Logo
Logo

Ферритовый сердечник и трансформатор

A0  ?? Измерьте сопротивления катушек A и B ($r_A$ и $r_B$ соответственно), а также сопротивления последовательно соединённых с ними резисторов. Все значения должны лежать в диапазоне до $15~Ом$.

С помощью мультиметра в режиме омметра измеряем сопротивления катушек и убеждаемся в их работоспособности.

Ответ: $$r_A=(13.3\pm0.1)~Ом$$ $$r_B=(9.0\pm0.1)~Ом$$ $$r_{A,рез}=r_{B,рез}=(0.97\pm0.04)~Ом$$

А1  0,60 Проведите измерения для проверки приведённой выше модели экранирования магнитных полей при частоте $f=10~$кГц. Постройте линеаризованный график и найдите коэффициент затухания $\alpha$ для данной частоты. Фольгу необходимо располагать между катушкой A и катушкой датчика.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-NS\dfrac{dB}{dt}$$

Пренебрегая омическим сопротивлением катушки, получим, что напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=NS\dfrac{dB}{dt}$$

Следовательно, амплитуды напряжения на катушке и индукции магнитного поля связаны как $$U_{ампл}=2\pi{}f_0{}NSB_{ампл}\implies{}U_{ампл}\sim{}B_{ампл}$$

Пусть $U_0$ — амплитуда напряжения на катушке датчика в отсутствии фольги, $U_d$ — амплитуда напряжения на катушке датчика при слое фольги толщиной $d~мкм$. $B_0$ и $B_d$ определим аналогично. Тогда $$\dfrac{B_d}{B_0}=\dfrac{U_d}{U_0}\implies-\alpha{}d=\ln\dfrac{B_d}{B_0}=\ln\dfrac{U_d}{U_0}$$ Видно, что $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ – линейная зависимость

Таблица измеренных и рассчитанных величин представлена ниже.

$d,~мкм$$U_d,~$В$\ln\dfrac{U_d}{U_0}$
02.120
501.70-0.22
1001.26-0.52
2000.78-1.00
3000.46-1.53

Построим график линейной зависимости $\ln\dfrac{U_d}{U_0}(d)$ и из коэффициента угла наклона определим $\alpha$.

Ответ: $\alpha=5160~м^{-1}$

A2  2,00 Определите коэффициент затухания $\alpha$ для нескольких частот в диапазоне $5-25~кГц$.

Повторим измерения предыдущего пункта для других частот. Измерения и соответствующие им $\alpha$ представлены в таблице ниже.

$f,~кГц$$U_0,~В$$U_{50},~В$$U_{100},~В$$U_{200},~В$$U_{300},~В$$\alpha,~10^3м^{-1}$
5.002.101.881.621.170.743170
6.002.101.841.551.060.653690
7.002.121.821.480.980.584130
8.002.121.781.410.900.534540
9.002.121.741.340.820.505000
10.002.121.701.260.780.465140
12.002.121.621.140.660.405910
14.002.211.541.030.600.346160
16.002.151.460.940.540.316480
18.002.311.380.860.500.306580
20.002.181.310.820.460.276810
25.002.581.040.700.400.256980

А3  1,20 Постройте график зависимости $\alpha$ от частоты.

B1  0,30 Экспериментально определите $m$. Нарисуйте схемы измерений, необходимых для получения численного значения этой величины.


Соберем схему, представленную на рисунке и будем измерять $U_{in}$ и $U_{out}$ с помощью осциллографа.

$U_{in,0}=(6,10\pm0.05)~В.$
$U_{out,0}=(3.48\pm0.04)~В.$
Получаем значение $m=\dfrac{U_{out,0}}{U_{in,0}}:$

Ответ:
$m=0.57\pm0.01.$

B2  1,30 Снимите зависимость $P_{пол}$ и $P_0$ от амплитуды тока во вторичной катушке $I_{B,0}$.

Введём обозначения: $U_1$ и $I_1$ — амплитуды напряжения и тока в первичной катушке соответственно, $\varphi$ — разность фаз между напряжением и током в первичной катушке, $U_2$ — амплитуда напряжения на реостате, $I_2$ — амплитуда тока через него ($I_2=I_{B,0}$).
Тогда $P_0=\dfrac{U_1I_1cos\varphi}{2}$, $P_{пол}=\dfrac{U_2I_2}{2}=\dfrac{U^2_2}{2R}$

$U_1$, $U_2$, $\varphi$ измеряются непосредственно с помощью осциллографа.

$I_1=\dfrac{U_r}{r}$, где $r=10~Ом$ — сопротивление, включённое последовательно первичной катушке, $U_r$ — амплитуда напряжения на нём.

$I_{B,0}$ изменяется при повороте ручки реостата.

Измерение и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.

$U_1,~В$ $I_1,~$мА$\cos\varphi$$P_0,~$мВт$R,~$Ом$U_2,~$В$I_{B,0},~$мА$P_{пол},~$мВт$\eta$
3.3659.00.8584.12.10.1678.16.40.08
3.6054.50.8886.68.30.5870.020.30.23
4.2039.20.9275.833.51.7752.946.90.62
4.6031.80.9166.953.82.2642.047.40.71
4.9226.20.8856.979.32.6233.043.10.76
5.1023.00.8650.31022.8327.839.30.78
5.2021.80.7743.31252.8923.233.40.77
5.3019.40.8041.11463.0921.232.70.80
5.4516.60.7132.02003.2616.326.50.83
5.6015.60.5523.83033.4511.419.60.82
5.7014.00.5020.03993.558.915.70.79
5.7013.20.4416.55063.567.012.50.76
5.8512.80.2810.310803.653.46.20.60
5.9013.00.145.358103.810.71.20.23
5.9012.80.145.2105003.850.40.70.13

B3  1,20 Постройте график зависимости $\eta(I_{B,0})$. Укажите максимальное КПД $\eta_{max}$ и при каком $I^{max}_{B,0}$ оно достигается.

Из графика находим $\eta_{max}$ и $I^{max}_{B,0}:$

Ответ: $\eta_{max}=0.83\pm0.01.$

$I^{max}_{B,0}=(15\pm5)~мА.$

B4  2,00 Получите зависимости относительного вклада каждого источника потерь $\dfrac{P_{Дж}}{P_0}$ и $\dfrac{P_{серд}}{P_0}$ от амплитуды тока во вторичной катушке $I_{B,0}$. Постройте их графики.

Джоулевы потери складываются из мощности, рассеивающейся непосредственно на катушках из-за наличия у них омического сопротивления, и мощности, рассеивающейся на резисторе, включённом последовательно первичной катушке.
Зная токи в обеих катушках, их сопротивления и номинал резистора $r$, мы можем посчитать джоулевы потери $P_{Дж}$, а потери в сердечнике $P_{серд}$ найдём как остаточный член уравнения «разложения» $P_0$ в условии.
$$P_{Дж}=I^2_1(r_A+r)+I^2_2r_B,$$
$$P_{серд}=P_0-P_{пол}-P_{Дж}.$$

$I_{B,0},~$мА$P_{Дж},~$мВт$P_{серд},~$мВт$\dfrac{P_{Дж}}{P_0}$$\dfrac{P_{серд}}{P_0}$
78.167.710.00.810.12
70.056.49.90.650.11
52.930.400.400
42.019.600.290
33.012.81.00.230.02
27.89.61.40.190.03
23.27.92.10.180.05
21.26.42.00.160.05
16.34.41.10.140.03
11.43.40.80.140.03
8.92.61.60.130.08
7.02.31.70.140.10
3.42.02.20.190.21
0.72.02.10.370.40
0.41.92.60.360.50

C1  0,10 Получите уравнение, связывающее между собой амплитуды тока и напряжения в катушке.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции $$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
В связи с пренебрежением омическим сопротивлением напряжение на катушке $$U(t)=-\mathcal{E}_{инд}(t)=\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
Отсюда сразу следует

Ответ: $$U_{ампл}=2\pi\mu\mu_0gf_0N^2I_{ампл}$$

C2  0,10 В этом случае получите выражения для ЭДС индукции $\mathcal{E}_A(t)$ и $\mathcal{E}_B(t)$ в катушках A и B соответственно. Ответ выразите через $N_A$, $N_B$, $k$, $U_g(t)$. Ток в первичной катушке считайте положительным, если он течет от «плюса» источника к «минусу».

В связи с пренебрежением омическим сопротивлением катушек $$-N_A\dfrac{d\Phi_A}{dt}=\mathcal{E}_A(t)=-U_g(t),$$
$$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d\Phi_B}{dt}=-kN_B\dfrac{d\Phi_A}{dt}=-\dfrac{kN_B}{N_A}U_g(t).$$

Ответ: $\mathcal{E}_A(t)=-U_g(t),$
$\mathcal{E}_B(t)=-\dfrac{kN_B}{N_A}U_g(t).$

C3  0,30 Получите выражение для производной тока в катушке A $\dfrac{dI_A(t)}{dt}$. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $g$, $N_A$, $N_B$, $k$, $U_g(t)$, $I_B(t)$. Считайте токи $I_A$ и $I_B$ одного знака, если создаваемые ими потоки складываются.

$$\mathcal{E}_A(t)=-N_A\dfrac{d(\Phi_A+k\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_A\left(N_A\dfrac{dI_A(t)}{dt}+kN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=-U_g(t).$$
Отсюда получаем

Ответ: $$\dfrac{dI_A(t)}{dt}=\dfrac{1}{\mu\mu_0gN^2_A}\left(U_g(t)-\mu\mu_0gkN_AN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right).$$

C4  0,60 Получите теоретические выражения для собственных индуктивностей $L_A$ и $L_B$. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $g$, $N_A$, $N_B$.

Используя закон электромагнитной индукции Фарадея и выражение для потока магнитного поля, получаем:
$$\mathcal{E}_{инд}(t)=-N\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=-\mu\mu_0gN^2\dfrac{dI(t)}{dt}$$
И из определения индуктивности находим выражения для $L_A$ и $L_B$:

Ответ: $$L_A=\mu\mu_0gN^2_A,$$ $$L_B=\mu\mu_0gN^2_B.$$

C5  0,80 Экспериментально определите $L_A$, $L_B$, $k$. Нарисуйте схемы измерений, необходимых для получения численных значений этих величин.

Определим амплитуды напряжения и тока в катушке A $U_{A,ампл}$ и $I_{A,ампл}$. Амплитуда напряжения непосредственно измеряется осциллографом, для определения амплитуды тока нужно измерить амплитуду напряжения на сопротивлении, подключённом последовательно катушке (см. рис.), и поделить её на номинал сопротивления. $$U_{A,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A,ампл}=(1.20\pm0.05)~мА.$$

Тогда используем выражение для импеданса катушки $$L_A=\dfrac{U_{A,ампл}}{2\pi{}f_0I_{A,ампл}}=(80\pm5)~мГн$$

Аналогично для катушки B $$U_{B,ампл}=(6.0\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{B,ампл}=(2.80\pm0.15)~мА.$$ $$L_B=\dfrac{U_{B,ампл}}{2\pi{}f_0I_{B,ампл}}=(34\pm2)~мГн.$$

Чтобы определить $k$ нужно найти отношение ЭДС индукции катушек в расчёте на один виток: $$k=\dfrac{U_{out,0}/N_B}{U_{in,0}/N_A}=m\dfrac{N_A}{N_B}=0.86\pm0.02.$$

C6  0,30 Покажите, что пренебрежение внутренним сопротивлением катушки оправдано.

Внутреннее сопротивление катушки $r_{A,B}\approx10~Ом$.

Импеданс её индуктивности при частоте $f_0\hspace{0.2cm}Z_{A,B}\approx3000~Ом$.

Из этого следует, что $r_{A,B}\ll{}Z_{A,B},$ поэтому пренебрежение оправдано.

C7  0,60 Получите в явном виде выражение для $I_P(t)$ через $f_0$, $L_A$, $k$, $U_g(t)$ и найдите численное значение его амплитуды $I_{P,0}$.

Катушка B замкнута, поэтому падение напряжения на ней равно нулю: $$\mathcal{E}_B(t)=-N_B\dfrac{d(k\Phi_A+\Phi'_B)}{dt}=-\mu\mu_0gN_B\left(kN_A\dfrac{dI_P(t)}{dt}+N_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right)=0.$$

Отсюда получаем 

$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}.$$ 

Воспользуемся результатом, полученным в пункте C3: $$-\dfrac{N_B}{kN_A}\dfrac{dI_B(t)}{dt}=\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{1}{\mu\mu_0gN^2_A}\left(U_g(t)-\mu\mu_0gkN_AN_B\dfrac{dI_B(t)}{dt}\right).$$

И выражаем значение $\dfrac{dI_B(t)}{dt}$:

$$\dfrac{dI_B(t)}{dt}=-\dfrac{kU_g(t)}{\mu\mu_0gN_AN_B(1-k^2)}.$$

Подставляя в выражение для $\dfrac{dI_P(t)}{dt}$:

$$\dfrac{dI_P(t)}{dt}=\dfrac{U_g(t)}{\mu\mu_0gN^2_A(1-k^2)}=\dfrac{U_g(t)}{L_A(1-k^2)}.$$

Так как мы знаем, что $U_g(t)=U_{g,0}\cos{2\pi{}f_0t}:$

$$I_P(t)=-\dfrac{U_{g,0}}{2\pi{}f_0L_A(1-k^2)}\cos2\pi{}f_0t.$$

Окончательно получаем:

Ответ: $$I_{P,0}=\dfrac{U_{g,0}}{2\pi{}f_0L_A(1-k^2)}=(4.6\pm1.0)~мА$$

C8  0,60 Экспериментально определите $I_{P,0}$.

Замкнём катушку B и определим амплитуду тока в первичной катушке $I_{P,0}$ ранее описанным в пункте C5 методом (с помощью последовательно соединённого резистора).

Получим:

Ответ: $I_{P,0}=(5.0\pm0.3)~мА.$

Полученные значения совпадают с учетом погрешности.

C9  0,20 Выразите собственную индуктивность последовательно соединенных катушек $L_{A+B}$ в случае, когда потоки от разных катушек суммируются. Ответ выразите через $L_A$, $L_B$, $k$.

Выразим суммарное ЭДС индукции на последовательно соединённых катушках, найдя полный поток через катушку A и B:

 $$\mathcal{E}_{A+B}(t)=-N_A\dfrac{d(\mu\mu_0gN_AI_A(t)+k\mu\mu_0{}gN_BI_B(t))}{dt}-N_B\dfrac{d(k\mu\mu_0gN_AI_A(t)+\mu\mu_0gN_BI_B(t))}{dt}$$ 

$$I_A(t)=I_B(t)=I_{A+B}(t)\implies\mathcal{E}_{A+B}(t)=-(L_A+L_B+2k\sqrt{L_AL_B})\dfrac{dI_{A+B}(t)}{dt}$$

И по определению получаем индуктивность $L_{A+B}:$ 

Ответ: $$L_{A+B}=L_A+L_B+2k\sqrt{L_AL_B}.$$

C10  0,30 Экспериментально определите $L_{A+B}$.

Метод измерения аналогичен методу в C5, только теперь катушки будут соединены последовательно в цепь. 

$$U_{A+B,ампл}=(6.1\pm0.1)~В,\hspace{2cm}I_{A+B,ампл}=(0.50\pm0.05)~мА.$$

Ответ: $$L_{A+B}=\dfrac{U_{A+B,ампл}}{2\pi{}f_0I_{A+B,ампл}}=(190\pm20)~мГн.$$

C11  0,20 Используя экспериментальные значения $L_A$, $L_B$, $L_{A+B}$, найдите коэффициент связи $k$. Сравните полученное значение с полученным в пункте C5.

Из выражения в C9 выразим коэффициент связи $k$:

 

Ответ: $$k=\dfrac{L_{A+B}-L_A-L_B}{2\sqrt{L_AL_B}}=0.73\pm0.20.$$

В пределах погрешности значение совпадает с полученным в пункте C5.

C12  0,30 Проведите измерение амплитуды ЭДС индукции на катушках $\mathcal{E}_{A,0}$ и $\mathcal{E}_{B,0}$, когда направления создаваемых потоков противоположны и найдите отношение $\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}$. Получите теоретическое выражение для $\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}$. Ответ выразите через $k$, $N_A$, $N_B$.

Измерим амплитуды ЭДС на катушках при противоположно направленных потоках:
$$\mathcal{E}_{A,0}=(8.7\pm0.4)~В,$$ $$\mathcal{E}_{B,0}=(2.7\pm0.2)~В.$$
Тогда экспериментальное отношение амплитуд ЭДС:

Ответ: $$\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}=3.2\pm0.4.$$

Из закона электромагнитной индукции Фарадея, учитывая последовательное соединение ($I_1=I_2=I$):
$$\mathcal{E}_A(t)=-\mu\mu_0gN_A(N_A-kN_B)\dfrac{dI(t)}{dt},$$ $$\mathcal{E}_B(t)=-\mu\mu_0gN_B(N_B-kN_A)\dfrac{dI(t)}{dt}.$$
Тогда

Ответ: $$\dfrac{\mathcal{E}_{A,0}}{\mathcal{E}_{B,0}}=\dfrac{N_A}{N_B}\left|\dfrac{N_A-kN_B}{N_B-kN_A}\right|\approx3.3.$$

Полученные значения совпадают с учетом погрешности.

C13  2,00 Определите относительную магнитную проницаемость $\mu$ ферритового материала. Нарисуйте схемы измерений, обозначив на них линии индукции магнитного поля.

Обозначим $l=(24\pm1)~см$, $h=(1.20\pm0.02)~мм$. 

Запишем теоремы о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля для двух систем: с прокладкой и без нее. 

$$\dfrac{B_1}{\mu\mu_0}l=N_AI_1,$$ 

$$\dfrac{B_2}{\mu\mu_0}l+\dfrac{B_2}{\mu_0}2h=N_AI_2.$$ 

Запишем связь между потоком $\Phi$ и $L:$

$$LI=\Phi=BSN\Rightarrow\dfrac{NS}{L}=\dfrac{I}{B},$$ 

 где $S$ — это площадь поперечного сечения сердечника.

 Отсюда

 $$\dfrac{l}{\mu\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_1},\hspace{2cm}\dfrac{l}{\mu\mu_0}+\dfrac{2h}{\mu_0}=\dfrac{SN_A^2}{L_2}.$$ 

Поделим одно на другое:

 $$\dfrac{L_1}{L_2}=1+\dfrac{2h}{l}\mu.$$

 Аналогично пункту C5, в котором мы искали индуктивности, найдём $L_1$ и $L_2$ — индуктивности катушки A без прокладки и с прокладкой соответственно.

 $$L_1=(78\pm7)~мГн,\hspace{2cm}L_2=(22\pm1)~мГн.$$ 

Ответ: $$\mu=\dfrac{l}{2h}\left(\dfrac{L_1}{L_2}-1\right)=(260\pm50).$$

D1  1,00 Соберите интегрирующую схему для рисунка выше, сигнал на выходе которой пропорционален $B(t)$. Подберите её параметры так, чтобы током через вторичную катушку можно было пренебречь. Зарисуйте собранную схему в листах ответов и укажите подобранные параметры.

Соберем схему, которая представлена на рисунке ниже (она состоит из резистора $R$ и конденсатора $C$), и подберем значения $R$ и $f$ так, чтобы она была интегрирующей, т.е.
$$U_2(t)\sim{\Large\int}{}U_B(t)dt.$$
Для этого необходимо выполнение условия $f{}RC\gg1$, где $f$ — это угловая частота подаваемого сигнала (это выполнено при $R=51~кОм$ и $f\approx50~Гц$). Покажем это.

При $fRC\gg1$ напряжение на резисторе примерно равно $U_B(t)$, тогда $I_R(t)\approx\dfrac{U_B(t)}{R}$.
При этом $I_B(t)=C\dot{U}_C(t)$, следовательно,
$$\dot{U}_C(t)=\dfrac{U_B(t)}{RC}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{1}{RC}{\Large{\int}}U_B(t)dt=U_2(t).$$
При этом $U_B(t)=N_BS\dfrac{dB(t)}{dt}\Rightarrow{}U_C(t)=\dfrac{N_BS}{RC}B(t)\Rightarrow B(t)=\dfrac{RC}{N_BS}U_C(t).$

D2  0,50 С помощью осциллографа получите петли гистерезиса при разных частотах и зарисуйте полученные зависимости.

Получив петли гистерезиса при разных частотах, найдем частоту, при которой он «выходит на насыщение». На первом рисунке снизу представлен гистерезис с насыщением при частоте $40~Гц$. На втором представлен гистерезис при частоте $100~Гц$.

D3  2,00 Запишите $f_b$ в лист ответов. При частоте $f_b$ получите кривую намагничивания $B(H)$, регулируя напряжение $U_{in}$, и постройте её.

$f_b=(45\pm5)~Гц$
Также из теоремы о циркуляции получим: $H(t)=\dfrac{N}{l}I(t)$, где $l=(24\pm1)~см$.
Измеренные и рассчитанные величины приведены в таблице ниже.

$I_1,~мА$$U_2,~В$$H,~А/м$$B,~мТл$$\mu_n$
1841.02153163844
1720.98143156867
1600.94133150894
1460.90122143938
1320.86110137991
1200.801001271010
1080.74901181040
1000.70831121070
94.00.66781051070
86.00.587292.41030
74.40.526282.91060
68.00.485776.51070
61.60.435168.81070
44.00.303747.21020
35.20.232937.01000
28.00.192330.61040
17.40.091515.0822
9.00.0587.3778

D4  1,50 Постройте график $\mu_{n}(H)$ для зависимости из прошлого пункта. Укажите характерные точки, если они есть.

Ответ: У зависимости есть максимум $\mu_{max}=1050\pm50$ при $H_{max}=60 \pm 15~А/м.$