|
A1. 1
Записано выражение для полной скорости точки $A$: $$\vec{v}_A=\vec{v}_C+\bigl[\vec{\omega}\times\vec{r}\bigr]{.} $$ |
0.10 |
|
|
A1. 2
Получен правильный ответ для $\vec{u}_A$: $$\vec{u}_A=\vec{u}_C+\bigl[\vec{\omega}\times\vec{r}\bigr]{.} $$ |
0.10 |
|
| A1. 3 Указано или используется, что вектор $\vec{r}$ остаётся постоянным в процессе всего соударения. | 0.10 |
|
|
A1. 4
Получен правильный ответ для $\dot{\vec{u}}_C$: $$\dot{\vec{u}}_A=\dot{\vec{u}}_C+\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]{.} $$ |
0.10 |
|
|
A2. 1
Правильно применён закон Кулона—Амонтона: $$\vec{F}=-\mu N\cfrac{\vec{u}_A}{u_A}{.} $$ |
0.10 |
|
|
A2. 2
Записаны выражения для компонент скорости $u_{Ax(0)}$ и $u_{Az(0)}$ точки $A$: $$u_{Ax(0)}=u_{Cx(0)}\qquad u_{Az(0)}=-\omega_{y(0)}r{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A2. 3
Определены компоненты скорости $u_{Ax(0)}$ и $u_{Az(0)}$ точки $A$ в начальный момент: $$u_{Ax(0)}=v\sin\alpha\qquad u_{Az(0)}=-v\cos\alpha{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A2. 4
Получено выражение для силы трения $\vec{F}$: $$\vec{F}_0=\mu N_0\left(\vec{e}_z\cos\alpha-\vec{e}_x\sin\alpha\right){.} $$ |
0.10 |
|
|
A3. 1
Записана теорема о движении центра масс для шара: $$m\dot{\vec{u}}_C=\vec{F}{.} $$ |
0.10 |
|
|
A3. 2
Указано, что вектор момента импульса шара относительно его центра определяется выражением: $$\vec{L}_C=I_C\vec{\omega}{.} $$ Пункт оценивается, даже если $I_C\neq 2mr^2/5$. |
0.20 |
|
|
A3. 3
Записано уравнение динамики вращательного движения относительно центра шара: $$I_C\dot{\vec{\omega}}=\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]{.} $$ Пункт оценивается, даже если $I_C\neq 2mr^2/5$. |
0.20 |
|
|
A3. 4
Получено выражение для силы трения $\vec{F}$: $$\vec{F}=\cfrac{I_C\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]}{r^2}{.} $$ Альтернативно: Выражения для $\dot{\vec{u}}_C$ и $\dot{\vec{\omega}}$ подставлены в уравнение, полученное для $\dot{\vec{u}}_A$: $$\dot{\vec{u}}_A=\cfrac{\vec{F}}{m}+\cfrac{\bigl[\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]\times\vec{r}\bigr]}{I_C}{.} $$ Пункт оценивается, даже если $I_C\neq 2mr^2/5$. |
0.30 |
|
|
A3. 5
Выражение приведено к правильному виду: $$\dot{\vec{u}}_A=\cfrac{\vec{F}}{m}\left(1+\cfrac{mr^2}{I_C}\right)=\cfrac{7\vec{F}}{2m}{.} $$ |
0.20 |
|
| A4. 1 Сделан вывод, что в процессе соударения направление компоненты скорости $\vec{u}_A$ остаётся постоянным. | 0.10 |
|
|
A4. 2
Записано выражение для компоненты скорости $u_A$ при условии постоянного проскальзывания: $$u_A=u_{A(0)}-\cfrac{7\mu}{2}\int\limits_{0}^tNdt{.} $$ |
0.10 |
|
|
A4. 3
Определено значение импульса силы реакции $N$: $$\int\limits_0^tNdt=2mv\cos\alpha{.} $$ |
0.10 |
|
|
A4. 4
Получено выражение для конечной скорости точки $A$ при условии постоянного проскальзывания: $$u_{A}=u_{A(0)}-7\mu v\cos\alpha{.} $$ |
0.10 |
|
|
A4. 5
Получено выражение для $\mu_{max}$: $$\mu_{max}=\cfrac{1}{7\cos\alpha}{.} $$ Пункт оценивается только при наличии полного балла за пункт $\mathrm{A2}$. |
0.10 |
|
|
A5. 1
Записано выражение для угла $\beta$: $$\beta=\operatorname{arctg}\cfrac{v_{Cz}}{\sqrt{v^2_{Cx}+v^2_{Cy}}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A5. 2
Записано выражение для конечной компоненты скорости $\vec{u}_C$: $$\vec{u}_C=v\sin\alpha\vec{e}_x+\cfrac{2(\vec{u}_A-\vec{u}_A(0))}{7} $$ |
0.20 |
|
|
A5. 3
Получено выражение для конечной компоненты скорости центра шара $\vec{u}_C$: $$\vec{u}_C=v\sin\alpha(1-2\mu\cos\alpha)\vec{e}_x+v\cos\alpha\vec{e}_y+2\mu v\cos^2\alpha\vec{e}_z{.} $$ |
0.10 |
|
|
A5. 4
Получен правильный ответ для $\beta$: $$\beta=\operatorname{arctg}\cfrac{2\mu\cos^2\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha(1-2\mu\cos\alpha)^2}}{.} $$ |
0.10 |
|
|
A6. 1
Записаны выражения для координат точки падения шара (по $0{.}1$ балла за каждое): $$x_C=\cfrac{2v_{Cx}v_{Cz}}{g}\qquad y_C=\cfrac{2v_{Cy}v_{Cz}}{g}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A6. 2
Определена координата $x_C$ точки падения шара: $$x_C=\cfrac{4\mu v^2\cos^2\alpha\sin\alpha(1-2\mu\cos\alpha)}{g}{.} $$ |
0.10 |
|
|
A6. 3
Определена координата $y_C$ точки падения шара: $$y_C=\cfrac{4\mu v^2\cos^3\alpha}{g}{.} $$ |
0.10 |
|
Примечание: явное вычисление работы силы трения существенно упростит решение задачи.
|
A7. 1
Записано выражение для мощности силы трения: $$P_\text{тр}=\vec{F}\cdot\vec{u}_A{.} $$ |
0.10 |
|
|
A7. 2
Получено выражение для количества выделившейся теплоты: $$Q=-\int\limits_{0}^tP_\text{тр}dt{.} $$ |
0.10 |
|
|
A7. 3
Записано выражение для элементарного импульса силы трения: $$\vec{F}dt=\cfrac{2md\vec{u}_A}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A7. 4
Выражение для количества выделившейся теплоты $Q$ приведено к виду: $$Q=\int\limits_{\vec{u}_A}^{\vec{u}_A(0)}\cfrac{2m\vec{u}_A\cdot d\vec{u}_A}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A7. 5
Получено выражение для количества выделившейся теплоты $Q$: $$Q=\cfrac{m(u^2_A(0)-u^2_A)}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A7. 6
Получен ответ для количества выделившейся теплоты $Q$ (по $0{.}1$ балла за каждый случай): $$Q=\begin{cases} mv^2(2\mu\cos\alpha-7\mu^2\cos^2\alpha)\quad\text{при}\quad \mu\leq\cfrac{1}{7\cos\alpha}\\ \cfrac{mv^2}{7}\quad\text{при}\quad \mu\geq\cfrac{1}{7\cos\alpha} \end{cases} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
B1. 1
Получен ответ для $v_\varphi$: $$v_\varphi=r\dot{\varphi}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B1. 2
Получен ответ для $v_z$: $$v_z=\dot{z}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 1
Получен ответ для $a_\varphi$: $$a_\varphi=\dot{v}_\varphi{.} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 2
Получен ответ для $a_z$: $$a_z=\dot{v}_z{.} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 3
Получен ответ для $a_r$: $$a_r=-\cfrac{v^2_\varphi}{r}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B3. 1
Получен ответ для $\omega_z$: $$\omega_z=\cfrac{v_\varphi}{r}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B3. 2
Получен ответ для $\omega_\varphi$: $$\omega_\varphi=-\cfrac{v_z}{r}{.} $$ |
0.20 |
|
| Применимость уравнения моментов относительно оси, проходящей вдоль края стола, треб дополнительного обоснования. Если обоснование отсутствует, все ответы данного пункта, полученные с помощью данного уравнения, оцениваются в 0 баллов | ||
|
C1. 2
Записана теорема о движении центра масс в проекции на ось $\varphi$: $$ma_\varphi=mg\sin\varphi+F_\varphi{.} $$ |
0.10 |
|
|
C1. 3
Записано уравнение динамики вращательного движения шара относительно оси $z$: $$I\dot{\omega}_z=-F_\varphi r{.} $$ |
0.30 |
|
|
C1. 4
Для силы трения $F_\varphi$ получено: $$F_\varphi=-\cfrac{2mg\sin\varphi}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C1. 5
Для компоненты ускорения $a_\varphi$ центра шара получено: $$a_\varphi=\cfrac{5g\sin\varphi}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C2. 1
Получено выражение: $$a_\varphi v_\varphi=\cfrac{5gr\sin\varphi\dot{\varphi}}{7}{.} $$ |
0.30 |
|
|
C2. 2
Получена зависимость $v_\varphi(\varphi)$: $$v_\varphi=\sqrt{v^2\cos^2\alpha+\cfrac{10gr(1-\cos\varphi)}{7}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C3. 1
Записано выражение для силы нормальной реакции в начальный момент: $$N=mg-\cfrac{mv^2\cos^2\alpha}{r}{.} $$ |
0.10 |
|
|
C3. 2
Получено ограничение для $v$: $$v\cos\alpha\leq\sqrt{gr}{.} $$ |
0.10 |
|
|
C4. 1
Определена сила реакции $N$ в произвольный момент: $$N=mg\cos\varphi-\cfrac{mv^2_\varphi}{r}{.} $$ |
0.30 |
|
|
C4. 2
Получен ответ для $\varphi_1$: $$\varphi_1=\arccos\left(\cfrac{10}{17}+\cfrac{7v^2\cos^2\alpha}{17gr}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
D1. 1
Записана теорема Кёнига: $$E_k=\cfrac{mv^2_C}{2}+\cfrac{I\omega^2}{2}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D1. 2
Получен ответ для $E_k$: $$E_k=\cfrac{7m(v^2_\varphi+v^2_z)}{10}+\cfrac{m\omega^2_rr^2}{5}{.} $$ |
0.30 |
|
|
D2. 1
Записан закон сохранения механической энергии: $$E_k=E_{k(0)}+mgr(1-\cos\varphi){.} $$ |
0.10 |
|
|
D2. 2
Правильное выражение для начальной кинетической энергии шара: $$E_{k(0)}=\cfrac{7mv^2}{10}{.} $$ |
0.10 |
|
|
D2. 3
Получено соотношение, эквивалентное написанному ниже: $$v^2\sin^2\alpha=v^2_z+\cfrac{2\omega^2_rr^2}{7}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D2. 4
Получены ответы для $A$ и $B$ (по $0{.}1$ балла за каждый): $$A=\sqrt{\cfrac{7}{2}}\cfrac{v\sin\alpha}{r}\qquad B=v\sin\alpha $$ |
2 × 0.10 |
|
|
D3. 1
Записано уравнение динамики вращательного движения относительно центра шара: $$I\vec{\varepsilon}=\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]{.} $$ |
0.20 |
|
| D3. 2 Указано, что $\varepsilon_r=0$, поскольку $\vec{\varepsilon}\perp\vec{r}$. | 0.10 |
|
|
D3. 3
Использовано выражение для компоненты производной $\bigl(\dot{\vec{\omega}}\bigr)_r$ в цилиндрической системе координат и получено: $$\bigl(\dot{\vec{\omega}}\bigr)_r=\dot{\omega}_r-\dot{\varphi}\omega_\varphi{.} $$ |
0.10 |
|
|
D3. 4
Выражение приведено к нужному виду: $$\dot{\omega}_r=-\cfrac{\dot{\varphi}v_z}{r}{.} $$ |
0.10 |
|
|
D4. 1
Комбинация пунктов $\mathrm{D2}$ и $\mathrm{D3}$ приведена к виду: $$1=\cfrac{\omega^2_r}{A^2}+\cfrac{r^2\dot{\omega}^2_r}{B^2\dot{\varphi}^2}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D4. 2
Проведено разделение переменных: $$d\varphi=-\cfrac{r}{B}\cfrac{d\omega_r}{\sqrt{1-\cfrac{\omega^2_r}{A^2}}}{.} $$ Балл ставится даже при неправильном знаке. |
0.20 |
|
|
D4. 3
Правильно проведено интегрирование и получено: $$\omega_r(\varphi)=-A\sin\left(\cfrac{B\varphi}{Ar}\right) $$ |
0.40 |
|
|
D4. 4
Получен ответ для $\omega_r(\varphi)$ (по $0{.}1$ балла за знак и верные коэффициенты): $$\omega_r=-\sqrt{\cfrac{7}{2}}\cfrac{v\sin\alpha}{r}\sin\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\varphi\right){.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
D4. 5
Получен ответ для $v_z(\varphi)$: $$v_z(\varphi)=v\sin\alpha\cos\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\varphi\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
D5. 1
Определено значение угла $\varphi_1$ для указанных начальных условий: $$\varphi_1=\arccos\left(\cfrac{10}{17}\right){.} $$ |
0.10 |
|
|
D5. 2
Получен ответ для $v_z(\varphi_1)$: $$v_z=v\cos\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\arccos\left(\cfrac{10}{17}\right)\right){.} $$ |
0.10 |
|
|
D5. 3
Для проекции угловой скорости $\omega_y$ записано: $$\omega_y=-\omega_r\cos\varphi_1+\omega_\varphi\sin\varphi_1{.} $$ |
0.20 |
|
|
D5. 4
После подстановки $\omega_r$ и $\omega_\varphi$ получено: $$\omega_y=\cfrac{v_0}{r}\left(\sqrt{\cfrac{7}{2}}\cos\varphi_1\sin\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\varphi_1\right)-\sin\varphi_1\cos\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\varphi_1\right)\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
D5. 5
Получен ответ для $\omega_y$: $$\omega_y=\cfrac{v_0}{r}\left(\sqrt{\cfrac{7}{2}}\cfrac{10}{17}\sin\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\arccos\left(\cfrac{10}{17}\right)\right)-\cfrac{\sqrt{189}}{17}\cos\left(\sqrt{\cfrac{2}{7}}\arccos\left(\cfrac{10}{17}\right)\right)\right){.} $$ |
0.20 |
|