Logo
Logo

Полупроводниковые пластины

Часть A. Метод ван дер Пау (6 баллов)
Определение удельного сопротивления плоских объектов представляет собой важную практическую задачу. Т.к. форма объектов произвольна, рассчитать линии тока в них сложно. В 1958 году Лео ван дер Пау решил эту задачу для пластин произвольной геометрической формы.

К центральной части боковой поверхности пластины толщины $d$ подключают 4 контакта $A$, $B$, $C$ и $D$ (см.рис). Сначала через узлы $A$ и $B$ пропускают ток $I_{AB}$ и измеряют напряжение $U_{CD}$ между узлами $C$ и $D$. Сопротивление $R_{\text{AB,CD}}$ рассчитывают как $\cfrac{U_{CD}}{I_{AB}}$. Затем через узлы $B$ и $C$ пропускают ток $I_{BC}$ и измеряют напряжение $U_{DA}$ между узлами $D$ и $A$. Сопротивление $R_{\text{BC,DA}}$ рассчитывают как $\cfrac{U_{DA}}{I_{BC}}$.
Теоретически можно показать, что удельное сопротивление материала рассчитывается по следующей формуле
$$
\rho=\cfrac{{\pi}d}{\ln2} ({R_{\text{AB,CD}}}+{R_{\text{BC,DA}}}) \cfrac{f\left(\frac{R_{\text{AB,CD}}}{R_{\text{BC,DA}}}\right)}{2},
$$
где $f$ --- некая функция, которая не выражается аналитически. В этой задаче вам предстоит численно найти значения этой функции в нескольких точках, а затем вычислить удельное сопротивление пластины.

Обозначим $y=\cfrac{R_{\text{AB,CD}}}{R_{\text{BC,DA}}}$, тогда выражение для удельного сопротивления принимает вид
$$
\rho=\cfrac{{\pi}d}{\ln2} {R_{\text{BC,DA}}} (y+1) \frac{f(y)}{2}
$$
Из теоретических выкладок можно получить, что функция $f(y)$ удовлетворяет соотношению
$$
\cfrac{y-1}{y+1}=\cfrac{f(y)}{\ln2} \text{arch} \left(\cfrac{1}{2}\exp\left(\cfrac{\ln2}{f(y)}\right)\right)
$$
Для удобства обозначив $x=\cfrac{\ln2}{f(y)}$, можно получить равносильную систему уравнений для нахождения удельного сопротивления, которой и нужно пользоваться при дальнейшем решении задачи
$$
\rho={{\pi}d} {R_{\text{BC,DA}}} (y+1) \frac{1}{2x},
$$
$$
\cfrac{y-1}{y+1}=\cfrac{1}{x} \text{arch}\left(\cfrac{\text{e}^x}{2}\right).
$$
Примечание. Гиперболические и обратные гиперболические функции задаются следующими формулами: $$\text{sh} x=\cfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{2},\quad\text{ch} x=\cfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}{2},$$ $$\text{arsh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\quad\text{arch} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}).$$
A1  ?? Получите значения $I_{AB}$, $U_{CD}$, $I_{DA}$ и $U_{BC}$ для 15 различных подключений к пластине.
A2  0.90 Вычислите $R_{\text{AB,CD}}$, $R_{\text{BC,DA}}$ и $y$ для каждого из подключений. Значения всех величин округлите с точностью до 4 значащих цифр.
A3  0.10 Формулу $\cfrac{y-1}{y+1}=\cfrac{1}{x} \text{arch}\left(\cfrac{\text{e}^x}{2}\right)$ можно преобразовать к виду $\text{e}^x=\text{e}^{\alpha x} + \text{e}^{\beta x}$.

Найдите $\alpha$ и $\beta$. Ответ выразите через $y$.
A4  3.00 Уравнение $\text{e}^x=\text{e}^{\alpha x} + \text{e}^{\beta x}$ трансцендентное, и не может быть решено аналитически. Решите его численно, т.е. для каждого $y$ найдите $\text{e}^x$ (с точностью до 4 значащих цифр).
A5  2.00 Построив график в подходящих координатах, определите численное значение $\rho$ полупроводника. Ответ округлите до 3 значащих цифр. Толщину материала примите равной $d=1 \text{мм}$.
Часть B. Примесный полупроводник (4 балла)
Полупроводники бывают двух типов --- собственные и примесные. Критерий их разделения следующий: если в собственных полупроводниках проводимость осуществляется в первую очередь за счет движения собственных электронов, то в примесном полупроводнике на проводимость влияют атомы примеси.

В этой части задачи рассматривается полупроводник $n$-типа, в котором на проводимость влияют доноры. В зависимости от температуры полупроводника, доноры могут являться как основным, так и слабым источником проводимости.

При повышении температуры в полупроводнике протекают процессы ионизации доноров и перехода собственных электронов из валентной зоны в зону проводимости. При низких температурах $kT\ll{E_d}$, ($E_d$ --- энергия ионизации донора), и переходом электронов в зону проводимости можно пренебречь. Поэтому основным источником проводимости являются ионизированные доноры. Зависимость концентрации ионизированных доноров в таком режиме следующая
$$
n={C_1}T^{3/4}\exp\left(-\frac{{E_d}}{2kT}\right)
$$

Процесс перехода от низких температур к высоким сопровождается областью истощения, когда практически все атомы примеси ионизируются, а концентрация свободных носителей заряда остается постоянной в широком диапазоне температур. Температура перехода в область истощения называется $T_i$.

В области высоких температур собственные электроны приобретают достаточную энергию для перехода в зону проводимости, и концентрация свободных электронов начинает резко возрастать. В этой области температур, называемой областью собственной проводимости, основной вклад в проводимость вносят собственные электроны. Температура перехода в область собственной проводимости обозначается $T_s$. Концентрация свободных электронов в области собственной проводимости зависит от температуры по следующему закону
$$
n={C_2}T^{3/2}\exp\left(-\frac{\Delta{E_g}}{2kT}\right),
$$
где $\Delta{E_g}$ --- ширина запрещенной зоны.
B1  ?? Снимите зависимость $n(T)$.
B2  1.60 Постройте график зависимость $\ln n (\frac{1}{T})$. Аппроксимируйте три участка данного графика прямыми линиями и определите значения $T_i$ и $T_s$.Оцените погрешность полученных величин.
B3  1.20 Найдите $E_d$.
B4  1.20 Найдите $\Delta{E_g}$.