С помощью мультиметра в режиме омметра измеряем сопротивления катушек и убеждаемся в их работоспособности.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-N^2S\dfrac{dB}{dt}$$

Пренебрегая омическим сопротивлением катушки, получим, что напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=N^2S\dfrac{dB}{dt}$$

Следовательно, амплитуды напряжения на катушке и индукции магнитного поля связаны как $$U_{ампл}=2\pi{}f_0{}N^2SB_{ампл}\implies{}U_{ампл}\sim{}B_{ампл}$$

Пусть $U_0$ — амплитуда напряжения на катушке датчика в отсутствии фольги, $U_d$ — амплитуда напряжения на катушке датчика при слое фольги толщиной $d~мкм$. $B_0$ и $B_d$ определим аналогично. Тогда $$\dfrac{B_d}{B_0}=\dfrac{U_d}{U_0}\implies-\alpha{}d=\ln\dfrac{B_d}{B_0}=\ln\dfrac{U_d}{U_0}$$ Видно, что $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ – линейная зависимость

Таблица измеренных и рассчитанных величин представлена ниже.

Построим график линейной зависимости $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ и из коэффициента угла наклона определим $\alpha$.

Повторим измерения предыдущего пункта для других частот. Измерения и соответствующие им $\alpha$ представлены в таблице ниже.

Введём обозначения: $U_1$ и $I_1$ — амплитуды напряжения и тока в первичной катушке соответственно, $\varphi$ — разность фаз между напряжением и током в первичной катушке, $U_2$ — амплитуда напряжения на реостате, $I_2$ — амплитуда тока через него ($I_2=I_{B,0}$).
Тогда $P_0=\dfrac{U_1I_1cos\varphi}{2}$, $P_{пол}=\dfrac{U_2I_2}{2}=\dfrac{U^2_2}{2R}$

$U_1$, $U_2$, $\varphi$ измеряются непосредственно с помощью осциллографа.

$I_1=\dfrac{U_r}{r}$, где $r=10~Ом$ — сопротивление, включённое последовательно первичной катушке, $U_r$ — амплитуда напряжения на нём.

$I_{B,0}$ изменяется при повороте ручки реостата.

Измерение и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.

Из графика находим $\eta_{max}$ и $I^{max}_{B,0}:$

Джоулевы потери складываются из мощности, рассеивающейся непосредственно на катушках из-за наличия у них омического сопротивления, и мощности, рассеивающейся на резисторе, включённом последовательно первичной катушке.
Зная токи в обеих катушках, их сопротивления и номинал резистора $r$, мы можем посчитать джоулевы потери $P_{Дж}$, а потери в сердечнике $P_{серд}$ найдём как остаточный член уравнения «разложения» $P_0$ в условии.
$$P_{Дж}=I^2_1(r_A+r)+I^2_2r_B,$$
$$P_{серд}=P_0-P_{пол}-P_{Дж}.$$

Из закона электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
В связи с пренебрежением омическим сопротивлением напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
Отсюда сразу следует

В связи с пренебрежением омическим сопротивлением катушек $$-N_A\dfrac{d\Phi_A}{dt}=\mathcal{E}_A(t)=-U_g(t),$$
$$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d\Phi_B}{dt}=-kN_B\dfrac{d\Phi_A}{dt}=-\dfrac{kN_B}{N_A}U_g(t).$$

$$\mathcal{E}_A(t)=-N_A\dfrac{d(\Phi_A+k\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_A\left(N_A\dfrac{dI_A(t)}{dt}+kN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=-U_g(t).$$
Отсюда получаем

Используя закон электромагнитной индукции Фарадея и выражение для потока магнитного поля, получаем:
$$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
И из определения индуктивности находим выражения для $L_A$ и $L_B$:

Определим амплитуды напряжения и тока в катушке A $U_{A,ампл}$ и $I_{A,ампл}$. Амплитуда напряжения непосредственно измеряется осциллографом, для определения амплитуды тока нужно измерить амплитуду напряжения на сопротивлении, подключённом последовательно катушке (см. рис.), и поделить её на номинал сопротивления. $$U_{A,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A,ампл}=(1.20\pm0.05)~мА.$$

Тогда используем выражение для импеданса катушки $$L_A=\dfrac{U_{A,ампл}}{2\pi{}f_0I_{A,ампл}}=(80\pm5)~мГн$$

Аналогично для катушки B $$U_{B,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{B,ампл}=(2.80\pm0.15)~мА.$$ $$L_B=\dfrac{U_{B,ампл}}{2\pi{}f_0I_{B,ампл}}=(34\pm2)~мГн.$$

Чтобы определить $k$ нужно найти отношение ЭДС индукции катушек в расчёте на один виток: $$k=\dfrac{U_{out,0}/N_B}{U_{in,0}/N_A}=m\dfrac{N_A}{N_B}=0.86\pm0.02.$$

Внутреннее сопротивление катушки $r_{A,B}\approx10~Ом$.

Импеданс её индуктивности при частоте $f_0\hspace{0.2cm}Z_{A,B}\approx3000~Ом$.

Из этого следует, что $r_{A,B}\ll{}Z_{A,B},$ поэтому пренебрежение оправдано.

Катушка B замкнута, поэтому падение напряжения на ней равно нулю: $$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d(k\Phi_A+\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_B\left(kN_A\dfrac{dI_P(t)}{dt}+N_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=0.$$

Отсюда получаем 

$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}.$$ 

Воспользуемся результатом, полученным в пункте C3: $$-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}=\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{1}{\mu\mu_0gN^2_A}\left(U_g(t)-\mu\mu_0gkN_AN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right).$$

И выражаем значение $\dfrac{dI_B(t)}{dt}$:

$$\dfrac{dI_B(t)}{dt}=-\dfrac{kU_g(t)}{\mu\mu_0gN_AN_B(1-k^2)}.$$

Подставляя в выражение для $\dfrac{dI_P(t)}{dt}$:

$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{U_g(t)}{\mu\mu_0gN^2_A(1-k^2)}=\dfrac{U_g(t)}{L_A(1-k^2)}.$$

Так как мы знаем, что $U_g(t)=U_{g,0}\cos{2\pi{}f_0t}:$

$$I_P(t)=-\dfrac{U_{g,0}}{2\pi{}f_0L_A(1-k^2)}\cos2\pi{}f_0t.$$

Окончательно получаем:

Замкнём катушку B и определим амплитуду тока в первичной катушке $I_{P,0}$ ранее описанным в пункте C5 методом (с помощью последовательно соединённого резистора).

Получим:

Полученные значения совпадают с учетом погрешности.

Выразим суммарное ЭДС индукции на последовательно соединённых катушках, найдя полный поток через катушку A и B:

 $$\mathcal{E}_{A+B}(t)=-N_A\dfrac{d(\mu\mu_0gN_AI_A(t)+k\mu\mu_0{}gN_BI_B(t))}{dt}-N_B\dfrac{d(k\mu\mu_0gN_AI_A(t)+\mu\mu_0gN_BI_B(t))}{dt}$$ 

$$I_A(t)=I_B(t)=I_{A+B}(t)\implies\mathcal{E}_{A+B}(t)=-(L_A+L_B+2k\sqrt{L_AL_B})\dfrac{dI_{A+B}(t)}{dt}$$

И по определению получаем индуктивность $L_{A+B}:$ 

Метод измерения аналогичен методу в C5, только теперь катушки будут соединены последовательно в цепь. 

$$U_{A+B,ампл}=(6.1\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A+B,ампл}=(0.50\pm0.05)~мА.$$

Из выражения в C9 выразим коэффициент связи $k$:

В пределах погрешности значение совпадает с полученным в пункте C5.

Измерим амплитуды ЭДС на катушках при противоположно направленных потоках:
$$\mathcal{E}_{A,0}=(8.7\pm0.4)~В,$$ $$\mathcal{E}_{B,0}=(2.7\pm0.2)~В.$$
Тогда экспериментальное отношение амплитуд ЭДС:

Из закона электромагнитной индукции Фарадея, учитывая последовательное соединение ($I_1=I_2=I$):
$$\mathcal{E}_A(t)=-\mu\mu_0gN_A(N_A-kN_B)\dfrac{dI(t)}{dt},$$ $$\mathcal{E}_B(t)=-\mu\mu_0gN_B(N_B-kN_A)\dfrac{dI(t)}{dt}.$$
Тогда

Полученные значения совпадают с учетом погрешности.

Обозначим $l=(24\pm1)~см$, $h=(1.20\pm0.02)~мм$. 

Запишем теоремы о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля для двух систем: с прокладкой и без нее. 

$$\dfrac{B_1}{\mu\mu_0}l=N_AI_1,$$ 

$$\dfrac{B_2}{\mu\mu_0}l+\dfrac{B_2}{\mu_0}2h=N_AI_2.$$ 

Запишем связь между потоком $\Phi$ и $L:$

$$LI=\Phi=BSN\Rightarrow\dfrac{NS}{L}=\dfrac{I}{B},$$ 

 где $S$ — это площадь поперечного сечения сердечника.

 Отсюда

 $$\dfrac{l}{\mu\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_1},\hspace{2cm}\dfrac{l}{\mu\mu_0}+\dfrac{2h}{\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_2}.$$ 

Поделим одно на другое:

 $$\dfrac{L_1}{L_2}=1+\dfrac{2h}{l}\mu.$$

 Аналогично пункту C5, в котором мы искали индуктивности, найдём $L_1$ и $L_2$ — индуктивности катушки A без прокладки и с прокладкой соответственно.

 $$L_1=(78\pm7)~мГн,\hspace{2cm}L_2=(22\pm1)~мГн.$$ 

Соберем схему, которая представлена на рисунке ниже (она состоит из резистора $R$ и конденсатора $C$), и подберем значения $R$ и $f$ так, чтобы она была интегрирующей, т.е.
$$U_2(t)\sim{\Large\int}{}U_B(t)dt.$$
Для этого необходимо выполнение условия $f{}RC\gg1$, где $f$ — это угловая частота подаваемого сигнала (это выполнено при $R=51~кОм$ и $f\approx50~Гц$). Покажем это.

При $fRC\gg1$ напряжение на резисторе примерно равно $U_B(t)$, тогда $I_R(t)\approx\dfrac{U_B(t)}{R}$.
При этом $I_B(t)=C\dot{U}_C(t)$, следовательно,
$$\dot{U}_C(t)=\dfrac{U_B(t)}{RC}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{1}{RC}{\Large{\int}}U_B(t)dt=U_2(t).$$
При этом $U_B(t)=N_BS\dfrac{dB(t)}{dt}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{N_BS}{RC}B(t)\Rightarrow B(t)=\dfrac{RC}{N_BS}U_C(t).$

Получив петли гистерезиса при разных частотах, найдем частоту, при которой он «выходит на насыщение». На первом рисунке снизу представлен гистерезис с насыщением при частоте $40~Гц$. На втором представлен гистерезис при частоте $100~Гц$.

$f_b=(45\pm5)~Гц$
Также из теоремы о циркуляции получим: $H(t)=\dfrac{N}{l}I(t)$, где $l=(24\pm1)~см$.
Измеренные и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.