Logo
Logo

Термодинамика простейшего квантового идеального газа

1.  1.00 Определите число атомов $N_n$, имеющих энергию $E_n$. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$.

Постоянная $C$ находится из условия нормировки, так как общее число частиц равно $N$: $$\sum_{n=1}^{\infty}N_n=N. \tag{1}$$ Подставляя выражение для функции распределения и проводя суммирование, получим $$N=\sum_{n=1}^{\infty}N_n=\sum_{n=1}^{\infty}C\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)=C\frac{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)} \Rightarrow \\ N_n=N\frac{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right). \ (2)$$

Ответ: $$N_n=N\frac{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right).$$
2.  3.00 Найдите выражение для внутренней энергии $U$ газа. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для внутренней энергии газа в двух предельных случаях $k_B T \gg \varepsilon$ $(\textbf{высокая температура, классический предел})$ и $k_B T \ll \varepsilon$ $(\textbf{предел низких температур})$.

Внутренняя энергия газа равна сумме кинетических энергий всех атомов: $$U=\sum_{n=1}^{\infty}E_nN_n=\sum_{n=1}^{\infty}Cn\varepsilon\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)=C\frac{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{\left(1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right)^2}=\\= N\frac{\varepsilon}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}. \ (3)$$ В классическом пределе $k_BT \gg \varepsilon$ показатель экспоненты является малым, поэтому можно использовать приближенную формулу $\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\approx 1-\frac{\varepsilon}{k_BT}$. В этом случае получаем $$U=Nk_BT. \tag{4}$$ При малых температурах малой является сама экспонента $\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right) \ll 1$, поэтому $$U=N\frac{\varepsilon}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}\approx N\varepsilon\left(1+\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right). \tag{5}$$

Ответ: $$U= N\frac{\varepsilon}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}.$$ При $k_BT \gg \varepsilon$: $$U=Nk_BT.$$ При $k_BT \ll \varepsilon$: $$U\approx N\varepsilon\left(1+\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right).$$
3.  3.00 Вычислите молярную теплоемкость газа $C_V$ при постоянном объеме. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для теплоемкости в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости молярной теплоемкости рассматриваемого газа от температуры.

Теплоемкость при постоянном объеме равна $$C_V=\frac{\delta U}{\delta T}. \tag{6}$$ В общем случае $$C_V=\frac{\delta U}{\delta T}=\frac{N_A\varepsilon}{\left(1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right)^2}\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\frac{\varepsilon}{k_BT^2}=R\left(\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)^2\frac{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{\left(1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right)^2}. \tag{7}$$ Чтобы найти приближенные выражения в двух предельных случаях проще использовать разложения, полученные в п. 2. Так, при высоких температурах $k_BT \gg \varepsilon$: $$U=N_Ak_BT \Rightarrow C_V=R, \tag{8}$$ то есть теплоемкость является постоянной. Здесь $N_A$ — постоянная Авогадро, $N_A k_B=R$ — газовая постоянная. При низких температурах $$U=N_A\varepsilon\left(1+\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right) \Rightarrow \\ C_V=N_A\varepsilon\frac{\varepsilon}{k_BT^2}\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)=R\left(\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)^2\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right). \ (9)$$ Отсюда видно, при стремлении температуры к нулю, теплоемкость стремится к нулю. Схематический график зависимости показан на рисунке.

Ответ: $$C_V=R\left(\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)^2\frac{\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}{\left(1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right)^2}. $$ При $k_BT \gg \varepsilon$: $$C_V=R.$$ При $k_BT \ll \varepsilon$: $$C_V=R\left(\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)^2\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right).$$
Ответ:
4.  3.00 Найдите давление $P$, создаваемое газом на стенку сосуда. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для давления в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости давления газа от температуры.

Расчет давления газа может быть проведен различными способами. Например, средняя сила, действующая на стенку со стороны одного атома равна импульсу, передаваемому стенке, деленному на время между ударами этого атома о стенку $$\langle f_n\rangle=\frac{\Delta p}{\Delta\tau}=\frac{2mv_n}{2L/v_n}=\frac{mv_n^2}{L}=2\frac{E_n}{L}. \tag{10}$$ Для вычисления давления необходимо просуммировать эти силы $$P=\frac{\sum_nN_n\langle f_n\rangle}{S}=\frac{2}{SL}\sum_{n=1}^{\infty}N_n E_n=2\frac{U}{V}. \tag{11}$$ Подставляя выражение для внутренней энергии газа $(3)$, получим $$P=2\frac{N}{V}\frac{\varepsilon}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}. \tag{12}$$ В предельных случаях следует использовать полученные ранее выражения для внутренней энергии. При $k_BT \gg \varepsilon$ $$P=2\frac{N}{V}k_BT, \tag{13}$$ то есть давление пропорционально абсолютной температуре. При низких температурах $$P=2\frac{N\varepsilon}{V}\left(1+\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right). \tag{14}$$ При температуре стремящейся к нулю давление стремиться к постоянному значению $$P_0=2\frac{N\varepsilon}{V}. \tag{15}$$ Схематический график зависимости давления от температуры показан на рисунке.

Ответ: $$P=2\frac{N}{V}\frac{\varepsilon}{1-\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)}.$$ При $k_BT \gg \varepsilon$: $$P=2\frac{N}{V}k_BT.$$ При $k_BT \ll \varepsilon$: $$P=2\frac{N\varepsilon}{V}\left(1+\exp\left(-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right)\right).$$
Ответ: