Pho.rs: Электрическая проводимость двухмерных систем

A1 ^0.60 Измерение методом 4РР. Измерьте падение напряжения $V$ на отрезке длиной $s$ в зависимости от тока $I$, протекающего через этот участок. Измерьте не менее 4-х значений. Занесите результаты в таблицу. Постройте график зависимости падения напряжения $V$ от тока $I$.

$s=2~см$

Ответ:

$I,~мА$	251	516	388	147	-148	-256	-363	-507
$V,~мВ$	276	566	426	161	-162	-281	-398	-557

Ответ:

A2 ^0.20 Из графика в пункте A1 определите эффективное электрическое сопротивление $R = V/I$ листа бумаги.

Ответ: \[R = 1.08~кОм\]

A3 ^0.40 Из графика в пункте A1 определите погрешность $\Delta R$ измерения сопротивления $R$ методом 4РР.

Ответ: \[\Delta R =\pm1~Ом\]

B1 ^0.30 Используя результаты измерений в части A, найдите плоскостное удельное сопротивление проводника $\rho_{\square}$. Обозначим это значение $\rho_{\infty}$, а измеренное в части A сопротивление — $R_{\infty}$. Так можно считать, потому что размеры листа значительно превышают расстояние между контактами $s$: $l, w \gg s$.

Ответ: \[\rho_\square\equiv\rho_\infty=4.89~кОм\]

C1 ^3.00 Используя метод 4PP, измерьте сопротивление $R(w, s)$ для 4 разных значений $w/s$, изменяющихся в диапазоне от 0.3 до 5.0 (на выданных вам образцах проводящей бумаги). Запишите результаты в таблицу. Убедитесь, что длина образца $l$ в 5 раз больше расстояния $s$ между контактами ($l > 5s$), и что длина $l$ каждый раз измеряется вдоль одной и той же (длинной) стороны листа бумаги.
Для каждого значения $w/s$ измерьте напряжение для 4 различных значений тока и посчитайте среднее значение $R(w/s)$, используя результаты четырех измерений. Занесите результаты в таблицу.

$s=20~мм$
$\rho_\infty=4.89~кОм$

Ответ:

$w/s$	$I,~мА$	$V,~мВ$	$R(w/s),~кОм$	$\langle{R}\rangle,~кОм$	$f(w/s)$
0.3	92	1477	16.1	15.9	14.7
0.3	74	1184	16
0.3	57	914	16
0.3	41	651	15.9
0.3	23	358	15.6
0.5	154	1306	8.5	8.5	7.8
0.5	127	1079	8.5
0.5	97	824	8.5
0.5	67	567	8.5
0.5	38	321	8.5
1	233	1071	4.6	4.6	4.3
1	174	799	4.6
1	135	621	4.6
1	101	165	4.6
1	59	271	4.6
2.5	389	749	1.9	1.9	1.8
2.5	319	635	2
2.5	237	457	1.9
2.5	151	291	1.9
2.5	74	143	1.9
5	467	648	1.4	1.4	1.3
5	419	577	1.4
5	363	499	1.4
5	289	398	1.4
5	185	254	1.4

C2 ^0.20 Вычислите $f(w/s)$ для каждого из этих измерений.

D1 ^1.00 Для подбора эмпирической кривой по формуле 6 и данным $f(w/s)$, полученным в части C, предлагается выбрать наиболее подходящий один из двух видов миллиметровой бумаги (график в линейном масштабе (D1a), в полулогарифмическом масштабе (D1b) или в логарифмическом масштабе (D1c)). Постройте график по своим данным.

Выбираем двойной логарифмический масштаб (график D1c):

Ответ:

D2 ^0.90 Вычислите значения параметров $a$ и $b$ по аппроксимирующей прямой.

Ответ: \[a = 2.7,\qquad b = −1.4\]

E1 ^0.40 Используя ту же самую установку для измерения методом 4РР, измерьте напряжение $V$ как функцию тока $I$.
Запишите номер своей пластины в лист ответов. Он указан на пластиковой коробке.

Ответ:

$I,~мА$	0.98	1.46	1.96	2.43	2.94	3.42	3.92	4.38
$V,~мВ$	50	75	100	125	150	175	200	224

E2 ^0.40 По полученным данным постройте график и определите сопротивление $R_{4PP}$.

Ответ:

График $I(V)$

Ответ: \[R_{4PP} = 51.1~Ом\]

E3 ^0.20 Чтобы определить поправочный коэффициент для образца круглой формы, мы аппроксимируем эффективную ширину образца $w$ диаметром подложки $D = 100~мм$. Используя это допущение, вычислите отношение $w/s$.
Зная параметры $a$ и $b$ и используя формулу 6, определите поправочный коэффициент $f(w/s)$ для измерений на пластине.

$w = 10~см \implies w/s = 5\implies $

Ответ: \[f(w/s) = 1.284\]

E4 ^0.10 Вычислите плоскостное удельное сопротивление $\rho_{\square}$ слоя хрома с помощью формулы 4.

Ответ: \[\rho_\square=180~Ом\]

E5 ^0.60 Схематично зарисуйте относительное положение токоприводящих контактов и среза на пластине. Измерьте напряжение $V$ по меньшей мере для 6 различных значений тока $I$ (промежутки между значениями тока выдерживайте примерно одинаковыми). Занесите результаты в таблицу.

Ответ:

$I~мА$	3.71	3.18	2.66	2.12	1.58	1.06	0.53
$V~мВ$	140	120	100	80	60	40	20

$I~мА$	-0.54	-1.06	-1.61	-2.13	-2.68	-3.2	-3.62
$V~мВ$	-20	-40	-60	-80	-100	-120	-136

E6 ^0.60 Повторите процедуру, развернув токоприводящие контакты перпендикулярно их положению в предыдущем пункте. Результаты занесите в таблицу.

Ответ:

$V, ~В$	3.92	3.35	2.8	2.23	1.67	1.11	0.54
$I,~мкА$	140	120	100	80	60	40	20

$V, ~В$	-0.59	-1.16	-1.72	-2.29	-2.86	-3.42	-3.95
$I,~мкА$	-20	-40	-60	-80	-100	-120	-140

E7 ^0.50 По данным из двух предыдущих пунктов постройте один график. При построении используйте разные цвета и/или символы. Определите среднее значение $\langle R \rangle$ по двум кривым.

Ответ:

График зависимости $I(V)$

Ответ: $\langle R\rangle = 36.5~Ом$

E8 ^0.40 Заменив все сопротивления $R_{kl,mn}$ сопротивлением $\langle R \rangle$, решите уравнение 7 относительно $\rho_{\square}$ и вычислите плоскостное удельное сопротивление $\rho_{\square}$ слоя хрома.

\[2\cdot e^{-\pi\cdot\langle R\rangle/\rho_\square}=1\implies e^{-\pi\cdot\langle R\rangle/\rho_\square}=\frac{1}{2}\implies\\-\frac{\pi\cdot\langle R\rangle}{\rho_\square}=\ln(1/2)\implies \frac{\pi\cdot\langle R\rangle}{\rho_\square}=\ln2\\\implies\rho_\square=\frac{\pi\cdot\langle R\rangle}{\ln(2)}\]

Ответ: \[\rho_\square=165~Ом\]

E9 ^0.10 Сравните результат измерения с результатами, полученными при линейной ориентации (E4) и методом Ван дер Пау (E8). Приведите разницу между двумя измерениями как относительную ошибку в процентах.

Ответ: \[\frac{\Delta\rho_\square}{\rho_\square}=0.091=9.1\,\%\]

E10 ^0.10 Слой хрома имеет номинальную толщину 8 нм. Используя это значение и результаты измерений 0.1 методом Ван дер Пау, вычислите удельную проводимость $Cr$ с помощью формул 1 и 2.

Удельная проводимость хрома $\mathrm{Cr}$ равна:

Ответ: \[\rho = 1.32\cdot10^{−6}~Ом\cdot м\]

Электрическая проводимость двухмерных систем

Решение