Logo
Logo

Снижение орбиты МКС

Разбалловка

A1  0.50 Найдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой.

Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$.

A1. 1 Записано выражение для изменения давления воздуха
$$dp_h = -g_h(M/V)dh$$
0.10
A1. 2 Получено дифференциальное уравнение
$$\frac{dp_h}{p_h} = -\frac{g_h \mu}{R T_h} dh$$
0.10
A1. 3 Получена финальная формула
$$p_h = p_0 \exp \left(-\frac{\mu}{R} \int\limits_0^h \frac{g_h}{T_h}dh \right)$$
0.30
A2  0.30 Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$.

Рассчитайте величину $h_0 = \frac{RT}{\mu g_0}$ при $T = 425 $К.

A2. 1 Получена стандартная барометрическая формула
$$p_h^{sta} = p_0 \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right), \qquad h_0 = \frac{RT}{\mu g_0}$$
0.10
A2. 3 Вычислено значение $h_0$
$$h_0 \approx 12.4 км$$
0.20
A3  0.60 Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$.

Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \ll 1$.

A3. 1 Получена зависимость $g_h$ в линейном приближении
$$g_h = g_0(1-2z_h)$$
0.10
A3. 2 Посчитан интеграл
$$\int\limits_0^h g_h dh = g_0 h (1-z_h)$$
0.20
A3. 3 Получена улучшенная барометрическая формула
$$p_h^{imp} = p_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$
0.30
A4  0.40 Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \times 10^5 $м. Далее используйте уточнённую формулу.

A4. 1 Получено аналитическое выражение
$$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = \frac{\exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)}{ \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right)} = e^{\frac{h^2}{h_0 R_E}}$$
0.20
A4. 2 Получен численный ответ
$$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} \approx 7.54$$
0.20
A5  0.20 Найдите плотность воздуха $\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение.

A5. 1 Получена формула для плотности воздуха
$$\rho_h = \rho_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$
0.10
A5. 2 Получена формула для концентрации молекул воздуха
$$n_h = N_A \frac{\rho_0}{\mu} \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$
0.10
B1  0.50 Найдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$.

B1. 1 Получено выражение
$$g_h = \frac{v_h^2}{R_E (1+z_h)}, \quad где \quad g_h = \frac{g_0}{(1+z_h)^2}$$
0.10
B1. 2 Найдена скорость станции $v_h$
$$v_h = \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$
0.10
B1. 3 Найден период обращения станции $\tau_h$
$$\tau_h = 2\pi \frac{R_E+h}{v_h} = 2\pi \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$
0.30
B2  0.50 Найдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$.

B2. 1 Получены выражения для кинетической и потенциальной энергий
$$E_{K} = \frac{M_S \cdot v_h^2}{2}, \qquad E_{P} = -M_S g_h R_E (1+z_h)$$
0.20
B2. 2 Найдена полная энергия станции
$$E_S = E_K + E_P = -\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}$$
0.30
B3  1.00 На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $dh$ за малое время $dt$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$.

B3. 1 Получено выражение для работы тормозящей силы
$$dA_{drag} = -F_{drag} \cdot v_h \cdot dt$$
0.30
B3. 2 Получено выражение для изменения полной энергии
$$dE_S = +\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh$$
0.20
B3. 3 Записан закон изменения энергии
$$\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh = F_{drag} \cdot v_h \cdot dt$$
0.50
B4  0.50 Найдите скорость снижения станции $u_h$.

Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы.

B4. 1 Записано определение скорости снижения
$$u_h = \frac{dh}{dt}$$
0.10
B4. 2 Найдена скорость снижения $u_h$
$$u_h = \frac{2 F_{drag}}{M_S g_0} v_h (1+z_h)^2 = \frac{2 F_{drag}}{M_S} \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$
0.40
B5  0.50 Найдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

B5. 1 Найдено изменение высоты за один оборот $H_h$
$$H_h = u_h \tau_h = \frac{4 \pi R_E}{M_S g_0} F_{drag} \cdot (1+z_h)^3$$
0.10
B5. 2 Найдено время падения станции
$$T_h = \frac{M_S}{2} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \int\limits_0^h \frac{1}{F_{drag}(h) \cdot (1+z_h)^{3/2}} dh$$
Считая $F_{drag}(h) = const$:
$$T_h = \frac{M_S R_E}{F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z_h}}\right) \approx \frac{M_S h}{2F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}}$$
0.40
C1  0.50 Найдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае.

C1. 1 Найдена сила сопротивления $F_{air}$
$$F_{air} = \rho_h \cdot v_h^2 \cdot S$$
0.30
C1. 2 Найдена скорость снижения $u_h^{air}$
$$u_h^{air} = \frac{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$
0.10
C1. 3 Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{air}$
$$H_h^{air} = u_h^{air} \tau_h = \frac{4 \pi S R_E^2}{M_S} \rho_0 \cdot (1+z_h)^2 \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$
0.10
C2  0.50 Найдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

C2. 1 Получено интегральное выражение для $T_h^{air}$
$$T_h^{air} = \frac{M_S}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \int\limits_0^h \left(1-\frac{h}{2R_E} \right) e^{h/h_0} dh$$
0.10
C2. 2 Использовано приближение $h_0 \ll h \ll R_E$ 0.10
C2. 3

Найдено время падения станции $T_h^{air}$

$$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \left(1-\frac{h}{2R_E} \right) \cdot e^{h/h_0}$$

Другие возможные ответы:

  • Без приближений:
    $$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \left(1-\frac{h-h_0}{2R_E} \right) \cdot e^{h/h_0}$$
  • С учётом всех приближений:
    $$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \cdot e^{h/h_0}$$
0.30
D1  0.30 Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь.

Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\rho_{ion}$.

D1. 1 Найдена средняя тормозящая сила $F_{drag}$
$$F_{ion} = \frac{1}{2} \rho_{ion} \cdot S \cdot v_h^2$$
0.20
D1. 2 Найдена плотность ионизированных молекул кислорода $\rho_{ion}$
$$\rho_{ion} = \frac{\mu_{ion}}{N_A} \cdot n_{ion}$$
0.10
D2  0.70 Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

D2. 1 Найдена скорость снижения $u_h^{ion}$
$$u_h^{ion} = \rho_{ion} \cdot \frac{S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2}$$
0.30
D2. 2 Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$
$$H_h^{ion} = u_h^{ion} \tau_h = \frac{2 \pi S R_E^2 \rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2$$
0.40
E1  0.60 Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$.

E1. 1 Найдено число электронов, попадающих на станцию за время $dt$
$$dN = n_{ion} \cdot v_h \cdot S \cdot dt$$
0.30
E1. 2 Найдено выражение для тока $I_{ind}$
$$I_{ind} \approx e \frac{dN}{dt} = e \cdot S \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$
0.30
E2  0.60 Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции.

Пусть $\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\sin(\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\sin(\pi/2 - \theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения.

E2. 1 Усреднение синуса угла между направлением магнитного поля и скоростью станции 0.20
E2. 2 Записана формула для силы Ампера $F_{ind}$
$$F_{ind} = B \cdot I_{ind} \cdot L \cdot \langle \sin(\phi) \rangle$$
0.20
E2. 3 Найдено финальное выражение для силы Ампера $F_{ind}$
$$F_{ind} = \frac{1}{2} \cdot B \cdot I_{ind} \cdot \sqrt{S} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot B \cdot S^{3/2} \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}} \\
либо \\
F_{ind} = \sin(\pi/2-\theta) \cdot B \cdot I_{ind} \cdot \sqrt{S} \approx 0.62 \cdot e \cdot B \cdot S^{3/2} \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$
0.20
E3  0.80 Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношение $h \ll R_E$.

E3. 1 Найдена скорость снижения $u_h^{ind}$
$$u_h^{ind} \approx n_{ion} \frac{eBS^{3/2}R_E}{M_S}(1+z_h)$$
0.30
E3. 2 Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$
$$H_h^{ind} = u_h^{ind} \tau_h = \frac{2 \pi e B (S R_E)^{3/2}n_{ion}}{M_S \sqrt{g_0}}(1+z_h)^{5/2}$$
0.50
F1  0.40

Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов.

$h, км$$T_h^{air}, дней$$u_{air}, м/день$$u_{ion}, м/день$$u_{ind}, м/день$$\sum, м/день$$u_{ISS}, м/день$
350      
375      
400      
410      

F1. 1

Заполнена таблица

$h, км$$T_h^{air}, дней$$u_{air}, м/день$$u_{ion}, м/день$$u_{ind}, м/день$$\sum, м/день$$u_{ISS}, м/день$
3503581710.671.3173$\sim 170$ [в 2008]
375268828.70.671.330.7$-$
400201814.90.671.36.9$\le 100$ [в 2021]
410452052.40.671.34.4$\le 70$ [в 2022]

 

20 × 0.02
F2  0.40

Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов.

$h, км$$H_h^{air}, м$$H_h^{ion}, м$$H_h^{ind}, м$
350   
375   
400   
410   

F2. 1

Значения $H_h^{air}$ на указанных высотах

$h, км$$H_h^{air}, м$$H_h^{ion}, м$$H_h^{ind}, м$
35010.60.040.08
3751.80.040.08
4000.310.040.08
4100.150.040.08
4 × 0.10
F3  0.20 МКС обращается по орбите на высотах выше 380 км. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния.

F3. 1

Получен правильный ответ

  1. Сопротивление атмосферы
  2. Сила Ампера 
  3. Столкновения с ионизированными молекулами кислорода
0.20