В данной задаче мы рассмотрим явления, вызванные взаимодействием воды и предметов, связанным с поверхностным натяжением. В части A изучается движение, а части B и C посвящены статике.

При необходимости Вы можете использовать факт, что если функция $y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''(x)=a y(x)$ ($a$ — положительная постоянная), общее решение этого уравнения будет $y(x)=Ae^{\sqrt{a}x}+B e^{-\sqrt{a}x}$, где $A$ и $B$ — произвольные постоянные.

Слияние капель воды (2.0 балла)

Как показано на рис. 1, мы рассматриваем две стационарные сферические капли воды на поверхности из абсолютно несмачиваемого материала.

Первоначально находящиеся рядом две сферические капли воды с одинаковыми радиусами помещены на поверхность; затем эти две капли сливаются после касания друг друга и образуют большую сферическую каплю воды, которая неожиданно подпрыгивает.

A1  ^2.00

Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \text{мкм}$. Плотность воды $\rho$ равна $1.00 \times 10^3 \text{~кг} / \text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ равен $7.27 \times 10^{-2} \text{~Дж} / \text{м}^2$.
Доля $k$ от $\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях:

• $k=0.06$
• В процессе слияния объём воды не изменяется.

Часть B. Вертикальная пластина (4.5 балла)

Плоская пластина вертикально погружена в воду. На рисунках 2(a) и 2(b) соответственно показаны формы поверхности воды в случаях смачиваемой и несмачиваемой пластин. Пренебрегайте толщиной пластины.

Поверхность пластины совпадает с плоскостью \(yz\), а горизонтальная поверхность воды далеко от пластины совпадает с плоскостью \(xy\). Форма поверхности не зависит от координаты \(y\). Пусть \(\theta (x)\) — угол между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью в точке \((x, z)\) на поверхности воды в плоскости \(xz\). Здесь \(\theta (x)\) измеряется по отношению к положительному направлению оси \(x\) и вращение против часовой стрелки считается положительным. Пусть \(\theta (x)\) равен \(\theta_0\) в точке контакта пластины с поверхностью воды (\(x=0\)). Далее \(\theta_0\) не меняется вследствие свойств материала пластин.

Плотность воды $\rho$ постоянна и коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ одинаков. Ускорение свободного падения обозначим через $g$. Атмосферное давление $P_0$ предполагается всегда неизменным. Определим форму поверхности воды в несколько шагов. Заметьте, что коэффициент поверхностного натяжения измеряется в $\text{Дж}/\text{м}^2$ или $\text{Н}/\text{м}$.

B1  ^0.60 Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\rho$, $g$, $z$, и $P_0$.

B2  ^0.80 Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом.
Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды.

B3  ^0.80 Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\theta_1$ и $\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\gamma$, $\theta_1$, и $\theta_2$.

B4  ^0.80 Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\ell}\right) ^{a}+\cos\theta(x)=\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\ell$ через $\gamma$ и $\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой.

B5  ^1.50 В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\cos\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\geq 0$ , выразив его через $\operatorname{tg}\theta_0$ и $\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\ll1$.

Часть C. Взаимодействие двух стержней (3.5 балла)

Одинаковые стержни A и B, сделанные из одинакового материала и плавающие параллельно друг другу на поверхности воды находятся на одинаковом расстоянии от оси y (рис. 4).

C1  ^1.00 Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\theta_{\rm{a}}$ и $\theta_{\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, $z_{\rm{b}}$, $\rho$, $g$, и $\gamma$.

C2  ^1.50 Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, и $z_{\rm{b}}$.

C3  ^1.00 Пусть $x_{\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\ell$, введённую в разделе B4.