По закону Джоуля-Ленца, мощность, выделяемая в проводнике в виде тепла, равна
$$P=\frac{U^2}{R}, \tag{1}$$а значит объемная плотность тепловой мощности $P_V$ равна
$$P_V=\frac{U^2}{RV}=\frac{U^2}{RSl}. \tag{2}$$Используя
$$R=\rho\frac{l}{S}=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{S} \text{ и } E=\frac{U}{l}, \tag{3}$$получаем
$$P_V=\sigma E^2. \tag{4}$$

Второй закон Ньютона для свободно движения электрона в постоянном электрическом поле имеет вид
$$m\operatorname{a}=\operatorname{F}=-e\operatorname{F}. \tag{5}$$Из уравнения $(5)$ следует, что за время $\tau$ электрон пройдет расстояние
$$s=\frac{a\tau^2}{2}, \tag{6}$$а значит средняя скорость движения электрона равна
$$u=\frac{s}{\tau}=\frac{a\tau}{2}=\frac{eE\tau}{2m}, \tag{7}$$или в векторном виде
$$\operatorname{u}=-\frac{e\tau}{2m}\operatorname{E}. \tag{8}$$

Плотность электрического тока зависит от концентрации, заряда и средней скорости движения частиц следующим образом
$$\operatorname{j}=-ne\operatorname{u}=\frac{e^2n\tau}{2m}\operatorname{E}, \tag{9}$$то есть справедлив закон Ома, при этом удельная проводимость равна
$$\sigma=\frac{e^2n\tau}{2m}. \tag{10}$$

Каждый электрон при столкновении с ионом передает ему свою кинетическую энергию перед столкновением, равную
$$E_k=\frac{mu_{\max}^2}{2}=\frac{m}{2}\left(\frac{eE\tau}{m}\right)^2. \tag{11}$$По определению концентрации, в одном кубическом метре проводника находится $n$ электронов, каждый из которых передает свою кинетическую энергию $(11)$ за время $\tau$. Значит, количество теплоты $Q_V$ передают электроны кристаллической решетке в $1~м^3$ проводника за $1~с$ равно
$$Q_V=\frac{nE_k}{\tau}=\frac{nmu^2}{2\tau}=\frac{e^2n\tau}{2m}E^2=\sigma E^2. \tag{12}$$Это выражение совпадает с $(4)$, тем самым в модели Друде выводится закон Джоуля-Ленца.

В присутствие магнитного поля уравнение движения электрона имеет вид
$$m\frac{d\operatorname{u}}{dt}=-e\operatorname{E}-e\operatorname{u}\times\operatorname{B}. \tag{13}$$В проекциях на оси координат уравнение $(13)$ имеет вид
$$m\frac{du_x}{dt}=eE+eBu_y, \tag{14}$$$$m\frac{du_y}{dt}=-eBu_x, \tag{15}$$$$m\frac{du_z}{dt}=0. \tag{16}$$Из уравнения $(16)$ следует, что движение электрона происходит в плоскости $Oxy$. Сделаем в уравнениях $(14)-(15)$ замену $u^{\prime}_x=u_x$, $u^{\prime}_y=u_y+E/B$, тогда получим
$$m\frac{du^{\prime}_x}{dt}=eBu_y, \tag{17}$$$$m\frac{du^{\prime}_y}{dt}=-eBu^{\prime}_x. \tag{18}$$Из уравнений $(17)$ и $(18)$ находим общее решение в виде уравнений гармонических колебаний
$$u^{\prime}_x=A\cos(\omega t+\alpha), \tag{19}$$$$u^{\prime}_y=A\sin(\omega t+\alpha), \tag{20}$$или для первоначальных переменных
$$u_x=A\cos(\omega t+\alpha), \tag{21}$$$$u_y=A\sin(\omega t+\alpha)-\frac{E}{B}, \tag{22}$$где $\omega=eB/m$.
Из начальных условий $u_x=0$ и $u_y=0$, получаем значения постоянных $A=E/B$ и $\alpha=\pi/2$. Подстановка в $(21)$ и $(22)$, дает
$$u_x(t)=\frac{E}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right), \tag{23}$$$$u_y(t)=\frac{E}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right]. \tag{24}$$

При малых значениях индукции магнитного поля выражение $(23)$ принимает вид
$$u_x=\frac{eE}{m}t-\frac{e^3EB^2}{6m^3}t^3. \tag{25}$$Значит путь, пройденный электроном вдоль оси $OX$ за время $\tau$ равен
$$s=\frac{eE}{2m}\tau^2-\frac{e^3EB^2}{24m^3}\tau^4, \tag{26}$$а средняя скорость
$$u_{av}=\frac{s}{\tau}=\frac{eE}{2m}\tau-\frac{e^3EB^2}{24m^3}\tau^3. \tag{27}$$Поэтому относительное изменение проводимости равно
$$\frac{\Delta\sigma}{\sigma}=\frac{neu_{av}(B)-neu_{av}(B=0)}{neu_{av}(B=0)}=-\frac{1}{12}\left(\frac{e\tau B}{m}\right)^2, \tag{28}$$откуда получаем
$$\mu=-\frac{1}{12}\left(\frac{e\tau}{m}\right)^2, \quad \nu=2. \tag{29}$$

Сила Лоренца, действующая на электроны направлена к нижней грани, следовательно на ней будут накапливаться электроны.

Так как электроны накапливаются на нижней грани, значит холловская напряженность электрического поля направлена против направления оси $Oy$. В проекциях на оси координат уравнение $(13)$ имеет вид
$$m\frac{du_x}{dt}=eE+eBu_y, \tag{30}$$$$m\frac{du_y}{dt}=eE_H-eBu_x, \tag{31}$$$$m\frac{du_z}{dt}=0. \tag{32}$$Из уравнения $(32)$ следует, что движение электрона происходит в плоскости $Oxy$. Сделаем в уравнениях $(30)-(31)$ замену $u^{\prime}_x=u_x-E_H/B$, $u^{\prime}_y=u_y+E/B$, тогда получим
$$m\frac{du^{\prime}_x}{dt}=eBu_y, \tag{33}$$$$m\frac{du^{\prime}_y}{dt}=-eBu^{\prime}_x. \tag{34}$$Из уравнений $(33)$ и $(34)$ находим общее решение в виде уравнений гармонических колебаний
$$u^{\prime}_x=A\cos(\omega t+\alpha), \tag{35}$$$$u^{\prime}_y=A\sin(\omega t+\alpha), \tag{36}$$или для первоначальных переменных
$$u_x=A\cos(\omega t+\alpha)+\frac{E_H}{B}, \tag{37}$$$$u_y=A\sin(\omega t+\alpha)-\frac{E}{B}, \tag{38}$$где $\omega=eB/m$.
Из начальных условий $u_x=0$ и $u_y=0$, получаем следующее решение
$$u_x(t)=\frac{E}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right)+\frac{E_H}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right], \tag{39}$$$$u_y(t)=\frac{E_H}{B}\sin\left(\frac{eB}{m}t\right)-\frac{E}{B}\left[1-\cos\left(\frac{eB}{m}t\right)\right]. \tag{40}$$

При малых значениях индукции магнитного поля, условие отсутствия смещения по оси $Oy$ $y(\tau)=0$ через время $\tau$ дает
$$\int\limits_0^ru_y(t)dt=0 \Rightarrow E_H=\frac{eE\tau}{3m}B, \tag{41}$$или
$$E_H=\frac{2j}{3ne}B. \tag{42}$$