Pho.rs: Свойства коллоидных частиц

A1 ^0.80 Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1).

A1. 1 $v_0 = \dfrac{I_0}{M}$	0.40
A1. 2 $Mv_0 = I_0$	0.20
A1. 3 $\tau = M/\gamma$	0.40
A1. 4 $M \dot{v} = - \gamma v$	0.20

A2 ^0.80 На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.

A2. 1 $$ v(t) = \sum_i \frac{I_i}{M} e^{- (t- t_i)/\tau} $$ Этот балл ставится за то, что в сумме присутствует выражение $\frac{I_i}{M} e^{- (t- t_i)/\tau}$ ($i$ — произвольный индекс суммирования)	0.40
A2. 2 Если в предыдущем выражении записано суммирование (есть знак $\Sigma$) (множество значений, по которому производится суммирование, здесь не оценивается)	0.20
A2. 3 Указано неравенство, обозначающее диапазон $t_i$, которые должны использоваться при суммировании ($0 < t_i < t$). Неравенства можно заменить на нестрогие. Можно не указывать соотношение $t_i >0$, но только соотношение $t_i > 0$ не оценивается.	0.20

B1 ^1.00 Найдите $\langle\Delta x(t)\rangle$ и $\langle\Delta x(t)^2\rangle$, результат выразите через $C$, $\delta$, и $t$.

B1. 1 $$ \Delta x(t) = \sum_{n = 1}^{N} v_n \delta $$	0.30
B1. 2 Если $\delta$ потеряна	0.20
B1. 3 $$\langle \Delta x (t)^2 \rangle = \sum_{i = 1}^N C \delta^2 = NC \delta^2 = C \delta t $$	0.50
B1. 4 Если записана только сумма $C \delta^2$ или $NC \delta^2$	0.10
B1. 5 $\langle \Delta x (t) \rangle = 0 $	0.20

B2 ^0.80 Величина $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\delta\rightarrow0$. Можно показать, что $C\propto\delta^{\alpha}$ и $\langle\Delta x(t)^2\rangle \propto t^\beta$. Найдите численные значения $\alpha$ и $\beta$.

B2. 1 $\alpha = -1$	0.40
B2. 2 $\beta = 1$	0.40

C1 ^0.50 Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\:\delta,\:n(x_0)$, и $\frac{dn}{dx}(x_0)$.

C1. 1 M1 $N_+ = \frac{1}{2} n (x_0) v - \frac{1}{4} \dfrac{dn}{dx} (x_0)v^2 \delta$	0.50
C1. 2 M1 Если ответ умножается на $\delta$ или $A$ или на обе этих величины без необходимости -0.2 Если численные коэффициенты (один или оба) неправильны -0.1 Если знак второго слагаемого неправильный -0.1 Вычитаемые баллы за разные ошибки складываются	4 × -0.10
C1. 3 M2 $N_+(x_0 ) = \int_{x_0 - v \delta}^{x_0} \frac{n(x)}{2 \delta} dx$ или $N_+ (x_0) = \frac{v}{2} n (x_0 - v\delta/2)$	0.30
C1. 4 M2 Если ответ умножается на $\delta$ или $A$ или на обе этих величины без необходимости -0.1 Если есть неправильный численный коэффициент -0.1 Если пределы интегрирования $x_0$ и $x_0 + \delta v$ -0.1 Если $N_+ (x_0) = \frac{v}{2} n(x_0 + v\delta/2)$ -0.1 Вычитаемые баллы за разные ошибки складываются	3 × -0.10

C2 ^0.70 Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\:\delta,\:n(x_0)$, и $\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\delta$. Также найдите $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ через $D$ и $t$.

C2. 1 $$J_D = - \frac{1}{2} \frac{dn}{dx}(x) C \delta$$	0.40
C2. 2 Если есть ошибки в знаках или коэффициентах (но обратите внимание на перенос из C1)	0.30
C2. 3 $$ N_- = \frac{1}{2} n(x_0) v + \frac{1}{4} \frac{dn}{dx}(x_0) v^2 \delta $$	0.10
C2. 4 $D = \dfrac{1}{2} C \delta$	0.10
C2. 5 $\langle \Delta x(t)^2\rangle = 2 D t$ (баллы не ставятся за ответы, содержащие $C$ или $\delta$)	0.20

C3 ^0.50 Выразите $\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$.

C3. 1 $$ \frac{dn}{dx} = \frac{n(x)}{k T} QE $$	0.50
C3. 2 $\Pi (x) A + n(x) A \Delta x Q E = \Pi (x + \Delta x )A$	0.30

C4 ^0.50 Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\langle v(t)\rangle$. Считая что $\langle v(0)\rangle=0$ и используя $\langle F(t)\rangle =0$, найдите $\langle v(t)\rangle$ и получите $u = \lim_{t\to\infty} \langle v(t) \rangle$.

C4. 1 $$\langle v(t) \rangle = \frac{QE}{\gamma} \left( 1 - e^{- t/\tau}\right) $$ (можно подставить значение $\tau = M/\gamma$)	0.30
C4. 2 $$ M \frac{d \langle v(t) \rangle}{dt} = - \gamma \langle v(t) \rangle + QE $$	0.30
C4. 3 $u = QE/\gamma$	0.20

C5 ^0.50 Условие баланса потоков записывается как $J_D(x) + J_Q(x) = 0$. Выразите коэффициент диффузии $D$ через $k$, $\gamma$, и $T$.

C5. 1 $J_D = - \dfrac{D Q E}{k T} n(x)$	0.20
C5. 2 $J_Q = \dfrac{QE}{\gamma}n(x)$	0.20
C5. 3 $D = k T/\gamma$	0.10

D1 ^1.00 Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные Рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.

D1. 1 M1 $N_A = 5.6 \times 10^{23}~\text{моль}^{-1}$ (баллы не снимаются за неуказанную размерность)	1.00
D1. 2 M1 Если вторая значащая цифра неправильна, но ответ лежит в интервале $(5.5- 5.7)\times 10^{23}~\text{моль}^{-1}$.	0.80
D1. 3 M2 $$\langle \Delta x ^2 \rangle = \frac{R T \Delta t}{3 \pi a \eta N_A}$$	0.50
D1. 4 M2 Если в работе в части D1 используются ответы для C2 и C5 или их комбинация.	0.30
D1. 5 M2 $\langle \Delta x^2 \rangle = 6.34~\text{мкм}^2$ (значение в интервале 6.2 - 6.4)	0.30
D1. 6 M2 Если значение в интервале $4-9 ~\text{мкм}^2$ или стандартное отклонение $\Delta x$ в интервале $2- 3~\text{мкм}$	0.20
D1. 7 Если не указана единица измерения (или она неправильная)	-0.10

D2 ^0.80 Выразите среднеквадратичное смещение $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.

D2. 1 $\langle \Delta x^2 \rangle = (ut)^2 + 2 D t$	0.20
D2. 2 $$ \langle \Delta x^2\rangle = \begin{cases} t \quad \text{при малых } t\\ t^2 \quad \text{при больших } t \end{cases} $$	2 × 0.10
D2. 3 $t_* = 2 D/u^2$	0.20
D2. 4 0.1 балла если график монотонно возрастает и выпуклый вниз 0.1 балл если $t_$ находится между двумя областями, где применимы степенные зависимости (подпись может иметь вид $t_$ или $\log t_*$)	2 × 0.10

D3 ^0.60 Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ микроба. Для маленьких, больших и промежуточных $t$ выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через $D, u_0, \delta_0$ и $t$.

D3. 1 $$
\rangle \Delta x^2 \langle = \begin{cases}
2 D t \quad \text{при маленьких } t\\
u_0^2 t^2 \quad \text{при промежуточных } t\\
(u_0^2 \delta) t \quad \text{при больших } t
\end{cases}
$$
По 0.2 балла за каждый из ответов ставятся независимо

3 × 0.20

E1 ^1.50 Добавление хлорида натрия ($\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.

E1. 1 M1 $$\ c = \frac{8 B^2 \epsilon^3 (kT)^5}{e^4 N_A A^2 q^6} $$	1.50
E1. 2 M1 если неверный только коэффициент (e часть коэффициента)	1.30
E1. 3 M2 $\min U'(d) = 0$	0.50
E1. 4 M2 ВЫПОЛНЕНО ДВА УСЛОВИЯ: построен график потенциала С энергетическим барьером (график сначала монотонно возрастает, затем монотонно убывает) (это потенциал при $cИ построен график потенциала БЕЗ энергетическим барьером (график монотонно возрастает) (это потенциал при $c>c*$)	0.40
E1. 5 M2 ВЫПОЛНЕНО ТОЛЬКО ОДНО ИЗ УКАЗННЫХ ВЫШЕ УСЛОВИЙ	0.20
E1. 6 M2 $$ U'(d)=\frac{A}{d^2}-\frac{B \epsilon (kT)^2}{q^2 \lambda}e^{-d/\lambda}=0 $$ Если написано $U'(d)=0$ и $U''(d)=0$ без явной записи выражений - ставится сюда 0.2 балла, а в следующий пункт не ставится.	0.20
E1. 7 M2 $$ U''(d)=-\frac{2A}{d^3}+\frac{B \epsilon (kT)^2}{q^2 \lambda^2}e^{-d/\lambda}=0 $$ Если написано $U'(d)=0$ и $U''(d)=0$ без явной записи выражений - ставится сюда 0 баллов, а в предыдущий пункт 0.2 балла.	0.20
E1. 8 M2 $$ d = 2 \lambda = \sqrt{ \frac{A q^2 \lambda}{B \epsilon (kT)^2} } $$	0.20
E1. 9 M2 $$ \lambda = \frac{ e^2 A q^2} { 4 B \epsilon (kT)^2 } $$	0.30
E1. 10 M2 Если в выражении для $\lambda$ неверный коэффициент	-0.20
E1. 11 M3 $\max U(d) = 0$	0.50
E1. 12 M3 ВЫПОЛНЕНО ДВА УСЛОВИЯ: построен график потенциала с энергетическим барьером выше чем $U=0$ или $U(d\rightarrow \infty)$ (это потенциал при $c<с$) И построен график потенциала с энергетическим барьером ниже чем $U=0$ или $U(d\rightarrow \infty)$ (это потенциал при $c>c$)	0.40
E1. 13 M3 ВЫПОЛНЕНО ТОЛЬКО ОДНО ИЗ УКАЗННЫХ ВЫШЕ УСЛОВИЙ	0.20
E1. 14 M3 $$ U'(d)=\frac{A}{d^2}-\frac{B \epsilon (kT)^2}{q^2 \lambda}e^{-d/\lambda}=0 $$ ИЛИ если написано, что $U(d)=0$ и $U'(d)=0$ одновременно	0.20
E1. 15 M3 $$ d = \lambda = \frac{e A q^2 }{B \epsilon (kT)^2} $$	0.50
E1. 16 M3 Если неверный коэффициент (e это часть коэффициента)	-0.20
E1. 17 M3 $$\ c = \frac{B^2 \epsilon^3 (kT)^5}{2 e^4 N_A A^2 q^6} $$	0.10

Свойства коллоидных частиц

Разбалловка