Logo
Logo

Кавитация

Разбалловка

A1  0.50 Используя метод размерностей, оцените время $T$ схлопывания пузырька, содержащего только пар. Выразите ответ через начальный радиус пузырька $R_0$, плотность воды $\rho$, давление воды $p_{\infty}$ и давление пара $p_v$.

Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$.

A1. 1 Получение формулы$
\tau \sim R_0 \sqrt{\dfrac{\rho}{p_\infty - p_v}}
$
0.40
A1. 2 Численный ответ $
\tau \approx 0.1 \text{мс}
$
0.10
A2  1.00 Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, состоящий из воздуха и пара, находится в равновесии, когда внешнее давление равно $p_{\infty} = 101 $ кПа. Найдите парциальное давление $q_0$ воздуха в пузырьке.

Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений.

A2. 1 Условие, связывающее давление в равновесии $
p_v + q = p_\infty + \frac{2 \sigma}{R},
$
0.30
A2. 2 Численный ответ для давления воздуха $
q_0 \approx 170 \text{кПа}.
$
0.10
A2. 3 Условие равновесия, уравнение изотермы $
q_0 R_0^3 = q R^3,
$
0.10
A2. 4 Формула для критического давления $
p_c = p_v - 2 q_0 \left( \frac{R_0}{R_c}\right)^3
$ (возможно в других переменных)
0.40
A2. 5 Численный ответ для критического давления $p_c \approx 700 \text{Па}$ 0.10
B1  1.50 Пусть один сферический пузырек находится в воде, которая заполняет все пространство. Пузырек может менять размер (например из-за изменения внешнего давления $p_{\infty}$), при этом все время оставаясь сферическим.

Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$.

Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$.

Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды.

B1. 1 Условие несжимаемости $
v(r,t) = \frac{R^2}{r^2} u(t),
$
0.30
B1. 2 Вычисление радиального ускорения $
a = \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{R^2}{r^2} u' + \frac{2R}{r^2} u^2 - \frac{2 R^4}{r^5} u^2.
$
0.50
B1. 3 Второй закон Ньютона $
\rho a = - p',
$
0.30
B1. 4 Окончательное уравнение с $p$, в которое входит поверхностное натяжение 0.20
B1. 5 Окончательное уравнение, в котором $p$ разбито на сумму слагаемых и учтено уравнение адиабаты 0.20
B2  1.00 Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 101$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление мгновенно уменьшается до $p_{\infty} = 0$. Оцените предельное (асимптотическое) значение скорости роста пузырька $R'$, а также время, за которое скорость достигнет этого значения.

B2. 1 Формула для конечной скорости 0.40
B2. 2 Численное значение конечной скорости 0.10
B2. 3 Формула для времени или начального ускорения 0.40
B2. 4 Численный ответ для времени 0.10
B3  1.00 Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 1.600$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление стало равно $p_{\infty} = 101$ кПа. Оцените минимальный радиус пузырька перед тем, как он начнет расширяться.

B3. 1 Формула для скорости $R'$ 0.50
B3. 2 Формула для минимального радиуса 0.40
B3. 3 Численный ответ для минимального радиуса 0.10
B4  0.50 Если внутри пузырька находится только водяной пар, пузырек полностью схлопнется за конечное время. Определите показатель степени $\alpha$ в зависимости
\begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*}
где $T$ — время схлопывания.

B4. 1 Асимптотическое уравнение для $R'$ 0.20
B4. 2 Решение нужного вида подставлено в уравнение 0.20
B4. 3 Численное значение $\alpha$ 0.10
B5  1.00 Используя уравнение, полученное в B3, найдите собственную частоту сферически-симметричных колебаний пузырька радиуса $R_0 = 0.1$ мм.

B5. 1 Записано линейное уравнение второго порядка 0.40
B5. 2 Записано условие устойчивости 0.20
B5. 3 Формула для собственной частоты 0.30
B5. 4 Численное значение собственной частоты 0.10
B6  1.00 Пусть пузырек, описанный в предыдущем пункте, находится в области, в которой есть стоячая звуковая волна. Давление в волне меняется вдоль оси $x$ как
\begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*}
где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения.

Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука.

B6. 1 Записано уравнение вынужденных колебаний 0.20
B6. 2 Решение уравнения 0.30
B6. 3 Вычисление объема 0.10
B6. 4 Вычисление градиента давления 0.10
B6. 5 Окончательный ответ 0.30
C1  2.00 Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, содержащий воздух и пар, находится в растворе воздуха в воде, в котором растворенный воздух находится в равновесии с воздухом при атмосферном давлении.

Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде.

Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька.

C1. 1 Начальная концентрация воздуха в воде 0.10
C1. 2 Начальная концентрация воздуха рядом с пузырьком 0.10
C1. 3 Скорость изменения массы в сферической оболочке, выраженная через скорость изменения концентрации 0.10
C1. 4 Скорость изменения массы в сферической оболочке, выраженная через потоки 0.10
C1. 5 Использован закон Фика 0.10
C1. 6 Уравнение диффузии в переменных $r$, $t$ 0.20
C1. 7 Начальное и граничное условия 2 × 0.10
C1. 8 Переформулировка в терминах одномерной задачи и решение 0.20
C1. 9 Вычисление потока через стенку пузырька 0.20
C1. 10 Упрощение с учетом малости размера пузырька 0.10
C1. 11 Масса пузырька выражена через давление с учетом уравнения состояния идеального газа 0.20
C1. 12 Баланс масс 0.10
C1. 13 Окончательная формула для времени растворения 0.20
C1. 14 Численное значение времени растворения 0.10
C2  0.50
Рассмотрим коническую трещину в стенке бака с водой, угол при вершине конуса $\alpha$, см. рис. Небольшое количество пара и воздуха находится в конусе.

Запишите условия механического равновесия и равновесия по отношению к диффузии. Определите, при каком условии воздух останется в щели. Угол смачивания поверхности водой $\theta$.

C2. 1 Условие равновесия 0.20
C2. 2 Окончательное условие на углы 0.30