A1  ^2.00

Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \text{мкм}$. Плотность воды $\rho$ равна $1.00 \times 10^3 \text{~кг} / \text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ равен $7.27 \times 10^{-2} \text{~Дж} / \text{м}^2$.
Доля $k$ от $\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях:

• $k=0.06$
• В процессе слияния объём воды не изменяется.

Поверхностная энергия каждой из капель до объединения
$$
E = 4\pi \gamma a^2.
$$
При объединении объем капель сохраняется, поэтому конечный радиус капли $a_1$ можно найти из соотношения
$$
\frac{4 \pi}{3} a_1^3 = 2 \frac{4 \pi}{3}a^3, \quad a_1 = 2^{1/3}a.
$$
Тогда изменение поверхностной энергии
$$
\Delta E = 2\times 4 \pi \gamma a^2 - 4\pi \gamma a_1^2 = (2 - 2^{2/3}) 4 \pi \gamma a^2.
$$
С учетом того, что в кинетическую энергию переходит доля $k$ всей поверхностной энергии, для скорости получим
$$
\frac{M v^2}{2} = k \Delta E,
$$
где масса капли после слияния
$$
M = 2 \frac{4\pi}{3} \rho a^3 = \frac{8\pi}{3} \rho a^3.
$$
Отсюда скорость
$$
v = \sqrt{\frac{2 k \Delta E}{M}} = \sqrt{3(2 - 2^{2/3})\frac{k \gamma}{\rho a}} = 0.23~\text{м}/\text{с}.
$$

B1  ^0.60 Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\rho$, $g$, $z$, и $P_0$.

B2  ^0.80 Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом.
Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды.

Постоянное атмосферное давление не создает никакой горизонтальной силы на выделенный объем, сила возникает только за счет избыточного давления воды. Она равна (на единицу длины)
$$
f_x = \int_{z_2}^{z_1} (- \rho g z) dz = \frac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2).
$$

B3  ^0.80 Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\theta_1$ и $\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\gamma$, $\theta_1$, и $\theta_2$.

Обратим внимание, что здесь нужна не сила поверхностного натяжения, действующая на заданный объем воды, а выражение силы давления воды $f_x$ через силы поверхностного натяжения в состоянии равновесия. Это важно для правильного выбора знаков.

B4  ^0.80 Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\ell}\right) ^{a}+\cos\theta(x)=\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\ell$ через $\gamma$ и $\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой.

Условие равновесия имеет вид
$$
f_x = \frac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2) = \gamma \cos \theta_1 - \gamma \cos \theta_2,
$$
откуда
$$
\frac{1}{2}\rho g z_1^2 + \gamma \cos \theta_1 = \frac{1}{2}\rho g z_2^2 + \gamma \cos \theta_2.
$$
Разделив на $\gamma$, получим
$$
\frac{1}{2} \frac{z^2}{\gamma/(\rho g)} + \cos \theta(x) = const
$$

B5  ^1.50 В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\cos\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\geq 0$ , выразив его через $\operatorname{tg}\theta_0$ и $\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\ll1$.

Производная функции $z(x)$ задает тангенс угла поверхности с горизонталью:
$$
\tan\theta (x) = z'(x),
$$
откуда
$$
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + z^{\prime 2}}} \approx 1 - \frac{1}{2} z^{\prime 2},
$$
где мы учли малость производной.
Подставляя это в условие из предыдущего пункта, получим
$$
\frac{1}{2} \frac{z^2}{l^2} + 1 - \frac{1}{2} z^{\prime 2} = const,
$$
$$
\frac{z^2}{l^2} - z^{\prime 2} = const.
$$
Продифференцировав, найдем уравнение на форму поверхности
$$
z'' = \frac{z}{l^2},
$$
его общее решение
$$
z = Ae^{x/l} + B e^{- x/l}.
$$
На большом расстоянии до стенки $z (\infty) = 0$, поэтому коэффициент перед растущей экспонентой $A = 0$.

Второй коэффициент найдем из значения угла $\theta_0$ вблизи стенки,
$$
\tan \theta_0 = z'(0) = - B/l, \quad B = - l \tan \theta_0.
$$

C1  ^1.00 Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\theta_{\rm{a}}$ и $\theta_{\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, $z_{\rm{b}}$, $\rho$, $g$, и $\gamma$.

Используем результаты пунктов B2 и B3. В отличие от пункта B3 здесь нужна именно сила поверхностного натяжения, которая действует на выделенный объем. Вклад силы поверхностного натяжения
$$
F_{surf} = \gamma (\cos \theta_b - \cos \theta_a)
$$
можно записать сразу.
Для вычисления силы давления разобьем цилиндр на левую и правую части, координата нижней точки цилиндра $z_{bottom}$, тогда сила давления
$$
F = \int_{z_{bottom}}^{z_a} (- \rho g z) dz - \int_{z_{bottom}}^{z_b} (- \rho g z) dz = \int _{z_a}^{z_b} \rho g z \, dz=
\frac{1}{2} \rho g (z_b^2 - z_a^2).
$$

Докажем также, что горизонтальная составляющая силы давления зависит только от уровня воды, но не от формы объекта. Для этого заметим, что в некоторой точке $s$ сила давления направлена перпендикулярно поверхности и равна (на единицу длины)
$$
d\vec{F}= - P \vec{n} ds = (- P_0 + \rho g z)\vec{n} ds
$$
где $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности, $ds$ — длина выбранного участка поверхности. Горизонтальная составляющая вектора $\vec{n} ds = dx$, поэтому горизонтальная составляющая силы
$$
dF_x=-P_0 dz + \rho g z dz.
$$
Интегрируя это выражение по поверхности, получим требуемый результат. Вклад постоянного давления $P_0$ сокращается, поскольку оно действует на всю поверхность цилиндра (а не только на погруженную в воду).

C2  ^1.50 Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, и $z_{\rm{b}}$.

Используя граничные условия (на большом расстоянии справа $z = 0$, и поверхность горизонтальна, в центре $z = z_0$, поверхность также горизонтальна), а также уравнение из B4, найдем
$$
\frac{1}{2} \rho g z_a^2 + \gamma \cos \theta_a = \frac{1}{2} \rho g z_0^2 + \gamma
$$
из условия в центре, из условия на бесконечности
$$
\frac{1}{2} \rho g z_b^2 + \gamma \cos \theta_b = \gamma.
$$
Подставляя это в выражение для силы, получим

C3  ^1.00 Пусть $x_{\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\ell$, введённую в разделе B4.

Общее решение для $z(x)$ между цилиндрами
$$
z(x) = A e^{x/l} + B e^{-x/l}.
$$
Из условий в центре $z(0) = z_0$, $z'(0) = 0$ получим
$$
A + B = z_0 , \quad A = B,
$$
поэтому
$$
A = B = \frac{z_0}{2}.
$$
Тогда
$$
z(x) = \frac{z_0}{2} \left( e^{x/l} + e^{-x/l}\right) = z_0 \cosh \frac{x}{l}, \quad z_a = z_0 \cosh \frac{x_a}{l}.
$$