Pho.rs: Механика контактного взаимодействия

A1 ^1,20 Найдите угловой коэффициент графика $\Delta t^{-1}$ от $\sin \frac{\varphi_0}{2}$, где $\varphi_0$ — угловая амплитуда колебаний маятника, $\Delta t$ — время пролёта шарика через фотодатчик.

Примечание 1. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.

Для экономии времени можно выполнить пункт B.1 вместе с этим пунктом. Упругость нити и намагниченность шарика могут повлиять в начальный момент на его движение. Поэтому не следует проводить измерения при первом пролёте шарика через фотодатчик.

A1. 1 Количество точек для $T$ $\ge 10$ — 0.2 балла $7-9$ — 0.1 балл	2 × 0,10
A1. 2 Диапазон измерений $15^\circ-75^\circ$ — 0.2 балла $25^\circ-65^\circ$ — 0.1 балл	2 × 0,10
A1. 3 Посчитано значение $\sin \frac{\varphi_0}{2}$ для всех точек в таблице	0,10
A1. 4 Посчитано значение $\Delta t = t_{output}-t_{input}$ для всех точек в таблице	0,10
A1. 5 На график нанесено не менее 8 из измеренных точек	0,10
A1. 6 Диапазон точек на графике составляет не менее $75 \text{%}$ от диапазона каждой координатной оси	0,10
A1. 7 Подписаны оси	0,10
A1. 8 Проведена прямая и посчитан её угловой коэффициент	0,10
A1. 9 Значение углового коэффициента $[109; 112]~с^{-1}$ — узкие ворота $[106; 115]~с^{-1}$ — широкие ворота	2 × 0,10

A2 ^0,20 Получите теоретическую зависимость максимальной скорости шарика от начального угла отклонения маятника.

A2. 1 Получена зависимость $v_{max}$ от $\sin \frac{\varphi_0}{2}$ $$v_{max} = 2 \sqrt{gl} \sin \frac{\varphi_0}{2}$$	0,10
A2. 2 Найден угловой коэффициент зависимости $v_{max}$ от $\sin \frac{\varphi_0}{2}$ $$v_{max} = k_v \cdot \sin \frac{\varphi_0}{2} \quad \Rightarrow \quad k_v = 3.517~м/с$$	0,10

B1 ^1,60 Сняв зависимость периода колебаний от угловой амплитуды, постройте линеаризованные графики зависимости $T=f(\varphi_0)$. Учтите, что для разных диапазонов угла могут потребоваться разные линеаризации.

Определите по этим графикам величины $T_0$, $\alpha$ и $\beta$.

Примечание 2. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.

B1. 1 Количество точек для $T_0$, $\alpha$ $\ge 8$ — 0.2 балла $6-7$ — 0.1 балла	2 × 0,10
B1. 2 Диапазон измерений $10^\circ-30^\circ$ — 0.2 балла $20^\circ-45^\circ$ — 0.1 балла	2 × 0,10
B1. 3 Количество измерений для $\alpha$, $\beta$ $\ge 10$ — 0.2 балла $8-9$ — 0.1 балла	2 × 0,10
B1. 4 Диапазон измерений $10^\circ-75^\circ$ — 0.2 балла $20^\circ-45^\circ$ — 0.1 балл	2 × 0,10
B1. 5 Посчитано $T = t_{in2} - t_{in1}$ для всех точек в таблице	0,10
B1. 6 Диапазон точек на графике составляет не менее $75 \text{%}$ от диапазона каждой координатной оси	0,10
B1. 7 Линеаризация	0,10
B1. 8 Значение $T_0 \in [1.09; 1.14]~с$	0,10
B1. 9 Значение $\alpha$ $[0.23; 0.27]$ — 0.2 балла $[0.20; 0.30]$ — 0.1 балла	2 × 0,10
B1. 10 Значение $\beta$ $[0.12; 0.16]$ — 0.2 балла $[0.09; 0.19]$ — 0.1 балл	2 × 0,10

B2 ^0,30 Используя угловой коэффициент, найденный в пункте A.1, и значение $T_0$, найденное в пункте B.1, вычислите ускорение свободного падения в Улан-Баторе. Диаметр большого металлического шарика примите равным $d=31.75~$мм.

B2. 1 Получено выражение для $g$

0,10

B2. 2

Значение $g$

$[9.79; 9.82]~м/с^2$ — 0.2 балла
$[9.76; 9.85]~м/с^2$ — 0.1 балл

2 × 0,10

C1 ^0,20 Когда оба шарика находятся в покое и равновесии, примем положение центра первого шарика за начало координат. Тогда положения шариков можно описать так: расстояние между центрами двух шариков по оси $x$ равно $d_x=2R$, расстояние по оси $y$ равно $d_y=0$, расстояние по оси $z$ равно $d_z \approx 1-2~$мм, а нити, на которых подвешены шарики, практически параллельны (см. рисунок 4a).

Отклоните шарик 1 на угол $25^\circ-35^\circ$ и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).

Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.

C1. 1 4a — 5c

0,20

C2 ^0,20 Условия эксперимента: $d_x-2R\approx1~$мм, $d_y=0$, $d_z=0$, нити параллельны. Этого можно добиться, раздвинув точки подвеса шариков на $1~$мм (см. рисунок 4b).

Отклоните шарик 1 на угол $25^\circ-35^\circ$ и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).

Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.

C2. 1 4b — 5d

0,20

C3 ^0,20 Условия эксперимента: $d_x\approx2R$, $d_y=0$, $d_z=0$, точки подвеса шариков соприкасаются. Нити в этом случае не будут параллельны (см. рисунок 4c).

Отклоните шарик 1 на угол $25^\circ-35^\circ$ и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).

Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.

C3. 1 4c — 5e

0,20

C4 ^0,10 Условия эксперимента: $d_x\approx2R$, $d_y=0$, $d_z=0$, точки подвеса шариков разделены между собой, нити параллельны (см. рисунок 4d).

Отклоните шарик 1 на угол $25^\circ-35^\circ$ и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).

Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.

C4. 1 4d — 5a

0,10

D1 ^0,40 Время соударения шариков $\tau$ задаётся выражением:

$\tau\:=\:_{ }A\cdot x_1^{e_1} \cdot x_2^{e_2}\cdot... \:\cdot x_n^{e_n}$,

где $A$ — безразмерная постоянная, а $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — параметры, влияющие на соударение.

Каким физическим величинам соответствуют эти параметры? Показатели $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ будут определены в пунктах D.2 и D.3.

D1. 1 Получено выражение $$\tau = A \cdot M^{e_1} \cdot E^{e_2} \cdot R^{e_3} \cdot v^{e_4}$$	0,10
D1. 2 Составлены уравнения для размерностей массы, длины, времени	3 × 0,10

D2 ^1,20 Снимите экспериментальные точки и постройте подходящие графики необходимых линеаризованных зависимостей. С их помощью найдите некоторые из показателей степеней в выражении для $\tau$ из пункта D.1.

D2. 2 Линеаризация $$\ln \tau = const + e_4 \cdot \ln v \\ или \\ \ln \tau = const + e_3 \cdot \ln R$$	0,10
D2. 3 Количество точек для $\tau(v)$ $\ge 10$ — 0.2 балла $6-9$ — 0.1 балл	2 × 0,10
D2. 4 Диапазон измерений $10^\circ-70^\circ$ — 0.2 балла $20^\circ-45^\circ$ — 0.1 балл	2 × 0,10
D2. 6 Количество точек для $\tau(R)$ $\ge 10$ — 0.2 балла $8-9$ — 0.1 балл	2 × 0,10
D2. 7 Не менее трёх измерений для радиуса при постоянной скорости	0,20
D2. 8 Значение $e_4$ $[-0.22; -0.17]$ — 0.2 балла $[-0.24; -0.14]$ — 0.1 балл	0,20
D2. 9 Значение $e_3 \in [0.9; 1.1]$ либо $e_3 \approx -0.2$	0,10

D3 ^0,40 Используя метод размерностей и результаты пункта D.2, определите оставшиеся показатели степеней.

D3. 1 Получено финальное выражение для $\tau$
$$\tau = A \frac{R_1+R_2}{c} \left(\frac{c}{v}\right)^{1/5} \\ либо \\ \tau = A \left(\frac{M^2}{RE^2v}\right)^{1/5}$$

0,40

D4 ^1,00 Найдите численное значение $A$ с высокой точностью (не менее 4 значащих цифр).

D4. 1 На графике $\tau(X)$ ($\tau = AX$) присутствуют точки $\ge 10$ — 0.2 балла $6-9$ — 0.1 балл	2 × 0,10
D4. 2 Диапазон измерений $10^\circ-70^\circ$ — 0.2 балла $20^\circ-45^\circ$ — 0.1 балл	2 × 0,10
D4. 3 Подписаны оси	0,20
D4. 4 Проведена прямая и посчитан её угловой коэффициент	0,20
D4. 5 Значение $A$ $[2.35; 2.48]$ — 0.2 балла $[2.30; 2.52]$ — 0.1 балл	2 × 0,10

E1 ^0,60 Получите выражение для средней силы деформации $F_{av}$ и найдите её численное значение.

E1. 1 Выражение для $F_{\alpha v}$	0,20
E1. 2 Численное значение	0,40

E2 ^0,60 Получите выражение для максимального смещения Герца $\delta$ и найдите его численное значение.

E2. 1 Выражение для $\delta$	0,20
E2. 2 Численное значение	0,40

E3 ^0,60 Получите выражение для радиуса Герца $a$ и найдите его численное значение.

E3. 1 Выражение для $a$	0,20
E3. 2 Численное значение	0,40

E4 ^0,60 Получите выражение для максимального давления Герца $P_0$ и найдите его численное значение.

E4. 1 Выражение для $P_0$	0,20
E4. 2 Численное значение	0,40

E5 ^0,60 Получите выражение для среднего давления $P_{av}$ и найдите его численное значение.

E5. 1 Выражение для $P_{\alpha v}$	0,20
E5. 2 Численное значение	0,40

Механика контактного взаимодействия

Разбалловка