Введение

В настоящий момент Международная Космическая Станция (сокращённо МКС, англ. ISS — International Space Station) двигается по орбите, близкой к круговой. Минимальное среднее расстояние до Земли при её движении составляет $370~км$, максимальное — $460~км$. Станция двигается в термосфере. Плоскость орбиты составляет угол $\theta = 51.6^\circ$ с плоскостью экватора. Траектория станции похожа на спираль с медленно меняющимся расстоянием от неё до поверхности Земли. Изменение данного расстояния за один оборот вокруг Земли незначительно.

Масса МКС составляет $M_s = 4.5 \cdot 10^5~кг$, общая длина $L_s = 109~м$. Огромные солнечные панели шириной $W_S=73~м$ обеспечивают МКС электрической энергией [Официальный Отчёт NASA (2023)].

С учётом всех батарей и других частей, эффективная площадь поперечного сечения станции составляет приблизительно $S \approx 2.5 \cdot 10^3~м^2$ [Европейское Космическое Агентство, SDC6-23].

Снижение орбиты МКС связано с несколькими явлениями, уменьшающими энергию орбитального движения. Основными из них являются:

• сопротивление атмосферы, вызванное частыми столкновениями молекул газа со станцией;
  
• сила Ампера, возникающая при движении проводящих частей МКС в магнитном поле Земли;
  
• взаимодействие с ионами атомарного кислорода.
  

«... В мае 2008 высота орбиты МКС составляла 350 километров, станция потеряла 4.5 км высоты, а затем с помощью транспортного грузового космического корабля Прогресс М-64 была поднята на 5.5 км ...» [https://mod.jsc.nasa.gov].

«... МКС теряет до 100 м высоты каждый день... » [Данные NASA (2021)]. В 2023 году МКС движется на высоте 410 км, и снижается приблизительно на 70 м в день ($\sim$ 2 км в месяц). Во время магнитных бурь снижение достигает 300 м. МКС корректирует свою орбиту с помощью своих двигателей, а также двигателей посещающих её аппаратов [Отчёт о МКС (2022)].

Обозначения и физические постоянные:

• Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж\cdot К^{-1} \cdot моль^{-1}$;
  
• Число Авогадро $N_A=6.022 \cdot 10^{23}~моль^{-1}$;
  
• Молярная масса воздуха $\mu=0.029~кг\cdot моль^{-1}$;
  
• Масса Земли $M_E=5.97 \cdot 10^{24}~кг$;
  
• Радиус Земли $R_E=6.38 \cdot 10^6~м$;
  
• Гравитационная постоянная $G=6.67 \cdot 10^{-11}~м^3 \cdot с^{-2} \cdot кг^{-1}$;
  
• Плотность воздуха на поверхности Земли $\rho_0=1.29~кг/м^3$;
  
• Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0=9.81~м\cdot с^{-2}$;
  
• Средняя величина магнитного поля Земли $B=5.0 \cdot 10^{-5}~Тл$;
  
• Модуль заряда электрона $e=1.60 \cdot 10^{-19}~Кл$.
  

Часть A. Уточнённая барометрическая формула (2 балла)

Воздух в атмосфере состоит по большей части из нейтральных молекул $O_2$ и $N_2$. Воздух подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: $pV =M/\mu RT$, где $p$, $V$, $T$, $M$ и $\mu$ это давление, объём, температура, масса и молярная масса порции газа соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Есть два уравнения для вычисления зависимости давления воздуха от высоты. Первое уравнение применимо к стандартной модели тропосферы (высоты $h<100~км$). Оно предполагает изменение температуры с высотой.

Второе уравнение относится к стандартной модели термосферы ($h>250~км$). В нём температура почти не зависит от высоты. Это уравнение применимо к исследованию движения МКС.

В этой задаче можно считать давление гидростатическим и изотропным (то есть оно действует одинаково по всем направлениям).

A1  ^0.50 Найдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой.

Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$.

Примечание 1.
Температура термосферы Земли на высотах $300 - 600~км$ меняется незначительно и в среднем составляет $800 - 900~К$ на солнечной стороне [Данные NASA]. Следовательно, при исследовании полёта МКС мы можем считать $T_h = T = const$. Так как космический корабль проводит почти половину времени полёта с теневой стороны Земли, где температура резко снижается, можно считать, что в среднем на этих высотах температура равна $T = 425~К$.

Эта температура также соответствует значению плотности воздуха $\rho_h \sim 10^{-12}~кг/м^3$ на высоте $h = 400~км$ [Модель Верхних Слоёв Атмосферы Земли MSISE-90].

A2  ^0.30 Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$.

Рассчитайте величину $h_0 = RT/\mu g_0$ при $T = 425~К$.

A3  ^0.60 Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$.

Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \ll 1.$

A4  ^0.40 Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \cdot 10^5~м$. Далее используйте уточнённую формулу.

A5  ^0.20 Найдите плотность воздуха $\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение.

Часть B. Орбитальное замедление и скорость снижения станции (3 балла)

Пусть на станцию массой $M_S$ действует постоянная тормозящая сила $\vec{F}_{drag}$. В этой части задачи оценивается скорость уменьшения высоты орбиты МКС. Считайте, что изменение высоты $\mathrm{d}h$ значительно меньше высоты полёта $h$ ($\mathrm{d}h \ll h$).

B1  ^0.50 Найдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$.

B2  ^0.50 Найдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$.

B3  ^1.00 На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $\mathrm{d}h$ за малое время $\mathrm{d}t$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$.

B4  ^0.50 Найдите скорость снижения станции $u_h$.

Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы.

B5  ^0.50 Найдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Часть С. Сопротивление атмосферы (1 балл)

Скорость станции $v$ во много раз больше чем средние скорости (сотни $м/с$) теплового движения молекул в атмосфере на высоте $h \approx 300 - 400~км$, то есть можно считать, что молекулы покоятся перед столкновением с МКС. Для грубой оценки считайте, что после столкновения молекулы приобретают такую же скорость, что и станция.

C1  ^0.50 Найдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае.

C2  ^0.50 Найдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Часть D. Учёт атомарного кислорода (1 балл)

В термосфере под действием излучения воздух ионизируется (из-за чего, например, возникает «северное сияние»). В отличие от кислорода $O_2$, азот $N_2$ не диссоциирует под действием солнечного излучения, поэтому в верхних слоях атмосферы атомарного азота $N$ гораздо меньше, чем атомарного кислорода $O$. На высотах больше $250~км$ преобладает атомарный кислород $O$. Слои, содержащие электроны и ионы атомов кислорода, возникают на освещенной стороне атмосферы. В этом случае концентрация ионов атомарного кислорода составляет $n_{ion} \sim 10^{12}~м^{-3}$.

D1  ^0.30 Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь.

Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\rho_{ion}$.

D2  ^0.70 Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Часть E. Торможение магнитным полем Земли (2 балла)

Рассмотрим влияние магнитного поля Земли на движение станции. Магнитное поля Земли вблизи поверхности изменяется в диапазоне $(3.5 - 6.5) \cdot 10^{-5}~Тл$ , среднее значение составляет $B = 5 \cdot 10^{-5}~Тл$.

Когда станция движется с большой скоростью в магнитном поле, в её проводящих элементах возникает электрический ток. Электродвижущая сила вызывает перераспределение электрических зарядов в проводящих элементах станции. Электрическое поле вблизи станции приводит к движению заряженных частиц в окружающем её пространстве. Электроны притягиваются к частям станции, у которых положительный потенциал (относительно средней части станции), а ионы притягиваются к частям с отрицательным потенциалом. Электроны и ионы, сталкиваясь с поверхностью станции, стремятся собираться в нейтральные атомы кислорода. Эти электроны, которые движутся по проводящим частям станции, и создают электрический ток. Станция, двигаясь в космосе, «собирает» электроны и ионы из окружающего пространства, сталкиваясь с ними.

Для грубой оценки тока, возникающего в проводящих частях станции, считайте, что она «собирает» частицы только с площади, эквивалентной площади поперечного сечения станции $S$. Также считайте, что все ионы и электроны участвуют в создании тока.

E1  ^0.60 Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$.

E2  ^0.60 Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции.

Пусть $\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\sin(\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\sin(\pi/2 - \theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения.

E3  ^0.80 Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношение $h \ll R_E$.

Часть F. Численные расчёты и выводы (1 балл)

F1  ^0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов.

F2  ^0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов.

F3  ^0.20 МКС обращается по орбите на высотах выше $380~км$. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния.