A1  ^2.00

Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \text{мкм}$. Плотность воды $\rho$ равна $1.00 \times 10^3 \text{~кг} / \text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ равен $7.27 \times 10^{-2} \text{~Дж} / \text{м}^2$.
Доля $k$ от $\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях:

• $k=0.06$
• В процессе слияния объём воды не изменяется.

A1. 1 $E = 4 \pi \gamma a^2$	0.40
A1. 2 $\Delta E = 4\pi (2 - 2^{2/3}) \gamma a^2$	0.60
A1. 3 $M v^2 /2 = k \Delta E$ (балл не ставится, если не использован коэффициент $k$)	0.40
A1. 4 Вычисление и ответ $v = 0.23~\text{м/с}$ (ответ должен быть в диапазоне $0.22 - 0.24~\text{м/c}$)	0.60

B1  ^0.60 Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\rho$, $g$, $z$, и $P_0$.

B1. 1 $P = P_0 - \rho g z$ (баллы не ставятся при неправильном знаке)

0.60

B2  ^0.80 Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом.
Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды.

B2. 1 $f_x = \dfrac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2)$	0.80
B2. 2 $f_x = \rho g (z_2^2 - z_1^2)$	0.60
B2. 3 $f_x = \frac{1}{2}\rho g (z_1 ^2 - z_2^2)$	0.40

B3  ^0.80 Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\theta_1$ и $\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\gamma$, $\theta_1$, и $\theta_2$.

B3. 1 $f_x = \gamma (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$	0.80
B3. 2 $f_x = \gamma (\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$	0.60
B3. 3 $f_x = \gamma (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$ или $f_x = \gamma (-\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$	0.40

B4  ^0.80 Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\ell}\right) ^{a}+\cos\theta(x)=\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\ell$ через $\gamma$ и $\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой.

B4. 1 $a = 2$ (баллы за другие значения не ставятся)	0.40
B4. 2 $l = \sqrt{\dfrac{\gamma}{\rho g}}$	0.40
B4. 3 Если в предыдущей формуле используется дополнительный численный коэффициент	0.20

B5  ^1.50 В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\cos\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\geq 0$ , выразив его через $\operatorname{tg}\theta_0$ и $\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\ll1$.

B5. 1 $$ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (z')^2}} $$	0.20
B5. 2 $\cos \theta \approx 1 - \frac{1}{2} (z')^2$	0.10
B5. 3 $$ \frac{z^2}{l^2} - z^{\prime 2} = const $$	0.20
B5. 4 $z'' = z/l^2$	0.50
B5. 5 Общее решение $z = A e^{x/l} + B e^{-x/l}$	0.20
B5. 6 Из граничного условия на бесконечности $A = 0$	0.10
B5. 7 Из граничного условия на стенке $B = - l \tan \theta_0$	0.20
B5. 8 Если вместо $\tan \theta_0 $ использовано $\sin \theta_0$ или $\theta_0$	-0.20

C1  ^1.00 Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\theta_{\rm{a}}$ и $\theta_{\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, $z_{\rm{b}}$, $\rho$, $g$, и $\gamma$.

C1. 1 Вычисление горизонтальной компоненты силы за счет давления $$ \int_{z_a}^{z_b} (\rho g z) dz = \frac{1}{2} \rho g (z_b^2 - z_a^2) $$	0.60
C1. 2 $$ F_x = \frac{1}{2} \rho g (z_b^2 - z_a^2) + \gamma (\cos \theta_b - \cos \theta_a) $$	0.40
C1. 3 Если знак в слагаемом с поверхностным натяжением неправильный.	0.20

C2  ^1.50 Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, и $z_{\rm{b}}$.

C2. 0 M1 $F_x = - \dfrac{1}{2} \rho g z_0^2$	1.50
C2. 1 M1 $F_x = - \rho g z_0^2$	1.30
C2. 2 M1 $F_x = + \dfrac{1}{2} \rho g z_0^2$	0.80
C2. 4 M2 Использовано граничное условие и получено соотношение $$ \frac{1}{2} \rho g z_a^2 + \gamma \cos \theta_a = \frac{1}{2} \rho g z_0^2 + \gamma $$	0.60
C2. 5 M2 $$ \rho g z_a^2 + \gamma \cos \theta_a = \rho g z_0^2 + \gamma $$	0.40
C2. 6 M2 Использовано граничное условие и получено соотношение $$ \frac{1}{2} \rho g z_b^2 + \gamma \cos \theta_b = \gamma $$	0.60
C2. 7 M2 $$ \rho g z_b^2 + \gamma \cos \theta_b = \rho g z_0^2 $$	0.40

C3  ^1.00 Пусть $x_{\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\ell$, введённую в разделе B4.

C3. 0 M1 $$ z_0 = \frac{2 z_a}{e^{x_a/l} + e^{- x_a/l}} = \frac{z_a}{\cosh (x_a/l)} $$	1.00
C3. 1 M2 Далее рассматривается общее решение вида $z = A e^{x/l} + B e^{-x/l}$	None
C3. 3 M2 $A = B$	0.30
C3. 4 M2 $A + B = z_0$	0.30
C3. 5 M2 $A = z_0/2$	0.20
C3. 6 M2 $B = z_0/2$	0.20