Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$.
|
A1. 1
Записано выражение для изменения давления воздуха $$dp_h = -g_h(M/V)dh$$ |
0.10 |
|
|
A1. 2
Получено дифференциальное уравнение $$\frac{dp_h}{p_h} = -\frac{g_h \mu}{R T_h} dh$$ |
0.10 |
|
|
A1. 3
Получена финальная формула $$p_h = p_0 \exp \left(-\frac{\mu}{R} \int\limits_0^h \frac{g_h}{T_h}dh \right)$$ |
0.30 |
|
|
A2. 1
Получена стандартная барометрическая формула $$p_h^{sta} = p_0 \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right), \qquad h_0 = \frac{RT}{\mu g_0}$$ |
0.10 |
|
|
A2. 3
Вычислено значение $h_0$ $$h_0 \approx 12.4~км$$ |
0.20 |
|
Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \ll 1$.
|
A3. 1
Получена зависимость $g_h$ в линейном приближении $$g_h = g_0(1-2z_h)$$ |
0.10 |
|
|
A3. 2
Посчитан интеграл $$\int\limits_0^h g_h dh = g_0 h (1-z_h)$$ |
0.20 |
|
|
A3. 3
Получена улучшенная барометрическая формула $$p_h^{imp} = p_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$ |
0.30 |
|
|
A4. 1
Получено аналитическое выражение $$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = \frac{\exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)}{ \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right)} = e^{\frac{h^2}{h_0 R_E}}$$ |
0.20 |
|
|
A4. 2
Получен численный ответ $$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} \approx 7.54$$ |
0.20 |
|
|
A5. 1
Получена формула для плотности воздуха $$\rho_h = \rho_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$ |
0.10 |
|
|
A5. 2
Получена формула для концентрации молекул воздуха $$n_h = N_A \frac{\rho_0}{\mu} \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$ |
0.10 |
|
|
B1. 1
Получено выражение $$g_h = \frac{v_h^2}{R_E (1+z_h)}, \quad где \quad g_h = \frac{g_0}{(1+z_h)^2}$$ |
0.10 |
|
|
B1. 2
Найдена скорость станции $v_h$ $$v_h = \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$ |
0.10 |
|
|
B1. 3
Найден период обращения станции $\tau_h$ $$\tau_h = 2\pi \frac{R_E+h}{v_h} = 2\pi \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$ |
0.30 |
|
|
B2. 1
Получены выражения для кинетической и потенциальной энергий $$E_{K} = \frac{M_S \cdot v_h^2}{2}, \qquad E_{P} = -M_S g_h R_E (1+z_h)$$ |
0.20 |
|
|
B2. 2
Найдена полная энергия станции $$E_S = E_K + E_P = -\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}$$ |
0.30 |
|
|
B3. 1
Получено выражение для работы тормозящей силы $$dA_{drag} = -F_{drag} \cdot v_h \cdot dt$$ |
0.30 |
|
|
B3. 2
Получено выражение для изменения полной энергии $$dE_S = +\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh$$ |
0.20 |
|
|
B3. 3
Записан закон изменения энергии $$\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh = F_{drag} \cdot v_h \cdot dt$$ |
0.50 |
|
Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы.
|
B4. 1
Записано определение скорости снижения $$u_h = \frac{dh}{dt}$$ |
0.10 |
|
|
B4. 2
Найдена скорость снижения $u_h$ $$u_h = \frac{2 F_{drag}}{M_S g_0} v_h (1+z_h)^2 = \frac{2 F_{drag}}{M_S} \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$ |
0.40 |
|
Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.
|
B5. 1
Найдено изменение высоты за один оборот $H_h$ $$H_h = u_h \tau_h = \frac{4 \pi R_E}{M_S g_0} F_{drag} \cdot (1+z_h)^3$$ |
0.10 |
|
|
B5. 2
Найдено время падения станции $$T_h = \frac{M_S}{2} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \int\limits_0^h \frac{1}{F_{drag}(h) \cdot (1+z_h)^{3/2}} dh$$ Считая $F_{drag}(h) = const$: $$T_h = \frac{M_S R_E}{F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z_h}}\right) \approx \frac{M_S h}{2F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}}$$ |
0.40 |
|
|
C1. 1
Найдена сила сопротивления $F_{air}$ $$F_{air} = \rho_h \cdot v_h^2 \cdot S$$ |
0.30 |
|
|
C1. 2
Найдена скорость снижения $u_h^{air}$ $$u_h^{air} = \frac{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$ |
0.10 |
|
|
C1. 3
Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{air}$ $$H_h^{air} = u_h^{air} \tau_h = \frac{4 \pi S R_E^2}{M_S} \rho_0 \cdot (1+z_h)^2 \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)$$ |
0.10 |
|
Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.
|
C2. 1
Получено интегральное выражение для $T_h^{air}$ $$T_h^{air} = \frac{M_S}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \int\limits_0^h \left(1-\frac{h}{2R_E} \right) e^{h/h_0} dh$$ |
0.10 |
|
| C2. 2 Использовано приближение $h_0 \ll h \ll R_E$ | 0.10 |
|
|
C2. 3
Найдено время падения станции $T_h^{air}$ $$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \left(1-\frac{h}{2R_E} \right) \cdot e^{h/h_0}$$ Другие возможные ответы:
|
0.30 |
|
|
D1. 1
Найдена средняя тормозящая сила $F_{drag}$ $$F_{ion} = \frac{1}{2} \rho_{ion} \cdot S \cdot v_h^2$$ |
0.20 |
|
|
D1. 2
Найдена плотность ионизированных молекул кислорода $\rho_{ion}$ $$\rho_{ion} = \frac{\mu_{ion}}{N_A} \cdot n_{ion}$$ |
0.10 |
|
Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.
|
D2. 1
Найдена скорость снижения $u_h^{ion}$ $$u_h^{ion} = \rho_{ion} \cdot \frac{S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2}$$ |
0.30 |
|
|
D2. 2
Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ $$H_h^{ion} = u_h^{ion} \tau_h = \frac{2 \pi S R_E^2 \rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2$$ |
0.40 |
|
|
E1. 1
Найдено число электронов, попадающих на станцию за время $dt$ $$dN = n_{ion} \cdot v_h \cdot S \cdot dt$$ |
0.30 |
|
|
E1. 2
Найдено выражение для тока $I_{ind}$ $$I_{ind} \approx e \frac{dN}{dt} = e \cdot S \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$ |
0.30 |
|
| E2. 1 Усреднение синуса угла между направлением магнитного поля и скоростью станции | 0.20 |
|
|
E2. 2
Записана формула для силы Ампера $F_{ind}$ $$F_{ind} = B \cdot I_{ind} \cdot L \cdot \langle \sin(\phi) \rangle$$ |
0.20 |
|
|
E2. 3
Найдено финальное выражение для силы Ампера $F_{ind}$ $$F_{ind} = \frac{1}{2} \cdot B \cdot I_{ind} \cdot \sqrt{S} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot B \cdot S^{3/2} \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}} \\ либо \\ F_{ind} = \sin(\pi/2-\theta) \cdot B \cdot I_{ind} \cdot \sqrt{S} \approx 0.62 \cdot e \cdot B \cdot S^{3/2} \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$ |
0.20 |
|
Подсказка: используйте соотношение $h \ll R_E$.
|
E3. 1
Найдена скорость снижения $u_h^{ind}$ $$u_h^{ind} \approx n_{ion} \frac{eBS^{3/2}R_E}{M_S}(1+z_h)$$ |
0.30 |
|
|
E3. 2
Найдено изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ $$H_h^{ind} = u_h^{ind} \tau_h = \frac{2 \pi e B (S R_E)^{3/2}n_{ion}}{M_S \sqrt{g_0}}(1+z_h)^{5/2}$$ |
0.50 |
|
Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов.
| $h, км$ | $T_h^{air}, дней$ | $u_{air}, м/день$ | $u_{ion}, м/день$ | $u_{ind}, м/день$ | $\sum, м/день$ | $u_{ISS}, м/день$ |
| 350 | ||||||
| 375 | ||||||
| 400 | ||||||
| 410 |
|
F1. 1
Заполнена таблица
|
20 × 0.02 |
|
Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов.
| $h, км$ | $H_h^{air}, м$ | $H_h^{ion}, м$ | $H_h^{ind}, м$ |
| 350 | |||
| 375 | |||
| 400 | |||
| 410 |
|
F2. 1
Значения $H_h^{air}$ на указанных высотах
|
4 × 0.10 |
|
|
F3. 1
Получен правильный ответ
|
0.20 |
|