Logo
Logo

Измерение массы

В этой экспериментальной задаче измеряется масса.
Так же мы измеряем массу, используя резонансные кривые гармонического осциллятора.

Экспериментальная установка

Ниже приведен список оборудования (рис. 1). Количество элементов указано в квадратных скобках, если их два или более.

Рисунок 1: Экспериментальное оборудование.

  1. Монтажная пластина:

    Примечание: блок магнитов на пластине создает не зависящее от высоты однородное радиальное магнитное поле. Гарантируется, что это верно вблизи центра магнитной пары в области $\pm 3~ \mathrm {мм}$ по высоте.
  2. Опора осциллятора
  3. Гайка [2]:

    Примечание: Удалите 2 и 3 из 1 в полученной упаковке для дальнейшего использования.
  4. Шайба [6]
  5. Цилиндрический осциллятор
  6. Резинка [6]
  7. Указатель (с клейкой частью) [2]
  8. Грузик [5]
  9. Пинцет
  10. Зеркало
  11. Подставка
  12. Блок питания (БП):

    С двумя режимами: DC (постоянный ток) и AC (переменный ток).

    В режиме DC он работает как источник постоянного тока. Ручка с надписью «DC Vol» регулирует ток. Величина тока получается из напряжения между «DCmon» и «DC GND» с использованием коэффициента преобразования

    $1.00~ \mathrm{A/V}$.

    В режиме AC он работает как источник с фиксированной амплитудой.

    Поверните «AC Vol», чтобы отрегулировать напряжение.

    Переменный ток получается из напряжения между «ACmon» и «AC GND» с использованием коэффициента преобразования $0.106~ \mathrm{A/V}$. Частота (Freq.) настраивается с помощью ручек грубой (Coarse) и точной (Fine) настройки.
  13. Держатель батареек [2]
  14. Батарейка [8]
  15. Провод с U-образным наконечником [2]
  16. Провод с зажимом типа «крокодил» [2]
  17. Мультиметр:

    Поверните ручку, чтобы выбрать соответствующий режим измерения: «DCV», «ACV» и «Hz».

    Обратите внимание, что отображаемое значение напряжения переменного тока указывает среднеквадратичное значение (RMS), т. е. действующее значение.

Используемая модель

Рис. 2 представляет собой упрощенную модель экспериментальной установки.
По сути, это осциллятор (груз) на пружине с вынуждающей силой.

Рисунок 2: Модель гармонического осциллятора.

Соответствующие параметры модели:

  • $M$: масса (цилиндрического) осциллятора
  • $m$: масса грузика
  • $N$: количество грузиков
  • $g$: ускорение свободного падения
  • $k$: эффективная жесткость пружины, относящаяся к вертикальному движению
  • $z$: высота осциллятора (или смещение)
  • $z_{\mathrm{e}}$: высота осциллятора, на которой устанавливается баланс сил в отсутствии гравитационных и электромагнитных сил
  • $B(B')$: магнитное поле, приложенное к основной (контрольной) катушке
  • $L(L')$: длина токоведущего провода основной (контрольной) катушки
  • $I(I')$: ток, протекающий через основную (контрольную) катушку
  • $\alpha$: положительный коэффициент силы сопротивления

Уравнение движения имеет вид
$$(M+Nm) \frac{{\mathrm d}^2z}{{\mathrm d}t^2} = \ -(M+Nm)g \ -k(z-z_{\mathrm e}) \ +BLI\ +B'L'I' \ - \alpha\frac{{\mathrm d}z}{{\mathrm d}t}.$$

Сборка осциллятора

  1. Снимите опору осциллятора с монтажной пластины.

    Оберните четыре резинки вокруг неё в виде сетки (см. рис. 3(a)).
  2. Вставьте цилиндрический осциллятор со стороны шкалы в квадратное отверстие между перекрещенными резинками.

    Разместите выводы проводов не с той стороны цилиндра, где находится шкала. (рис. 3(b)).
  3. Осциллятор предназначен для подвешивания на опоре с помощью четырех резинок и восьми маленьких крючков (обведены красным на рис. 3(c)).

    При правильной сборке одна петля резинки образует усеченный ромб с двумя крючками выше и ниже уровня поддержки на виде сбоку.

    Примечание: В этом эксперименте мы можем предположить, что эффективная сила, создаваемая резинками, подчиняется закону Гука.
  4. Прикрепите опору осциллятора к монтажной пластине двумя гайками.

    Шкала должна стоять вертикально сверху, а не со стороны крепежных стоек (рис. 3(d)).
  5. Поставьте осциллятор вертикально. Его ось должна быть выровнена по вертикали и совмещена с осью магнитного блока.
  6. Основная катушка в состоянии покоя должна располагаться посередине двух магнитов. Это можно проверить измерив расстояние между верхней поверхностью нижнего магнита и нижней поверхностью осциллятора от 3 до 5 мм (рис. 3(e)). Красная стрелка).

    Если оно маленькое, поместите шайбы между стойкой монтажной пластины и опорой (рис. 3(f), красные стрелки).

    Если оно большое, поверните стойку магнита, чтобы снять ее, и добавьте шайбу под стойку (рис. 3(f), желтая стрелка).
  7. Обнажите липкую поверхность двустороннего скотча на указателе (рис. 4(a)).

    Приклейте указатель к маленькому выступу на осцилляторе, чтобы измерять высоту (рис. 4(b)).
  8. Установите зеркало на подставку (рис. 4(c)).

    Обеспечьте четкую видимость указателя сверху через зеркало (рис. 4(d), красный кружок).

Рисунок 3: Сборка осциллятора.

Рисунок 4: Установка указателя и зеркала.

Подключение проводов

  1. Найдите и осторожно потяните соответствующую пару проводов, ведущих к основной (M) и контрольной (C) катушкам (рис. 3(c)) из внутренности осциллятора (рис. 3(b)). Проверьте, зачищена ли изоляция со свободных концов.
  2. Ослабьте гайки на зажимных стойках M+ и M-, чтобы получились зазоры.

    Используйте нижние зазоры для проводов от катушки (рис. 5(a), (b)).

    Проверка полярности будет ниже.
  3. Таким же образом соедините клеммы с маркировкой C+ и C-. (Допускается любая полярность.)
  4. Поместите батарейки в держатели батареек и соедините их с БП (CN1, CN2) (рис. 5(c)).
  5. Соедините клеммы M+ и M- с выходами постоянного тока БП (DC+ и DC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.
  6. Включите режим DC и включите БП.
  7. Вращайте ручку «DC Vol.» для регулирования тока.

    Посмотрите, смещается ли осциллятор вверх на $2\:\mathrm{мм}$ или больше.

    Если вниз - поменяйте полярность и повторите заново.

Предостережение: Горячие детали. Остерегайтесь катушек и магнитов.
Уменьшите величину постоянного тока до минимума в конце каждого шага.

Рис. 5: (a), (b) Подсоединенные клеммы, (c) Вся установка, включая блок питания и аккумуляторы, подключена.

Проверка колебаний

  1. Подсоедините клеммы M+ и M- к выходу переменного тока (AC+ и AC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.
  2. Выберите режим AC и включите БП.
  3. Поверните ручку с надписью «AC Vol.» по часовой стрелке, начиная с минимума до четверти оборота.

    Настройте частоту с помощью ручки управления «Coarse», чтобы начать колебание.
  4. Отрегулируйте выходное напряжение переменного тока и частоту так, чтобы амплитуда колебаний была приблизительно $A=3\:\mathrm{мм}$ (Рис.6).

    Если колебания нестабильны, отрегулируйте их настройкой генератора.
  5. Отсоедините M+ и M- и подключите клеммы C+ и C- к выходу переменного тока.
  6. Включите блок питания и снова проверьте колебания.

Рисунок 6: Колебания, наблюдаемые через зеркало.

Часть A. Закон Гука и электромагнитные силы (2.4 балла)

A1  0,40 Схематично нарисуйте в бланке ответов силовые линии магнитного поля, создаваемого двумя одинаковыми дисковыми магнитами с северными полюсами, обращенными друг к другу.

A2  0,60 Подсоедините контакты M+ и M- к выходу постоянного тока.
Соедините мультиметр с выводами для считывания показаний в режиме DC при помощи проводов с разъемами типа «крокодил» (рис. 7).

Считайте высоту осциллятора $z$ при нулевой силе тока без грузиков, т.е., $N=0$.
Запишите результат в Таблицу A.2.

Поместите груз ($N=1$) на круглую полку внутри цилиндра, и запишите высоту $z$ при которой осциллятор находится в покое.

Чему равно значение силы тока $I$, протекающего через основную катушку, чтобы вернуть осциллятор назад, в положение без грузиков?

Повторите измерения увеличивая $N$ до $5$ и заполните Таблицу A.2.

Рис. 7: Подключенные измерительные провода мультиметра. Осциллятор с грузом справа.

A3  0,70 Постройте график зависимости высоты $z$ от количества грузиков $N$.
По графику определите коэффициент наклона $ a = \frac{\Delta z}{\Delta N}$ и оцените его погрешность.

A4  0,70 Постройте график зависимости силы тока $I$ от количества грузиков $N$.
Из графика получите значение $b$, определяемое как $b = \frac{I}{N}$ и оцените погрешность.

Часть B. ЭДС индукции (3.0 балла)

B1  0,20 Предположим, что переменный ток определенной частоты $f$ подается на контрольную катушку без груза.
Высота осциллятора меняется со временем по синусоидальному закону

$$z-z_0 = A \sin (2\pi f t)$$где $z_0$ – высота положения равновесия, $A$ – амплитуда колебаний. Запишите выражение для амплитуды ЭДС индукции $V$ в основной катушке.

B2  0,50 Подсоедините контакты C+ и C- к выходу переменного тока.
Подсоедините мультиметр к выводам «Fmon» и «AC GND», чтобы считывать частоту.

Отрегулируйте как частоту переменного тока, так и выходное напряжение, чтобы получить устойчивые колебания соответствующей амплитуды.
Измерьте частоту $f_{\mathrm B}$ и запишите ее в лист ответов.

Соедините мультиметр с выводами M+ и M-.
При фиксированной частоте изменяйте выходное напряжение. Снимите зависимость амплитуды колебаний $A$ от переменного напряжения $V' (V'=V/\sqrt{2})$, индуцированного в основной катушке.
Заполните Таблицу B.2 соответствующим образом.

B3  0,70 Постройте график зависимости напряжения $V'$ от амплитуды $A$.
По графику получите значение $c$ определённое как $ c = \frac{V'}{A}$ и оцените погрешность.

B4  0,40 Вычислите величину $BL$ и её погрешность используя результаты пункта B.3.

B5  1,20 Используя результаты пунктов A.3, A.4, и B.4, вычислите $m$ и $k$ и оцените погрешности.
Если потребуется, используйте значение ускорения свободного падения $g=\mathrm{ 9.80~ \text{м}/\text{с}^2}$.

Часть C. Резонансная частота, зависящая от массы (2.3 балла)

Для следующих экспериментов используйте основную катушку для возбуждения осциллятора. Измените подключение соответствующим образом.

C1  0,20 Запишите выражение для резонансной частоты $f$ осциллятора с $N$ грузиками.
Используйте постоянный коэффициент жесткости $k'$, который при движении отличается от $k$.

C2  0,50 Запитайте осциллятор, подключив источник переменного тока к основной катушке.
Измерьте резонансную частоту $f$, для разных значений $N=0$ до $5$, и запишите значения в Таблицу C.2. Избегайте подпрыгивания грузиков.

C3  1,00 Используя результаты пункта C.2, постройте график, из которого можно будет получить величины $\frac{M}{k'}$ и $ \frac{m}{k'}$.
Запишите полученные значения в лист ответов.
Если вам необходимо рассчитать какие-либо дополнительные величины, используйте пустые ячейки Таблицы C.2.

C4  0,60 Чему равна величина $ \frac{M}{m}$?

Вычислите $M$ и $k'$ используя результаты пункта B.5.

Часть D. Резонансные характеристики (2.3 балла)

Если на осциллятор без грузиков действует периодическая сила амплитудой $F_{\mathrm {AC}}$ и частотой $f$, то амплитуда осцилляций $A$ хорошо описывается резонансной кривой:

$$A(f) = \frac{F_{\mathrm {AC}}}{8\pi ^2 Mf_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{(f-f_0)^2+(\Delta f)^2}}.$$

Здесь $\Delta f = \frac{\alpha}{4 \pi M}$. Данное выражение выполнятся для частот, для которых $|f-f_0| \ll f_0$ .

В этой части будет использована резонансная кривая для получения массы осциллятора $M$. Будем считать, что выражение (3) всегда применимо.

D1  0,40 Запитайте осциллятор, подключая источник переменного тока к основной катушке. Подстройте частоту и выходное напряжение для получения резонанса приемлемой амплитуды.

Измерьте и запишите напряжение $V'_{\mathrm {AC}}$ между выводами “ACmon” и "AC GND" в лист ответов.

Используя результаты пункта B.4 и коэффициент $0.106~ \mathrm{A/V}$, вычислите амплитуду $F_{\mathrm {AC}}$ периодической электромагнитной силы, действующюю на осциллятор.

D2  0,90 Запишите в Таблицу D.2 амплитуду $A$ в зависимости от частоты осциллятора $f$. Амплитуда вынуждающей силы $F_{\mathrm {AC}}$ должна поддерживаться постоянной в ходе всего эксперимента.

Постройте график зависимости амплитуды $A$ от частоты $f$.

D3  1,00 Используя результаты D.1 и D.2, получите $M$.