В обычной жизни вы наверняка сталкивались с такими физическими ситуациями, как соударение катящегося шара с вертикальной стенкой, а также падение шара с края горизонтального стола. Также вами наверняка решались задачи, связанные с этими ситуациями, однако вы ограничивались случаями, когда шар катится в направлении, перпендикулярном плоскости стены либо краю стола.
В рамках данной задачи вам предлагается получить обобщение результатов на случай, когда скорость центра шара направлена не перпендикулярно плоскости стены либо краю стола.

Во всех пунктах задачи считайте известным следующее:

1. Рассматриваемый шар массой $m$ радиусом $r$ является однородным.
2. Трение качения и трение верчения в рамках данной задачи можно не учитывать.
3. Ускорение свободного падения равняется $g$.

Часть A. Соударение шара с вертикальной стеной (4.5 балла)

Введём прямоугольную систему координат $xyz$ с началом в центре шара в момент соударения так, как показано на рисунке.

Будем использовать следующие обозначения:

1. $C$ — центр шара;
2. $\vec{v}_C$ — скорость центра шара;
3. $\vec{\omega}$ — угловая скорость шара;
4. $A$ — точка шара, контактирующая со стенкой (она является переменной), а $\vec{v}_A$ — скорость данной точки;
5. $\vec{u}_A=v_{Ax}\vec{e}_x+v_{Az}\vec{e}_z$ и $\vec{u}_C=v_{Cx}\vec{e}_x+u_{Cz}\vec{e}_z$  – компоненты векторов скорости точек $A$ и $C$ соответственно , параллельные стенке;
6. $\vec{r}$ — радиус—вектор, проведённый из центра шара $C$ в точку $A$.

A1  ^0.40 Выразите компоненту скорости $\vec{u}_{A}$ точки $A$ через компоненту скорости $\vec{u}_C$ центра шара, его угловую скорость $\vec{\omega}$, а также радиус-вектор $\vec{r}$ в произвольный момент.
Получите также производную по времени $\dot{\vec{u}}_A$ вектора $\vec{u}_A$. Ответ выразите через $\dot{\vec{u}}_C$, $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$.

A2  ^0.60 Определите силу трения $\vec{F}_0$, действующую на шар в начальный момент контакта со стеной. Ответ выразите через $\vec{e}_x$, $\vec{e}_z$, $\alpha$, $\mu$ и силу нормальной реакции стены $N_0$ в начальный момент.

A3  ^1.00 Докажите, что производная по времени $\dot{\vec{u}}_A$ компоненты скорости $\vec{u}_A$ связана с силой трения $\vec{F}$ соотношением:
$$\dot{\vec{u}}_A=\cfrac{7\vec{F}}{2m}{.}
$$
Данный факт можно использовать далее, даже если вы не смогли его доказать.

A4  ^0.50 Определите компоненту скорости $\vec{u}_{Aк}$ сразу после соударения, считая, что шар проскальзывает по стенке в течение всего времени соударения. Ответ выразите через $v$, $\alpha$, $\mu$, $\vec{e}_x$ и $\vec{e}_z$.
При каком максимальном значении коэффициента трения $\mu_{max}$ проскальзывание не прекращается в течение всего времени соударения? Ответ выразите через $\alpha$.

A5  ^0.60 При $\mu<\mu_{max}$ определите скорость центра шара $\vec{v}_{Cк}$, а также под каким углом $\beta$ к горизонту она направлена сразу после соударения. Ответы выразите через $v$, $\alpha$, $\mu$, $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ и $\vec{e}_z$.

A6  ^0.40 При $\mu<\mu_{max}$ определите координаты $x_C$, $y_C$ центра шара в момент его падения на стол. Ответы выразите через $v$, $g$, $\mu$ и $\alpha$.

A7  ^1.00 При произвольных значениях $\mu$ определите количество теплоты $Q$, выделившееся в процессе соударения шара со стенкой. Ответ выразите через $m$, $v$, $\mu$ и $\alpha$. 

Примечание: явное вычисление работы силы трения существенно упростит решение задачи.

Произвольный вектор в цилиндрической системе координат можно представить в следующей форме:
$$\vec{A}=A_r\vec{e}_r+A_\varphi\vec{e}_\varphi+A_z\vec{e}_z{.}
$$
При дифференцировании вектора, заданного компонентами в цилиндрической системе координат, необходимо учитывать, что единичные орты цилиндрической системы координат являются переменными. Для их производных по времени можно записать:
$$\cfrac{d\vec{e}_i}{dt}=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{e}_i\bigr]{,}
$$
где $\vec{\Omega}=\dot{\varphi}\vec{e}_z$ — угловая скорость вращения цилиндрической системы координат.

Таким образом, проекции производной по времени вектора $\vec{A}$ записываются следующим образом:
$$\bigl(\dot{\vec{A}}\bigr)_r=\dot{A}_r-\dot{\varphi}A_\varphi\qquad \bigl(\dot{\vec{A}}\bigr)_\varphi=\dot{A}_\varphi+\dot{\varphi}A_r\qquad \bigl(\dot{\vec{A}}\bigr)_z=\dot{A}_z
$$
Данные соотношения могут оказаться полезными в процессе дальнейшего решения задачи.

Часть B. Уравнения кинематических связей (0.9 балла)

Данная часть посвящена получению основных кинематических уравнений, описывающих движение шара.

B1  ^0.20 Определите компоненты вектора скорости центра шара $v_\varphi$ и $v_z$ в цилиндрической системе координат. Ответы выразите через $r$, $\dot\varphi$ и $\dot{z}$.

B2  ^0.30 Определите компоненты вектора ускорения центра шара $a_r$, $a_\varphi$ и $a_z$ в цилиндрической системе координат. Ответы выразите через $r$, $v_\varphi$, $\dot{v}_\varphi$ и $\dot{v}_z$.

B3  ^0.40 Из условия отсутствия проскальзывания определите компоненты угловой скорости шара $\omega_\varphi$ и $\omega_z$ в цилиндрической системе координат. Ответы выразите через $r$, $v_\varphi$ и $v_z$.

Часть C. Движение в плоскости, перпендикулярной краю стола (2.0 балла)

В плоскости, перпендикулярной краю стола, шар движется по окружности, что очень упрощает анализ данной части его движения.

C1  ^0.80 Определите компоненту силу трения $F_\varphi(\varphi)$, действующую на шар, а также компоненту ускорения $a_\varphi(\varphi)$ его центра. Ответы выразите через массу шара $m$, $g$ и $\varphi$.

C2  ^0.50 Получите зависимость $v_\varphi(\varphi)$. Ответ выразите через $v$, $g$, $r$, $\alpha$ и $\varphi$.

C3  ^0.20 При каком условии шар не отрывается от стола в момент, когда нижняя точка шара достигает его края? Запишите это условие через $v$, $g$, $r$ и $\alpha$. Во всех дальнейших пунктах считайте, что это условие выполняется.

C4  ^0.50 Определите угол $\varphi_1$ в момент отрыва шара от стола. Ответ выразите через $v$, $g$, $r$ и $\alpha$.

Часть D. Движение шара вдоль оси z (3.6 балла)

В данной части задачи вам предлагается проанализировать зависимости от угла $\varphi$ компоненты скорости центра шара $v_z$, а также его угловой скорость верчения $\omega_r$.

D1  ^0.50 Выразите кинетическую энергию шара $E_k$ через $m$, $v_\varphi$, $v_z$, $\omega_r$ и $r$.

D2  ^0.60 Запишите для шара закон сохранения механической энергии. Комбинируя его с результатом пункта $\mathrm{C2}$, покажите, что величины $\omega_r$ и $v_z$ связаны соотношением:
$$1=\cfrac{\omega^2_r}{A^2}+\cfrac{v^2_z}{B^2}{,}
$$
где $A,B>0$ — постоянные коэффициенты.
Определите $A$ и $B$. Ответы выразите через $v$, $r$ и $\alpha$.

Решение данной задачи осложняется тем, что компонента угловой скорости $\omega_r$ не может быть получена исключительно из уравнения кинематической связи, однако можно получить выражение для её производной по времени $\dot{\omega}_r$.

D3  ^0.50 Вектор углового ускорения $\vec{\varepsilon}$ шара может быть представлен в виде:
$$\vec{\varepsilon}=\varepsilon_r\vec{e}_r+\varepsilon_\varphi\vec{e}_\varphi+\varepsilon_z\vec{e}_z{.}
$$
Используя уравнение динамики вращательного движения относительно центра шара, покажите, что $\varepsilon_r=0$. Используя полученное равенство, выразите $\dot{\omega}_r$ через $\dot{\varphi}$, $v_z$ и $r$.

D4  ^1.20 Комбинируя результаты пунктов $\mathrm{D2}$ и $\mathrm{D3}$, получите зависимости $\omega_r(\varphi)$ и $v_z(\varphi)$. Ответы выразите через $v$, $\alpha$, $r$ и $\varphi$.

D5  ^0.80 Рассмотрим предельный переход, когда угол $\alpha\to\pi/2$, т.е движение шара до контакта с краем стола происходит практически параллельно ему.
Определите проекцию скорости $v_z$ центра шара, а также проекцию его угловой скорости $\omega_y$ на ось $y$, направленную вертикально вниз, в момент отрыва шара от стола. Ответы выразите через $v$ и $r$. Все численные коэффициенты в ответе должны быть аналитическими, а не приближёнными!