Logo
Logo

Кавитация

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

A23
0.0
Сумма баллов
A1  0.50 Используя метод размерностей, оцените время $T$ схлопывания пузырька, содержащего только пар. Выразите ответ через начальный радиус пузырька $R_0$, плотность воды $\rho$, давление воды $p_{\infty}$ и давление пара $p_v$.

Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен $1$, $R_0 = 1~мм$, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$.

1 Получение формулы$
\tau \sim R_0 \sqrt{\dfrac{\rho}{p_\infty - p_v}}
$ 		0.40
2 Численный ответ $
\tau \approx 0.1 ~\text{мс}
$ 		0.10
A2  1.00 Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}~м$, состоящий из воздуха и пара, находится в равновесии, когда внешнее давление равно $p_{\infty} = 101~кПа$. Найдите парциальное давление $q_0$ воздуха в пузырьке.

Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений.

1 Условие, связывающее давление в равновесии $
p_v + q = p_\infty + \frac{2 \sigma}{R},
$ 		0.30
2 Численный ответ для давления воздуха $
q_0 \approx 170 ~\text{кПа}.
$ 		0.10
3 Условие равновесия, уравнение изотермы $
q_0 R_0^3 = q R^3,
$ 		0.10
4 Формула для критического давления $
p_c = p_v - 2 q_0 \left( \frac{R_0}{R_c}\right)^3
$ (возможно в других переменных) 		0.40
5 Численный ответ для критического давления $p_c \approx 700~\text{Па}$ 0.10
B1  1.50 Пусть один сферический пузырек находится в воде, которая заполняет все пространство. Пузырек может менять размер (например из-за изменения внешнего давления $p_{\infty}$), при этом все время оставаясь сферическим.

Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$.

Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$.

Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды.

1 Условие несжимаемости $
v(r,t) = \frac{R^2}{r^2} u(t),
$ 		0.30
2 Вычисление радиального ускорения $
a = \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{R^2}{r^2} u' + \frac{2R}{r^2} u^2 - \frac{2 R^4}{r^5} u^2.
$ 		0.50
3 Второй закон Ньютона $
\rho a = - p',
$ 		0.30
4 Окончательное уравнение с $p$, в которое входит поверхностное натяжение 0.20
5 Окончательное уравнение, в котором $p$ разбито на сумму слагаемых и учтено уравнение адиабаты 0.20
B2  1.00 Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 101~кПа$ содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}~м$, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление мгновенно уменьшается до $p_{\infty} = 0$. Оцените предельное (асимптотическое) значение скорости роста пузырька $R'$, а также время, за которое скорость достигнет этого значения.

1 Формула для конечной скорости 0.40
2 Численное значение конечной скорости 0.10
3 Формула для времени или начального ускорения 0.40
4 Численный ответ для времени 0.10
B3  1.00 Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 1.600~кПа$ содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}~м$, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление стало равно $p_{\infty} = 101~кПа$. Оцените минимальный радиус пузырька перед тем, как он начнет расширяться.

1 Формула для скорости $R'$ 0.50
2 Формула для минимального радиуса 0.40
3 Численный ответ для минимального радиуса 0.10
B4  0.50 Если внутри пузырька находится только водяной пар, пузырек полностью схлопнется за конечное время. Определите показатель степени $\alpha$ в зависимости \[R(t)\sim(T-t)^{\alpha},\] где $T$ — время схлопывания.

1 Асимптотическое уравнение для $R'$ 0.20
2 Решение нужного вида подставлено в уравнение 0.20
3 Численное значение $\alpha$ 0.10
B5  1.00 Используя уравнение, полученное в B3,
найдите собственную частоту сферически-симметричных колебаний пузырька радиуса $R_0 = 0.1~мм$.

1 Записано линейное уравнение второго порядка 0.40
2 Записано условие устойчивости 0.20
3 Формула для собственной частоты 0.30
4 Численное значение собственной частоты 0.10
B6  1.00 Пусть пузырек, описанный в предыдущем пункте, находится в области, в которой есть стоячая звуковая волна. Давление в волне меняется вдоль оси $x$ как \[p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft),\] где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения.

Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука.

1 Записано уравнение вынужденных колебаний 0.20
2 Решение уравнения 0.30
3 Вычисление объема 0.10
4 Вычисление градиента давления 0.10
5 Окончательный ответ 0.30
C1  2.00 Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}~м$, содержащий воздух и пар, находится в растворе воздуха в воде, в котором растворенный воздух находится в равновесии с воздухом при атмосферном давлении.

Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5~Па$, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде.

Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите во введении к задаче. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька.

1 Начальная концентрация воздуха в воде 0.10
2 Начальная концентрация воздуха рядом с пузырьком 0.10
3 Скорость изменения массы в сферической оболочке, выраженная через скорость изменения концентрации 0.10
4 Скорость изменения массы в сферической оболочке, выраженная через потоки 0.10
5 Использован закон Фика 0.10
6 Уравнение диффузии в переменных $r$, $t$ 0.20
7 Начальное и граничное условия 2 × 0.10
8 Переформулировка в терминах одномерной задачи и решение 0.20
9 Вычисление потока через стенку пузырька 0.20
10 Упрощение с учетом малости размера пузырька 0.10
11 Масса пузырька выражена через давление с учетом уравнения состояния идеального газа 0.20
12 Баланс масс 0.10
13 Окончательная формула для времени растворения 0.20
14 Численное значение времени растворения 0.10
C2  0.50 Запишите условия механического равновесия и равновесия по отношению к диффузии. Определите, при каком условии воздух останется в щели. Угол смачивания поверхности водой $\theta$.

1 Условие равновесия 0.20
2 Окончательное условие на углы 0.30