Рассмотрим одномерное броуновское движение коллоидной частицы массой $M$. Уравнение движения для скорости частицы $v(t)$ выглядит следующим образом:
\[M\dot{v} =-\gamma v( t) +F( t) + F_\text{ext}(t),\tag{1}\]
где $\gamma$ — коэффициент, характеризующий сопротивление, $F(t)$ – сила, возникающая из-за случайных столкновений с молекулами воды, $F_\text{ext}(t)$ — внешняя сила. В Части A мы считаем, что $F_\text{ext}(t) = 0$.
A1 0.80 Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1).
В следующем пункте вы можете выражать ответы через $\tau$.
A2 0.80 На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.
Предыдущие результаты показывают, что скорости частицы $v(t)$ и $v(t')$ могут рассматриваться как некоррелированные случайные величины при условии $|t-t'|\gg \tau$. Исходя из этого, для описания одномерного броуновского движения можно предложить модель случайных изменений скорости в каждый временной интервал $\delta~(\gg \tau)$, то есть,
\[v( t) =v_{n} \quad ( t_{n-1} < t\leq t_{n}),\tag{2}\]
где $t_n =n\delta~( n=0,1,2,\cdots)$ и $v_n$ — случайная величина. Эта случайная величина удовлетворяет условию
\[\langle v_{n} \rangle = 0, \quad \langle v_{n} v_{m} \rangle =\begin{cases} C & ( n=m), \\ 0 & ( n\neq m), \end{cases}\tag{3}\]
где параметр $C$ зависит от $\delta$. Здесь $\langle X \rangle$ обозначает среднее значение величины $X$. Другими словами, если выбрать случайную величину $X$ бесконечное количество раз, то среднее значение этой выборки будет $\langle X \rangle$.
Рассмотрим смещение частицы $\Delta x(t) = x(t) - x(0)$ для $t = N\delta$ где $N$ некоторое целое число.
B2 0.80 Величина $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\delta\rightarrow0$. Можно показать, что $C\propto\delta^{\alpha}$ и $\langle\Delta x(t)^2\rangle \propto t^\beta$. Найдите численные значения $\alpha$ и $\beta$.
Электрофорез — перенос заряженных частиц в электрическом поле. Взвесь коллоидных частиц массой $M$ и зарядом $Q~(>0)$ помещается в узкий канал с поперечным сечением $A$ (рис. 1(a)). Мы пренебрегаем взаимодействием между частицами, влиянием стенок, жидкости, и ионов в ней, и гравитацией.
Если приложить однородное электрическое поле напряженностью $E$ в направлении оси $x$, частицы сдвигаются и их концентрация $n(x)$ (количество частиц на единицу объёма) становится неоднородной (рис. 1(b)). Если затем электрическое поле $E$ убрать, то неоднородность со временем пропадает. Это происходит из-за броуновского движения частиц. Если $n(x)$ неоднородна, то количество частиц переходящих слева направо и справа налево отличается (рис. 1(c)). Это приводит к наличию потока частиц $J_D(x)$. Последняя величина есть среднее количество частиц, которые имеют координату $x$ и движутся вдоль оси $x$, деленное на площадь поперечного сечения и интервал времени. Поток удовлетворяет соотношению
\[J_{D}( x) = -D\frac{dn}{dx}(x),\tag{4}\]
где $D$ — коэффициент диффузии.
Для простоты предположим, что одна половина частиц имеет скорость $+v$, а вторая половина имеет скорость $-v$. Пусть $N_+(x_0)$ количество частиц имеющих скорость $+v$, которые пересекают плоскость $x_0$ слева направо через единичную площадь в единицу времени. Частицы со скоростями $+v$, которые пересекут плоскость \(x_0 \) за временной интервал $\delta$, находятся в тёмной области (рис. 1(c)). Так как величина $\delta$ мала, получаем что
$$n(x) \simeq n(x_0) + (x-x_0) \frac{dn}{dx}(x_0)$$
в этой области.
Определим $N_-(x_0)$ по аналогии с $N_+(x_0)$ для скоростей $-v$. Выражение для полного потока $J_D(x_0) = \langle N_+(x_0) - N_-(x_0) \rangle$. Согласно выражению (3), $\langle v^2 \rangle = C.$
Далее рассмотрим явления, связанные с осмотическим давлением $\Pi$. Оно находится по формуле $\Pi =\frac{n}{N_{A}} RT=nk T$, где $N_A$ — постоянная Авогадро, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура, $k = \frac{R}{N_A}$ — постоянная Больцмана. Рассмотрим неоднородную концентрацию, которая образовалась под действием электрического поля $E$ (рис. 1(b)). Так как $n(x)$ зависит от $x$, то и $\Pi(x)$ тоже. Сила из-за $\Pi(x)$ и $\Pi(x+\Delta x)$ должна быть уравновешена силой электрического поля $E$, действующей на частицы (рис. 2). Здесь мы рассматриваем малый интервал $\Delta x$, поэтому внутри этого интервала можно считать $n(x)$ постоянным, тогда как $n(x+\Delta x) - n(x) \simeq \Delta x \frac{dn}{dx}(x)$.
Теперь рассмотрим условие баланса потоков. Кроме потока $J_D(x)$ из-за броуновского движения, присутствует поток $J_Q(x)$ из-за наличия электрического поля. Он выражается как
\[ J_Q(x) = n(x) u,\tag{5} \]
где $u$ — установившаяся скорость частиц, движущихся под действием поля.
C4 0.50 Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\langle v(t)\rangle$. Считая что $\langle v(0)\rangle=0$ и используя $\langle F(t)\rangle =0$, найдите $\langle v(t)\rangle$ и получите $u = \lim_{t\to\infty} \langle v(t) \rangle$.
Предположим, что мы наблюдаем в воде броуновское движение отдельной сферической коллоидной частицы радиусом $a=5.0~мкм$. Рисунок 3 показывается гистограмму смещений $\Delta x$, измеренных вдоль оси $x$ каждые $\Delta t=60~с$. Коэффициент, характеризующий сопротивления вычисляется как $\gamma =6\pi a\eta$, где $\eta=8.9\times10^{-4}\:\text{Па}\cdot \text{с}$ — вязкость воды. Температура $T=25~\mathrm{^\circ C}$.
D1 1.00 Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные Рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.
Теперь мы расширим модель из части B так, чтобы она описывала движение частиц с зарядом $Q$ в электрическом поле $E$. Скорость частицы $v(t)$, рассматриваемая в выражении (2), должна быть заменена на $v(t) = u + v_n ~(t_{n-1} < t \leq t_n)$, где $v_n$ удовлетворяет выражению (3) и $u$ есть установившееся скорость из выражения (5).
D2 0.80 Выразите среднеквадратичное смещение $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.
Рассмотрим теперь плавающего микроба (Рис. 4(a)). Для упрощения будем использовать одномерное движение (Fig.4(b)). Считаем, что это сферические частицы радиуса $a$. Микроб плавает со скоростью либо $+u_0$, либо $-u_0$, знак выбирается случайно, через интервал времени $\delta_0$, корреляция отсутствует. Наблюдаемое движение есть комбинация смещения из-за активного перемещения микроба и смещения из-за броуновского движения.
В этой части обсуждается очистка воды от коллоидных частиц почвы при помощи добавления электролитов с целью коагуляции (слипания). Частицы почвы взаимодействуют друг с другом Ван-дер-Ваальсовыми и электростатическими силами. Последние включают в себя как поверхностные заряды, так и окружающие их заряды противоположного знака (такие заряды называются противоионы, а получившийся слой зарядов – двойной электрический слой; рис. 6(a)). В результате, потенциальная энергия взаимодействия между частицами на расстоянии $d$ (рис. 6(b)) равна
\[ U(d) = -\frac{A}{d} + \frac{B\epsilon ( k T)^2}{q^2} e^{-d / \lambda},\tag{6} \]
где $A$ и $B$ — положительные константы, $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость воды, $\lambda$ — толщина двойного электрического слоя. Считая, что заряды ионов $\pm q$, верно выражение
\[ \lambda =\sqrt{\frac{\epsilon k T }{2N_{A}q^{2} c}},\tag{7}\]
где $c$ — молярная концентрация ионов.
E1 1.50 Добавление хлорида натрия ($\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.