С помощью мультиметра в режиме омметра измеряем сопротивления катушек и убеждаемся в их работоспособности.
Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-NS\dfrac{dB}{dt}$$
Пренебрегая омическим сопротивлением катушки, получим, что напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=NS\dfrac{dB}{dt}$$
Следовательно, амплитуды напряжения на катушке и индукции магнитного поля связаны как $$U_{ампл}=2\pi{}f_0{}NSB_{ампл}\implies{}U_{ампл}\sim{}B_{ампл}$$
Пусть $U_0$ — амплитуда напряжения на катушке датчика в отсутствии фольги, $U_d$ — амплитуда напряжения на катушке датчика при слое фольги толщиной $d~мкм$. $B_0$ и $B_d$ определим аналогично. Тогда $$\dfrac{B_d}{B_0}=\dfrac{U_d}{U_0}\implies-\alpha{}d=\ln\dfrac{B_d}{B_0}=\ln\dfrac{U_d}{U_0}$$ Видно, что $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ – линейная зависимость
Таблица измеренных и рассчитанных величин представлена ниже.
$d,~мкм$ $U_d,~$В $\ln\dfrac{U_d}{U_0}$ 0 2.12 0 50 1.70 -0.22 100 1.26 -0.52 200 0.78 -1.00 300 0.46 -1.53
Построим график линейной зависимости $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ и из коэффициента угла наклона определим $\alpha$.
Повторим измерения предыдущего пункта для других частот. Измерения и соответствующие им $\alpha$ представлены в таблице ниже.
$f,~кГц$ $U_0,~В$ $U_{50},~В$ $U_{100},~В$ $U_{200},~В$ $U_{300},~В$ $\alpha,~10^3м^{-1}$ 5.00 2.10 1.88 1.62 1.17 0.74 3170 6.00 2.10 1.84 1.55 1.06 0.65 3690 7.00 2.12 1.82 1.48 0.98 0.58 4130 8.00 2.12 1.78 1.41 0.90 0.53 4540 9.00 2.12 1.74 1.34 0.82 0.50 5000 10.00 2.12 1.70 1.26 0.78 0.46 5140 12.00 2.12 1.62 1.14 0.66 0.40 5910 14.00 2.21 1.54 1.03 0.60 0.34 6160 16.00 2.15 1.46 0.94 0.54 0.31 6480 18.00 2.31 1.38 0.86 0.50 0.30 6580 20.00 2.18 1.31 0.82 0.46 0.27 6810 25.00 2.58 1.04 0.70 0.40 0.25 6980
Введём обозначения: $U_1$ и $I_1$ — амплитуды напряжения и тока в первичной катушке соответственно, $\varphi$ — разность фаз между напряжением и током в первичной катушке, $U_2$ — амплитуда напряжения на реостате, $I_2$ — амплитуда тока через него ($I_2=I_{B,0}$).
Тогда $P_0=\dfrac{U_1I_1cos\varphi}{2}$, $P_{пол}=\dfrac{U_2I_2}{2}=\dfrac{U^2_2}{2R}$
$U_1$, $U_2$, $\varphi$ измеряются непосредственно с помощью осциллографа.
$I_1=\dfrac{U_r}{r}$, где $r=10~Ом$ — сопротивление, включённое последовательно первичной катушке, $U_r$ — амплитуда напряжения на нём.
$I_{B,0}$ изменяется при повороте ручки реостата.
Измерение и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.
$U_1,~В$ $I_1,~$мА $\cos\varphi$ $P_0,~$мВт $R,~$Ом $U_2,~$В $I_{B,0},~$мА $P_{пол},~$мВт $\eta$ 3.36 59.0 0.85 84.1 2.1 0.16 78.1 6.4 0.08 3.60 54.5 0.88 86.6 8.3 0.58 70.0 20.3 0.23 4.20 39.2 0.92 75.8 33.5 1.77 52.9 46.9 0.62 4.60 31.8 0.91 66.9 53.8 2.26 42.0 47.4 0.71 4.92 26.2 0.88 56.9 79.3 2.62 33.0 43.1 0.76 5.10 23.0 0.86 50.3 102 2.83 27.8 39.3 0.78 5.20 21.8 0.77 43.3 125 2.89 23.2 33.4 0.77 5.30 19.4 0.80 41.1 146 3.09 21.2 32.7 0.80 5.45 16.6 0.71 32.0 200 3.26 16.3 26.5 0.83 5.60 15.6 0.55 23.8 303 3.45 11.4 19.6 0.82 5.70 14.0 0.50 20.0 399 3.55 8.9 15.7 0.79 5.70 13.2 0.44 16.5 506 3.56 7.0 12.5 0.76 5.85 12.8 0.28 10.3 1080 3.65 3.4 6.2 0.60 5.90 13.0 0.14 5.3 5810 3.81 0.7 1.2 0.23 5.90 12.8 0.14 5.2 10500 3.85 0.4 0.7 0.13
Из графика находим $\eta_{max}$ и $I^{max}_{B,0}:$
Джоулевы потери складываются из мощности, рассеивающейся непосредственно на катушках из-за наличия у них омического сопротивления, и мощности, рассеивающейся на резисторе, включённом последовательно первичной катушке.
Зная токи в обеих катушках, их сопротивления и номинал резистора $r$, мы можем посчитать джоулевы потери $P_{Дж}$, а потери в сердечнике $P_{серд}$ найдём как остаточный член уравнения «разложения» $P_0$ в условии.
$$P_{Дж}=I^2_1(r_A+r)+I^2_2r_B,$$
$$P_{серд}=P_0-P_{пол}-P_{Дж}.$$
$I_{B,0},~$мА $P_{Дж},~$мВт $P_{серд},~$мВт $\dfrac{P_{Дж}}{P_0}$ $\dfrac{P_{серд}}{P_0}$ 78.1 67.7 10.0 0.81 0.12 70.0 56.4 9.9 0.65 0.11 52.9 30.4 0 0.40 0 42.0 19.6 0 0.29 0 33.0 12.8 1.0 0.23 0.02 27.8 9.6 1.4 0.19 0.03 23.2 7.9 2.1 0.18 0.05 21.2 6.4 2.0 0.16 0.05 16.3 4.4 1.1 0.14 0.03 11.4 3.4 0.8 0.14 0.03 8.9 2.6 1.6 0.13 0.08 7.0 2.3 1.7 0.14 0.10 3.4 2.0 2.2 0.19 0.21 0.7 2.0 2.1 0.37 0.40 0.4 1.9 2.6 0.36 0.50
Из закона электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
В связи с пренебрежением омическим сопротивлением напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
Отсюда сразу следует
В связи с пренебрежением омическим сопротивлением катушек $$-N_A\dfrac{d\Phi_A}{dt}=\mathcal{E}_A(t)=-U_g(t),$$
$$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d\Phi_B}{dt}=-kN_B\dfrac{d\Phi_A}{dt}=-\dfrac{kN_B}{N_A}U_g(t).$$
$$\mathcal{E}_A(t)=-N_A\dfrac{d(\Phi_A+k\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_A\left(N_A\dfrac{dI_A(t)}{dt}+kN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=-U_g(t).$$
Отсюда получаем
Используя закон электромагнитной индукции Фарадея и выражение для потока магнитного поля, получаем:
$$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
И из определения индуктивности находим выражения для $L_A$ и $L_B$:
Определим амплитуды напряжения и тока в катушке A $U_{A,ампл}$ и $I_{A,ампл}$. Амплитуда напряжения непосредственно измеряется осциллографом, для определения амплитуды тока нужно измерить амплитуду напряжения на сопротивлении, подключённом последовательно катушке (см. рис.), и поделить её на номинал сопротивления. $$U_{A,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A,ампл}=(1.20\pm0.05)~мА.$$
Тогда используем выражение для импеданса катушки $$L_A=\dfrac{U_{A,ампл}}{2\pi{}f_0I_{A,ампл}}=(80\pm5)~мГн$$
Аналогично для катушки B $$U_{B,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{B,ампл}=(2.80\pm0.15)~мА.$$ $$L_B=\dfrac{U_{B,ампл}}{2\pi{}f_0I_{B,ампл}}=(34\pm2)~мГн.$$
Чтобы определить $k$ нужно найти отношение ЭДС индукции катушек в расчёте на один виток: $$k=\dfrac{U_{out,0}/N_B}{U_{in,0}/N_A}=m\dfrac{N_A}{N_B}=0.86\pm0.02.$$
Внутреннее сопротивление катушки $r_{A,B}\approx10~Ом$.
Импеданс её индуктивности при частоте $f_0\hspace{0.2cm}Z_{A,B}\approx3000~Ом$.
Из этого следует, что $r_{A,B}\ll{}Z_{A,B},$ поэтому пренебрежение оправдано.
Катушка B замкнута, поэтому падение напряжения на ней равно нулю: $$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d(k\Phi_A+\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_B\left(kN_A\dfrac{dI_P(t)}{dt}+N_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=0.$$
Отсюда получаем
$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}.$$
Воспользуемся результатом, полученным в пункте C3: $$-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}=\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{1}{\mu\mu_0gN^2_A}\left(U_g(t)-\mu\mu_0gkN_AN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right).$$
И выражаем значение $\dfrac{dI_B(t)}{dt}$:
$$\dfrac{dI_B(t)}{dt}=-\dfrac{kU_g(t)}{\mu\mu_0gN_AN_B(1-k^2)}.$$
Подставляя в выражение для $\dfrac{dI_P(t)}{dt}$:
$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{U_g(t)}{\mu\mu_0gN^2_A(1-k^2)}=\dfrac{U_g(t)}{L_A(1-k^2)}.$$
Так как мы знаем, что $U_g(t)=U_{g,0}\cos{2\pi{}f_0t}:$
$$I_P(t)=-\dfrac{U_{g,0}}{2\pi{}f_0L_A(1-k^2)}\cos2\pi{}f_0t.$$
Окончательно получаем:
Замкнём катушку B и определим амплитуду тока в первичной катушке $I_{P,0}$ ранее описанным в пункте C5 методом (с помощью последовательно соединённого резистора).
Получим:
Полученные значения совпадают с учетом погрешности.
Выразим суммарное ЭДС индукции на последовательно соединённых катушках, найдя полный поток через катушку A и B:
$$\mathcal{E}_{A+B}(t)=-N_A\dfrac{d(\mu\mu_0gN_AI_A(t)+k\mu\mu_0{}gN_BI_B(t))}{dt}-N_B\dfrac{d(k\mu\mu_0gN_AI_A(t)+\mu\mu_0gN_BI_B(t))}{dt}$$
$$I_A(t)=I_B(t)=I_{A+B}(t)\implies\mathcal{E}_{A+B}(t)=-(L_A+L_B+2k\sqrt{L_AL_B})\dfrac{dI_{A+B}(t)}{dt}$$
И по определению получаем индуктивность $L_{A+B}:$
Метод измерения аналогичен методу в C5, только теперь катушки будут соединены последовательно в цепь.
$$U_{A+B,ампл}=(6.1\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A+B,ампл}=(0.50\pm0.05)~мА.$$
Из выражения в C9 выразим коэффициент связи $k$:
В пределах погрешности значение совпадает с полученным в пункте C5.
Измерим амплитуды ЭДС на катушках при противоположно направленных потоках:
$$\mathcal{E}_{A,0}=(8.7\pm0.4)~В,$$ $$\mathcal{E}_{B,0}=(2.7\pm0.2)~В.$$
Тогда экспериментальное отношение амплитуд ЭДС:
Из закона электромагнитной индукции Фарадея, учитывая последовательное соединение ($I_1=I_2=I$):
$$\mathcal{E}_A(t)=-\mu\mu_0gN_A(N_A-kN_B)\dfrac{dI(t)}{dt},$$ $$\mathcal{E}_B(t)=-\mu\mu_0gN_B(N_B-kN_A)\dfrac{dI(t)}{dt}.$$
Тогда
Полученные значения совпадают с учетом погрешности.
Обозначим $l=(24\pm1)~см$, $h=(1.20\pm0.02)~мм$.
Запишем теоремы о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля для двух систем: с прокладкой и без нее.
$$\dfrac{B_1}{\mu\mu_0}l=N_AI_1,$$
$$\dfrac{B_2}{\mu\mu_0}l+\dfrac{B_2}{\mu_0}2h=N_AI_2.$$
Запишем связь между потоком $\Phi$ и $L:$
$$LI=\Phi=BSN\Rightarrow\dfrac{NS}{L}=\dfrac{I}{B},$$
где $S$ — это площадь поперечного сечения сердечника.
Отсюда
$$\dfrac{l}{\mu\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_1},\hspace{2cm}\dfrac{l}{\mu\mu_0}+\dfrac{2h}{\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_2}.$$
Поделим одно на другое:
$$\dfrac{L_1}{L_2}=1+\dfrac{2h}{l}\mu.$$
Аналогично пункту C5, в котором мы искали индуктивности, найдём $L_1$ и $L_2$ — индуктивности катушки A без прокладки и с прокладкой соответственно.
$$L_1=(78\pm7)~мГн,\hspace{2cm}L_2=(22\pm1)~мГн.$$
Соберем схему, которая представлена на рисунке ниже (она состоит из резистора $R$ и конденсатора $C$), и подберем значения $R$ и $f$ так, чтобы она была интегрирующей, т.е.
$$U_2(t)\sim{\Large\int}{}U_B(t)dt.$$
Для этого необходимо выполнение условия $f{}RC\gg1$, где $f$ — это угловая частота подаваемого сигнала (это выполнено при $R=51~кОм$ и $f\approx50~Гц$). Покажем это.
При $fRC\gg1$ напряжение на резисторе примерно равно $U_B(t)$, тогда $I_R(t)\approx\dfrac{U_B(t)}{R}$.
При этом $I_B(t)=C\dot{U}_C(t)$, следовательно,
$$\dot{U}_C(t)=\dfrac{U_B(t)}{RC}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{1}{RC}{\Large{\int}}U_B(t)dt=U_2(t).$$
При этом $U_B(t)=N_BS\dfrac{dB(t)}{dt}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{N_BS}{RC}B(t)\Rightarrow B(t)=\dfrac{RC}{N_BS}U_C(t).$
Получив петли гистерезиса при разных частотах, найдем частоту, при которой он «выходит на насыщение». На первом рисунке снизу представлен гистерезис с насыщением при частоте $40~Гц$. На втором представлен гистерезис при частоте $100~Гц$.
$f_b=(45\pm5)~Гц$
Также из теоремы о циркуляции получим: $H(t)=\dfrac{N}{l}I(t)$, где $l=(24\pm1)~см$.
Измеренные и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.
$I_1,~мА$ $U_2,~В$ $H,~А/м$ $B,~мТл$ $\mu_n$ 184 1.02 153 163 844 172 0.98 143 156 867 160 0.94 133 150 894 146 0.90 122 143 938 132 0.86 110 137 991 120 0.80 100 127 1010 108 0.74 90 118 1040 100 0.70 83 112 1070 94.0 0.66 78 105 1070 86.0 0.58 72 92.4 1030 74.4 0.52 62 82.9 1060 68.0 0.48 57 76.5 1070 61.6 0.43 51 68.8 1070 44.0 0.30 37 47.2 1020 35.2 0.23 29 37.0 1000 28.0 0.19 23 30.6 1040 17.4 0.09 15 15.0 822 9.0 0.05 8 7.3 778