Примечание 1. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.

Для экономии времени можно выполнить пункт B.1 вместе с этим пунктом. Упругость нити и намагниченность шарика могут повлиять в начальный момент на его движение. Поэтому не следует проводить измерения при первом пролёте шарика через фотодатчик.

В таблице ниже представлены измерения для пункта A1 (время $\Delta t$ пролёта шарика через фотодатчик) и B1 (период колебаний $T$). Чтобы сэкономить время, можно проводить измерения для обоих пунктов одновременно.

Угловой коэффициент $k_1=110.77~с^{-1}$.

Из закона сохранения энергии:\[\frac{mv^2}2=mgl(1-\cos\varphi_0)=2mgl\sin^2\frac{\varphi_0}2\implies v=2\sqrt{gl}\sin\frac{\varphi_0}2=k_2\sin\frac{\varphi_0}2\]\[v=\frac d{\Delta t}\implies\frac1{\Delta t}=2\frac{\sqrt{gl}}d\sin\frac{\varphi_0}2\implies k_2=2\frac {\sqrt{gl}}d=\frac{gT_0}{\pi d}=3.517~м/с\]

Определите по этим графикам величины $T_0$, $\alpha$ и $\beta$.

Примечание 2. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.

Измерения при малых углах:

Т.к. $\sin^4\frac{30^\circ}2\ll1$, то можно пользоваться разложением $T\approx T_0\left(1+\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2\right)$. Из графика получаем\[T_0=1.1267~,\qquad\alpha T_0=0.2829~с\implies \alpha=0.251.\]Этот результат с хорошей точностью сходится с теоретическим\[\alpha_{th}=1/4\quad (\varepsilon_\alpha < 1\%).\]

Измерения при больших углах:

Т.к. $T=T_0\left(1+\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2+\beta\sin^4\frac{\varphi_0}2\right)$, выберем для линеаризации переменные $X=\sin^4\frac{\varphi_0}2$ и $Y=\frac T{T_0}-1-\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2$, тогда $Y=\beta X$.

Из графика получаем\[\beta=0.149,\]что не особо отличается от теоретического ответа $\beta_{th}=9/64$ ($\varepsilon_\beta=6\%$).

Для нахождения ускорения свободного падения в Улан-Баторе скомбинируем ранее полученные формулы:\[g=\frac{\pi dk_1}{T_0}=9.808~м/с^2.\]Это совпадает с теоретическим значением $g_{UB}=\frac{\pi dk_1}{T_0}=9.804~м/с^2$ ($\varepsilon_g < 1\%$).

Физические величины, от которых в принципе может зависеть время быстрого столкновения шариков:\[\tau=AM^{e_1}E^{e_2}R^{e_3}v^{e_4},\]где $M$ — эффективная масса шариков, $E$ — эффективный модуль Юнга, $R$ — эффективный радиус шариков, $v$ — их относительная скорость.

\[\tau=M^{e_1+e_2}L^{-e_2+e_3+e_4}T^{-2e_2-e_4}\implies\begin{cases}0=e_1+e_2\\0=-e_2+e_3+e_4\\1=-2e_2-e_4\end{cases}\]Итак, получено три уравнения на четыре показателя степени. Ещё одно уравнение необходимо получить экспериментально.

Исследуем зависимость $\tau(v)$:

Прологарифмировав, получим\[e_4=-0.193\quad (3.5\%),\]в то время как теоретическое значение $e_{4th}=-1/5$. Остаётся выяснить, что стоит брать в качестве эффективных радиуса и массы. Проведём эксперимент при постоянно скорости для разных комбинаций шариков:

\[k_{31}:k_{32}:k_{33}=12:9.5:6.8=1.76:1.40:1=31.75:25.06:18.00=d_1:d_2:d_3\implies \tau\propto (R_1+R_2).\]

\[\begin{cases}e_1=2/5\\e_2=-2/5\\e_3=e_4=-1/5\end{cases}\implies \tau^5\propto \frac{M^2}{E^2Rv}\propto\frac{\rho^2R^5}{E^2v}\propto\frac{R^5}{c^5}\frac cv\implies\]выберем для линеаризации переменную $X=\frac{R_1+R_2}c\left(\frac cv\right)^{1/5}\propto\tau$.

Построив график $\tau(X)$, имеем $A=2.40$.

Таблица измерений для определения силы взаимодействия, упругого смещения, радиуса Герца и контактного давления:

\[F_{av}\propto\sqrt{R\delta^3},\quad K_C=\mu v_r^2/2=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2,\\\Delta p=2\mu v_r=\frac{2m_1m_2v}{m_1+m_2}\implies F_{av}=\frac{\Delta p}\tau,\\K_C=F_{av}\delta\implies\delta=\frac{K_C}{F_{av}}=v\tau/4,\\F_{max}=\frac32F_{av}\implies\]

Смещение Герца:\[\delta=\sqrt[3]{\frac{9F_{av}^2}{16RE^{\prime2}}}.\]Здесь приведённый модуль Юнга $\frac1{E'}=2\frac{1-\nu_1^2}{E_1}$.

Радиус Герца:\[a=\sqrt[3]{\frac{3FR}{4E'}}=\sqrt{R\delta},\]где $\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}$.

Наконец, давление Герца:\[P_0=\frac2\pi E'\sqrt{\frac{\delta}{R}}\implies P_0=\frac32P_{av}.\]