1.  ^1.00 Определите число атомов $N_n$, имеющих энергию $E_n$. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$.

1 Условие нормировки	0.50
2 Число частиц	0.50

2.  ^3.00 Найдите выражение для внутренней энергии $U$ газа. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для внутренней энергии газа в двух предельных случаях $k_B T \gg \varepsilon$ $(\textbf{высокая температура, классический предел})$ и $k_B T \ll \varepsilon$ $(\textbf{предел низких температур})$.

1 Общее выражение для внутренней энергии $U$	0.50
2 Вычисление внутренней энергии $U$	1.00
3 Вычисление классического предела	0.50
4 Вычисление предела низких температур	1.00

3.  ^3.00 Вычислите молярную теплоемкость газа $C_V$ при постоянном объеме. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для теплоемкости в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости молярной теплоемкости рассматриваемого газа от температуры.

1 Общее выражение для теплоёмкости $C_V$	0.50
2 Вычисление теплоёмкости $C_V$	1.00
3 Вычисление классического предела	0.50
4 Вычисление предела низких температур	0.50
5 Схематический график $C_V(T)$	0.50

4.  ^3.00 Найдите давление $P$, создаваемое газом на стенку сосуда. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для давления в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости давления газа от температуры.

1 Общее выражение для средней силы	0.50
2 Общее выражение для давления $P$	0.50
3 Вычисление давления $P$	0.50
4 Вычисление классического предела	0.50
5 Вычисление предела низких температур	0.50
6 Схематический график $P(T)$	0.50