Примечание. Интуитивно может показаться, что плоскость Матано должна находиться в начале координат (там, где исходно находились «меченые» атомы), однако в действительности это может не выполняться. Такое явление называют эффектом Киркендалла. Оно является следствием зависимости коэффициента взаимной диффузии от концентрации вещества.

Учитывая полученное значение $x_M$, укажите явно, нужно ли учитывать эффект Киркендалла в дальнейших вычислениях.

Если у Вас не получается решить этот пункт, в дальнейшем считайте $x_M=0$.

Если $\int\limits_{n_L}^{n(x_M)}(x_M-x)~\mathrm dn=\int\limits_{n(x_M)}^{n_R}(x-x_M)~\mathrm dn$, то $\int_{-\infty}^{X}n~\mathrm dx=\int_{x_M}^Xn_0~\mathrm dx$, где $X$ — большая, но конечная координата. В рамках данных задачи\[\int\limits_{-0.5~мкм}^{0.5~мкм}n{/}n_0~\mathrm dx=0.5~мкм-x_M.\]Отсюда положение плоскости Матано вычисляется из таблицы сверху:\[x_M=-0.0027~мкм.\]Учитывая, что шаг равен $0.05~мкм$, эффектом Киркендалла можно пренебречь.

Примечание. Для вычисления интеграла можете воспользоваться методом трапеций. Если необходимо вычислить интеграл $\int_{x_0}^{x_0+Nh}f(x)~\mathrm dx$ функции, которая задана таблично в виде $f(x_0+nh)=f_n$, можно с хорошей точностью вычислить его по формуле:\[\int_{x_0}^{x_0+Nh}f(x)~\mathrm dx=h\cdot\frac{f(x_0)+f(x_0+Nh)}2+h\cdot\sum_{n=1}^{N-1}f(x_0+nh).\]

Чтобы найти $A$ при $x < 0$, будем использовать формулу:\[A(x){/}n_0=\int\limits_{-0.05~мкм}^{x}n(x'){/}n_0~\mathrm dx'+|x|n(x){/}n_0\]из соображений удобства расчётов. Аналогично, при $x > 0$ используем:\[A(x){/}n_0=\int\limits_{x}^{0.05~мкм}(1-n(x'){/}n_0)~\mathrm dx'+x\cdot(1-n(x){/}n_0).\]

Примечание. Экспериментальные данные зачастую бывают зашумлены, поэтому численно считать производные по соседним точкам невозможно. На этот случай можно воспользоваться формулой:\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.\]

Примечание. В большом диапазоне $n$ значения будут очень близки к результатам A4, однако вблизи $n=0$ и $n_0$ возможны заметные расхождения. Это связано с большими относительными погрешностями в вычислении производных и интегралов в «хвостах» профиля. Области заметного расхождения $D(n/n_0)$ можно не учитывать при дальнейшей графической обработке.

Положение плоскости Матано $x_M=-0.0017~мкм$. Эффектом Киркендалла вновь можно пренебречь.

Линеаризуем зависимость, построив график $D^{-1}(n{/}n_0)$. В «хвостах» профилей действительно наблюдается большое число выбросов, однако их очень легко обнаружить и провести прямую по «правильным» точкам. Обработка «сырых» данных из предыдущих пунктов без графического представления не принимается.

Графически определяем значения коэффициентов $a$ и $b$:\[a=0.5\hspace{3 cm}b=1.0\]График в удобном диапазоне показан на рисунке выше.

\[D_\|/D_\perp=\frac1{D_2/D_1}\big[1-\alpha+\alpha\cdot D_2/D_1\big]\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_2/D_1\big]=\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_2/D_1\big]\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_1/D_2\big]=\]\[=(1-\alpha)^2+\alpha^2+\alpha(1-\alpha)(D_1/D_2+D_2/D_1) > 1,\]поскольку $x+1/x > 2$ при $x\ne1$.

Таким образом, больше будет коэффициент $D_\|$.

Кривая $n(x,y)=\operatorname{const}$ — эллипс. Отношение его полуосей связано с коэффициентами диффузии как:\[a^2/D_y=b^2/D_x\implies D_y/D_x=(a/b)^2.\]Определим по сетке полуоси эллипсов и усредним результаты:

Усредним полученные результаты:\[D_y/D_x=\overline{(a/b)^2}\approx2.3\]

Учитывая результат пункта B1, $D_y/D_x=D_\|/D_\perp$, поэтому:\[(1-\alpha)^2+\alpha^2+\alpha(1-\alpha)(D_1/D_2+D_2/D_1) =D_y/D_x\implies\]\[\implies \alpha^2-\alpha+\frac{D_y/D_x-1}{(\sqrt{D_2/D_1}-\sqrt{D_1/D_2})^2}=0\]

Примечание. Можно считать, что коэффициент заполнения $\alpha<1/2$.

Подставим числа:\[\alpha^2-\alpha+0.16=0\implies\alpha\approx0.2\]