45~\text{км}/\text{с}{.} $$	0.25

B2 ^0.50 Найдите полную механическую энергию $E$ зонда в системе отсчета, связанной с Юпитером. Выразите ответ через $m$, $v_0$, $G$, $M_\text{С}$, $R$ и рассчитайте численное значение.
Считайте, как обычно, что потенциальная энергия на очень больших расстояниях равна нулю.

1 Получен ответ для механической энергии $E$:
$$E=\cfrac{m}{2}\left(v^2_0+\cfrac{GM}{R}\right)\approx 1{.}117\cdot 10^{11}~\text{Дж}{.}
$$

0.50

C1 ^2.00 Используя уравнение $(1)$, описывающие траекторию зонда, найдите полное угловое отклонение $\Delta\theta$ зонда в системе отсчета, связанной с Юпитером, и выразите его как функцию начальной скорости $v'$ и прицельного параметра $b$.

1 Определены углы $\theta_0$, соответствующие бесконечному удалению зонда от Юпитера: $$\theta_0=\pm(\pi-\arccos(1/e)){.} $$	0.80
2 Правильная связь углов $\Delta\theta_0$ или $\Delta\theta$ (либо другая верная геометрическая связь углов): $$\Delta\theta_0=\pi+\Delta\theta{.} $$	0.80
3 Получено выражение для $\Delta\theta$: $$\Delta\theta=\pi-2\arccos\left(\cfrac{1}{\sqrt{1+\cfrac{v'^4b^2}{G^2M^2}}}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{GM}{v'^2b}\right) $$	0.40

C2 ^3.00 Полагая, что зонд не может пройти мимо Юпитера на расстоянии от его центра, меньшем, чем три юпитерианских радиуса, найдите минимально возможное значение прицельного параметра и максимально возможное значение углового отклонения $\Delta\theta_{max}$. Выразите ответы через $R_\text{Ю}$, $G$, $M$, $v'$ и рассчитайте численные значения.

1 Записано условие, при котором минимальное расстояние между зондом и центром Юпитера не меньше трёх радиусов Юпитера: $$\cfrac{1}{r_{min}}=\cfrac{GM}{v'^2b^2}\left(1+\sqrt{1+\cfrac{v'^4b^2}{G^2M^2}}\right)\leq\cfrac{1}{3R_\text{Ю}}{.} $$	0.50
2 Получено выражение для $b_{min}$: $$b_{min}=\sqrt{9R^2_\text{Ю}+\cfrac{6GMR_\text{Ю}}{v'^2}}{.} $$	1.00
3 Определено численное значение $b_{min}$: $$b_{min}\approx 4{.}90\cdot 10^8~\text{м}{.} $$	0.50
4 Получено выражение для $\Delta\theta_{max}$: $$\Delta\theta_{max}=\pi-2\arccos\left(\cfrac{1}{\sqrt{1+\cfrac{v'^4b^2_{min}}{G^2M^2}}}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{GM}{v'^2b_{min}}\right){.} $$	0.50
5 Определено численное значение $\Delta\theta_{max}$: $$\Delta\theta_{max}\approx 1{.}526~\text{рад}\approx 87{.}44^{\circ}{.} $$	0.50

C3 ^1.50 Получите выражение для конечной скорости $v''$ зонда в системе отсчета, связанной с Солнцем, как функцию только скорости Юпитера $v$, начальной скорости зонда $v_0$ и углового отклонения $\Delta\theta$.

1 Указано, что в системе отсчёта Юпитера скорость зонда после гравитационного манёвра образует угол $\theta_1=\theta_0+\Delta\theta$ с осью $x$.	0.50
2 Получено выражение для $v''$: $$v''=\sqrt{2v^2+v^2_0-2v(v\cos\Delta\theta-v_0\sin\Delta\theta)}{.} $$	1.00

C4 ^1.00 Используя предыдущий результат, найдите численное значение конечной скорости $v''(\Delta\theta_{max})$ зонда в системе отсчета, связанной с Солнцем, при максимально возможном значении углового отклонения.

1 Определено численное значение $v''(\Delta\theta_{max})$:
$$v''(\Delta\theta_{max})\approx 26{.}22~\text{км}/\text{с}{.}
$$

1.00

Гравитационный манёвр

Разбалловка