Pho.rs: Электропроводность металлов

1. ^1.00 Исходя из закона Джоуля-Ленца, впервые открытом Джеймсом Джоулем и позже Эмилем Ленцем, определите объемную плотность тепловой мощности $P_V$, выделяемой в проводнике, то есть теплоты, образующейся в $1~м^3$ проводника за $1~с$. Ответ выразите через $E$ и $\sigma$ .

1 Закон Джоуля-Ленца $P=\frac{U^2}{R}$.	0.25
2 Объёмная плотность тепловой мощности $P_V=\frac{U^2}{RSl}$.	0.25
3 Формулы $R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{S}$ и $E=\frac{U}{l}$.	0.25
4 Окончательная формула $P_V=\sigma E^2$.	0.25

2. ^1.00 Определите вектор средней упорядоченной скорости движения электронов $\operatorname{u}$. Ответ выразите через $e$, $\operatorname{E}$, $m$ и $\tau$.

1 Уравнение движения $m\operatorname{a}=\operatorname{F}=-e\operatorname{F}$.	0.25
2 Пройденное расстояние $s=\frac{a\tau^2}{2}$.	0.25
3 Средняя скорость движения $u=\frac{eE\tau}{2m}$.	0.25
4 Вектор средней скорости движения $\operatorname{u}=-\frac{e\tau}{2m}\operatorname{E}$.	0.25

3. ^1.00 Плотность тока определяется компонентой средней скорости, параллельной вектору напряженности внешнего электрического поля $E$. Покажите, что в этой модели справедлив закон Ома и найдите проводимость металла $\sigma$. Ответ выразите через $e$, $n$, $m$ и $\tau$.

1 Плотность тока $\operatorname{j}=\frac{e^2n\tau}{2m}\operatorname{E}$.	0.50
2 Удельная проводимость $\sigma=\frac{e^2n\tau}{2m}$.	0.50

4. ^1.00 Какое количество теплоты $Q_V$ передают электроны кристаллической решетке в $1~м^3$ проводника за $1~с$. Ответ выразите через $e$, $\operatorname{E}$, $n$, $m$ и $\tau$.

1 Кинетическая энергия электрона $E_k=\frac{m}{2}\left(\frac{eE\tau}{m}\right)^2$.	0.50
2 Количество теплоты $Q_V=\sigma E^2$.	0.50

5.0 ^1.00 Найдите зависимости проекций скорости электрона на оси координат $u_x(t)$ и $u_y(t)$ от времени $t$ между двумя последовательными столкновениями. Ответ выразите через $e$, $E$, $B$, $m$ и $t$.

1 Уравнение движения $m\frac{d\operatorname{u}}{dt}=-e\operatorname{E}-e\operatorname{u}\times\operatorname{B}$.	0.25
2 Уравнения движения $m\cfrac{d}{dt}\left(\begin{array}cu_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}ceE+eBu_y\\-eBu_x\\0\end{array}\right)$.	0.25
3 Выражение для скорости $u_x(t)=\frac{E}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right)$.	0.25
4 Выражения для скорости $u_y(t)=\frac{E}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right]$.	0.25

6. ^2.00 Плотность тока определяется компонентой средней скорости, параллельной вектору напряженности внешнего электрического поля $E$. Считая величину индукции магнитного поля $B$ достаточно малой, определите значения постоянных $\mu$ и $\nu$ в формуле $(5)$. Ответ выразите через $e$, $m$ и $\tau$.

1 Разложение для скорости $u_x=\frac{eE}{m}t-\frac{e^3EB^2}{6m^3}t^3$.	0.25
2 Путь $s=\frac{eE}{2m}\tau^2-\frac{e^3EB^2}{24m^3}\tau^4$.	0.25
3 Средняя скорость $u_{av}=\frac{eE}{2m}\tau-\frac{e^3EB^2}{24m^3}\tau^3$.	0.50
4 Результат $\mu=-\frac{1}{12}\left(\frac{e\tau}{m}\right)^2$, $\nu=2$.	2 × 0.50

7. ^0.50 Внимательно посмотрите на второй рисунок, приведенный выше. Возле какой из граней, верхней или нижней, будет происходить накопление отрицательного заряда?

1 Накопление отрицательного заряда будет происходить возле нижней грани.

0.50

8. ^1.50 Найдите зависимости проекций скорости электрона на оси координат $u_x(t)$ и $u_y(t)$ от времени $t$ между двумя столкновениями. Ответ выразите через $e$, $E$, $E_H$, $B$, $m$ и $t$.

1 Уравнения движения $m\cfrac{d}{dt}\left(\begin{array}cu_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}ceE+eBu_y\\eE_H-eBu_x\\0\end{array}\right)$.	0.50
2 Выражение для скорости $u_x(t)=\frac{E}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right)+\frac{E_H}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right]$.	0.50
3 Выражение для скорости $u_y(t)=\frac{E_H}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right)-\frac{E}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right]$.	0.50

9. ^1.00 Найдите холловскую напряженность поперечного электрического поля $E_H$. Ответ выразите через $e$, $E$, $B$, $m$ и $\tau$, а затем через $e$, $j$, $B$ и $n$.

1 Холловская напряженность $E_H=\frac{eE\tau}{3m}B$.	0.50
2 Холловская напряженность $E_H=\frac{2j}{3ne}B$.	0.50

Электропроводность металлов

Разбалловка