A1  ^0.50 Найдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой.

Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$.

Для изменения давления можем записать:
$$dp_h = -g_h \rho_h dh.$$
С учётом $\rho_h = \frac{\mu P}{RT}$, получаем
$$\frac{dp_h}{p_h} = -\frac{g_h \mu}{RT_h} dh,$$
откуда
$$p_h = p_0 \exp \left(-\frac{\mu}{R} \int\limits_0^h \frac{g_h}{T_h}dh \right),$$
где $p_0$ — давление при $h = 0$.

A2  ^0.30 Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$.

Рассчитайте величину $h_0 = \frac{RT}{\mu g_0}$ при $T = 425~$К.

Подставляя в основную барометрическую формулу $g_h = g_0$, $T_h = T$, получаем стандартную барометрическую формулу:
$$p_h^{sta} = p_0 \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right), \qquad h_0 = \frac{RT}{\mu g_0} \approx 12.4~км.$$

A3  ^0.60 Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$.

Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \ll 1$.

Далее в решении для удобства используется величина $z_h \equiv \frac{h}{R_E}$.

Ускорение свободного падения задаётся формулой:
$$g_h = \frac{G M_E}{R_E^2 (1+z_h)^2} = \frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$
В линейном приближении
$$g_h \approx g_0(1-2z_h).$$
С учётом этого получаем
$$p_h^{imp} = p_0 \exp \left(-\frac{\mu}{RT} \int\limits_0^h g_0(1-2z_h) dh \right) =  p_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right).$$

A4  ^0.40 Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \times 10^5~$м. Далее используйте уточнённую формулу.

Найдём отношение полученных барометрических формул:
$$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = \frac{\exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right)}{ \exp \left(-\frac{h}{h_0} \right)} = e^{\frac{h^2}{h_0 R_E}}.$$
Для $h = 4.0 \times 10^5~м$ получим
$$\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} \approx 7.54.$$
Отношение получилось значительно большим единицы, что оправдывает использование улучшенной формулы.

A5  ^0.20 Найдите плотность воздуха $\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение.

В силу соотношений $\rho = \mu P/RT$ и $n = \rho N_A/\mu$ получим
$$\rho_h = \rho_0 \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right), \\ n_h = N_A \frac{\rho_0}{\mu} \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right).$$

B1  ^0.50 Найдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$.

Центробежная сила компенсируется гравитационной. Запишем второй закон Ньютона:
$$g_h = \frac{v_h}{R_E (1+z_h)}, \quad где \quad g_h = \frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$
Отсюда получаем искомые величины:
$$v_h = \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}, \\ \tau_h = 2\pi \frac{R_E+h}{v_h} = 2\pi \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}.$$

B2  ^0.50 Найдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$.

Полная энергия складывается из кинетической
$$E_{K} = \frac{M_S \cdot v_h^2}{2}$$
и потенциальной
$$E_{P} = -M_S g_h R_E (1+z_h).$$
Подставляя $v_h$ из прошлого пункта получаем выражение для $E_S$:
$$E_S = E_K + E_P = -\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}.$$

B3  ^1.00 На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $dh$ за малое время $dt$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$.

Работа тормозящей силы $F_{drag}$ за время $dt$:

$$dA_{drag} = -F_{drag} \cdot v_h \cdot dt.$$

При малом уменьшении высоты полёта станции $dh$ изменение полной энергии составит:

$$dE_S = -\frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh.$$

Тогда закон изменения энергии запишется в виде:

$$dE_S = dA_{drag}, \\ \frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh = F_{drag} v_h dt.$$

B4  ^0.50 Найдите скорость снижения станции $u_h$.

Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы.

С учетом закона сохранения энергии из прошлого пункта получаем:
$$u_h = \frac{dh}{dt} = \frac{2F_{drag}}{M_S g_0} v_h (1+z_h)^2 = \frac{2F_{drag}}{M_S} \sqrt{\frac{R_E}{g_0}}(1+z_h)^{3/2}.$$

B5  ^0.50 Найдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Выражение для $H_h$ получаем, используя выражения для $u_h$ и $\tau_h$:
$$H_h = u_h \tau_h = \frac{4 \pi R_E}{M_S g_0} F_{drag} (1+z_h)^3.$$
Для нахождения $T_h$ запишем:
$$dh = u_h dt = \frac{2 F_{drag}}{M_S} \sqrt{\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2} dt,$$
откуда
$$dt = \frac{M_S}{2F_{drag} } \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \frac{dh}{(1+z_h)^{3/2}}, \\
T_h = \frac{M_S}{2F_{drag} } \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \int\limits_0^h \frac{1}{(1+z_h)^{3/2}} dh. $$
Интегрируя, получаем:
$$T_h = \frac{M_S R_E}{F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}} \left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z_h}}\right).$$
С учётом $z_h \ll 1$, можем использовать приближение
$$\frac{1}{\sqrt{1+z_h}} \approx 1-\frac{z_h}{2}.$$
Тогда выражение для $T_h$ принимает вид:
$$T_h = \frac{M_S h}{2F_{drag}} \sqrt{\frac{g_0}{R_E}}.$$

C1  ^0.50 Найдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае.

Считая, что молекулы до столкновения со станцией покоятся, запишем закон сохранения импульса при столкновении МКС с молекулами общей массой $dm$:
$$M_s v_h = M_s (v_h + dv_h) + dm \cdot v_h, \\
M_s \cdot dv_h = -dm \cdot v_h.$$
За время $dt$ станция сталкивается с молекулами массой $dm = \rho_h v_h S dt$. Подставим это в полученное ранее выражение:
$$M_s \cdot dv_h = -\rho_h v_h^2 S dt, \\ F_{air} = \bigg|M_S \frac{dv_h} {dt} \bigg| = \rho_h v_h^2 S.$$
Подставляя $F_{air}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:
$$u_h^{air} = \frac{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right), \\
H_h^{air} = \frac{4 \pi S R_E^2}{M_S} \rho_0 \cdot (1+z_h)^2 \cdot \exp \left(-\frac{h(1-z_h)}{h_0} \right).$$

C2  ^0.50 Найдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Аналогично пункту B5 получаем интегральное выражение для $T_h^{air}$:

$$T_h^{air} = \frac{M_S}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \int\limits_0^h \left(1-\frac{h}{2R_E} \right) e^{h/h_0} dh.$$

Интегрирование дает:

$$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \left(1-\frac{h-h_0}{2R_E} \right) \cdot e^{h/h_0}.$$

С учётом всех приближений ответ упрощается:

$$T_h^{air} = \frac{M_S h_0}{2 \rho_0 S \sqrt{g_0 R_E^3}} \cdot e^{h/h_0}.$$

Примечание. Приближения можно было использовать уже в интегральной формуле, что существенно упростило бы вычисление интеграла.

D1  ^0.30 Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь.

Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\rho_{ion}$.

Выражение для тормозящей силы со стороны ионов аналогично выражению из пункта С1. Так как станция проводит примерно половину времени с неосвещённой (ночной) стороны Земли, а ночью ионизацией можно пренебречь, выражение для средней силы следующее:
$$F_{ion} = \frac{1}{2} \rho_{ion} \cdot S \cdot v_h^2.$$
Плотность ионов выражается через из концентрацию как
$$\rho_{ion} = \frac{\mu_{ion}}{N_A} \cdot n_{ion},$$
где $\mu_{ion} = \frac{1}{2} \mu_{O_2}.$

D2  ^0.70 Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношения $h_0 \ll h \ll R_E$.

Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:
$$u_h^{ion} = \rho_{ion} \cdot \frac{S \sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2}, \\
H_h^{ion} = u_h^{ion} \tau_h = \frac{2 \pi S R_E^2 \rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2.$$

E1  ^0.60 Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$.

За время $dt$ на станцию попадает $dN$ ионов:
$$dN = n_{ion} \cdot v_h \cdot S \cdot dt.$$
Возникающий ток:
$$I_{ion} \approx e \frac{dN}{dt} = e \cdot S \cdot n_{ion} \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$

E2  ^0.60 Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции.

Пусть $\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\sin(\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\sin(\pi/2 - \theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения.

В каждый момент времени ток $I_{ion}$ направлен перпендикулярно поверхности земли, а значит и вектору магнитного поля. Модуль силы Ампера, действующей на станцию:
$$|F_{amp}| = ILB.$$
Тогда, проектируя силу Ампера на ось, сонаправленную со скоростью станции, получим выражение для силы в момент, когда угол между скоростью станции и магнитным полем равен $\phi$:
$$F_{ind}(\phi) = |F_{amp}| \sin \phi= ILB \sin \phi.$$
Используя $\left \langle \sin \phi \right \rangle = \sin(\pi/2-\theta)$, получим:
$$\left \langle F_{ind}(\phi) \right \rangle = F_{ind} = ILB \cos \theta = e \cdot S^{3/2} \cdot n_{ion} \cdot B \cdot \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$

E3  ^0.80 Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае.

Подсказка: используйте соотношение $h \ll R_E$.

Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:
$$u_h^{ind} = 2n_{ion} \frac{eBS^{3/2} R_E \cos \theta}{M_S} (1+z_h), \\
H_h^{ind} = \frac{4 \pi e B (SR_E)^{3/2} \cos \theta}{M_S \sqrt{g_0}} (1+z_h)^{5/2}.$$

F1  ^0.40

Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов.

$h, км$	$T_h^{air}, дней$	$u_{air}, м/день$	$u_{ion}, м/день$	$u_{ind}, м/день$	$\sum, м/день$	$u_{ISS}, м/день$
350
375
400
410

Значения столбцов 2-6 считаем по полученным нами ранее формулам, значения столбца 7 оцениваем из графиков, данных в начале задачи.

F2  ^0.40

Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов.

$h, км$	$H_h^{air}, м$	$H_h^{ion}, м$	$H_h^{ind}, м$
350
375
400
410

F3  ^0.20 МКС обращается по орбите на высотах выше 380 км. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния.

На основе значений в таблицах делаем вывод.