A1  ^0.50 Определите положение плоскости Матано $x_M$ для первого профиля.

Примечание. Интуитивно может показаться, что плоскость Матано должна находиться в начале координат (там, где исходно находились «меченые» атомы), однако в действительности это может не выполняться. Такое явление называют эффектом Киркендалла. Оно является следствием зависимости коэффициента взаимной диффузии от концентрации вещества.

Учитывая полученное значение $x_M$, укажите явно, нужно ли учитывать эффект Киркендалла в дальнейших вычислениях.

Если у Вас не получается решить этот пункт, в дальнейшем считайте $x_M=0$.

$x,~мкм$	$n/n_0$	$\int\limits_{-0.5~мкм}^{x}n(x'){/}n_0~\mathrm{d}x',~мкм$	$\int\limits_{x}^{0.5~мкм}(1-n(x'){/}n_0)~\mathrm {d}x',~мкм$	$-xn(x){/}n_0,~мкм$	$A{/}n_0,~мкм$	$S{/}n_0,~мкм^{-1}$	$D,~мкм^{2}/год$	$D^{-1},~год/мкм^2$
-0.50	0.0073	0.0000	$-$	0.0037	0.0037	$-$	$-$	$-$
-0.45	0.0118	0.0005	$-$	0.0053	0.0058	0.027	10.741	0.093
-0.40	0.0100	0.0010	$-$	0.0040	0.0050	0.127	1.969	0.508
-0.35	0.0245	0.0019	$-$	0.0086	0.0105	0.345	1.522	0.657
-0.30	0.0445	0.0036	$-$	0.0134	0.0170	0.310	2.742	0.365
-0.25	0.0555	0.0061	$-$	0.0139	0.0200	0.592	1.689	0.592
-0.20	0.1037	0.0101	$-$	0.0207	0.0308	1.077	1.430	0.699
-0.15	0.1632	0.0168	$-$	0.0245	0.0413	1.271	1.625	0.615
-0.10	0.2308	0.0266	$-$	0.0231	0.0497	1.636	1.519	0.658
-0.05	0.3268	0.0406	$-$	0.0163	0.0569	2.279	1.248	0.801
0.00	0.4587	0.0602	0.0575	$x(1-n(x){/}n_0),~мкм$	0.0588	2.802	1.049	0.953
0.05	0.6070	0.0868	0.0341	0.0197	0.0538	2.837	0.948	1.055
0.10	0.7424	0.1206	0.0178	0.0258	0.0436	2.545	0.857	1.167
0.15	0.8615	0.1607	0.0079	0.0208	0.0287	1.996	0.719	1.391
0.20	0.9420	0.2058	0.0030	0.0116	0.0146	1.140	0.640	1.563
0.25	0.9755	0.2537	0.0010	0.0061	0.0071	0.520	0.683	1.464
0.30	0.9940	0.3029	0.0002	0.0018	0.0020	0.239	0.418	2.392
0.35	0.9994	0.3528	0.0000	0.0002	0.0002	0.073	0.137	7.299
0.40	1.0013	0.4028	0.0001	-0.0005	-0.0004	-0.028	0.714	1.401
0.45	0.9966	0.4527	0.0000	0.0015	0.0015	0.018	4.167	0.240
0.50	1.0031	0.5027	0.0000	-0.0016	-0.0016	$-$	$-$	$-$

Если $\int\limits_{n_L}^{n(x_M)}(x_M-x)~\mathrm dn=\int\limits_{n(x_M)}^{n_R}(x-x_M)~\mathrm dn$, то $\int_{-\infty}^{X}n~\mathrm dx=\int_{x_M}^Xn_0~\mathrm dx$, где $X$ — большая, но конечная координата. В рамках данных задачи\[\int\limits_{-0.5~мкм}^{0.5~мкм}n{/}n_0~\mathrm dx=0.5~мкм-x_M.\]Отсюда положение плоскости Матано вычисляется из таблицы сверху:\[x_M=-0.0027~мкм.\]Учитывая, что шаг равен $0.05~мкм$, эффектом Киркендалла можно пренебречь.

A2  ^1.00 Используя данные в листе ответов, найдите зависимость $A^*(n^*){/}n_0$.

Примечание. Для вычисления интеграла можете воспользоваться методом трапеций. Если необходимо вычислить интеграл $\int_{x_0}^{x_0+Nh}f(x)~\mathrm dx$ функции, которая задана таблично в виде $f(x_0+nh)=f_n$, можно с хорошей точностью вычислить его по формуле:\[\int_{x_0}^{x_0+Nh}f(x)~\mathrm dx=h\cdot\frac{f(x_0)+f(x_0+Nh)}2+h\cdot\sum_{n=1}^{N-1}f(x_0+nh).\]

Чтобы найти $A$ при $x < 0$, будем использовать формулу:\[A(x){/}n_0=\int\limits_{-0.05~мкм}^{x}n(x'){/}n_0~\mathrm dx'+|x|n(x){/}n_0\]из соображений удобства расчётов. Аналогично, при $x > 0$ используем:\[A(x){/}n_0=\int\limits_{x}^{0.05~мкм}(1-n(x'){/}n_0)~\mathrm dx'+x\cdot(1-n(x){/}n_0).\]

A3  ^0.50 Используя данные в листе ответов, найдите зависимость $S(n^*){/}n_0$.

Примечание. Экспериментальные данные зачастую бывают зашумлены, поэтому численно считать производные по соседним точкам невозможно. На этот случай можно воспользоваться формулой:\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.\]

A4  ^0.50 Определите зависимость $D(n/n_0)$ для первого профиля. В качестве единиц измерения используйте $мкм^2/год$.

A5  ^2.50 Определите зависимость $D(n/n_0)$ для второго профиля. В качестве единиц измерения используйте $мкм^2/год$.

Примечание. В большом диапазоне $n$ значения будут очень близки к результатам A4, однако вблизи $n=0$ и $n_0$ возможны заметные расхождения. Это связано с большими относительными погрешностями в вычислении производных и интегралов в «хвостах» профиля. Области заметного расхождения $D(n/n_0)$ можно не учитывать при дальнейшей графической обработке.

$x,~мкм$	$n/n_0$	$\int\limits_{-0.5~мкм}^{x}n(x'){/}n_0~\mathrm{d}x',~мкм$	$\int\limits_{x}^{0.5~мкм}(1-n(x'){/}n_0)~\mathrm {d}x',~мкм$	$-xn(x){/}n_0,~мкм$	$A{/}n_0,~мкм$	$S{/}n_0,~мкм^{-1}$	$D,~мкм^{2}/год$	$D^{-1},~год/мкм^2$
-0.50	0.0455	0.0000	$-$	0.0228	0.0228	$-$	$-$	$-$
-0.45	0.0461	0.0023	$-$	0.0207	0.0230	0.029	19.828	0.050
-0.40	0.0484	0.0047	$-$	0.0194	0.0241	0.235	2.564	0.390
-0.35	0.0696	0.0076	$-$	0.0244	0.0320	0.406	1.970	0.508
-0.30	0.0890	0.0116	$-$	0.0267	0.0383	0.563	1.701	0.588
-0.25	0.1259	0.0169	$-$	0.0315	0.0484	0.718	1.685	0.593
-0.20	0.1608	0.0241	$-$	0.0322	0.0563	0.971	1.450	0.690
-0.15	0.2230	0.0337	$-$	0.0335	0.0672	1.147	1.465	0.683
-0.10	0.2755	0.0462	$-$	0.0276	0.0738	1.418	1.301	0.769
-0.05	0.3648	0.0622	$-$	0.0182	0.0804	1.842	1.091	0.917
0.00	0.4597	0.0828	0.0811	$x(1-n(x){/}n_0),~мкм$	0.0820	1.976	1.037	0.964
0.05	0.5624	0.1083	0.0566	0.0219	0.0785	2.059	0.953	1.049
0.10	0.6656	0.1390	0.0373	0.0334	0.0707	2.050	0.862	1.160
0.15	0.7674	0.1749	0.0231	0.0349	0.0580	1.756	0.826	1.211
0.20	0.8412	0.2151	0.0133	0.0318	0.0451	1.375	0.820	1.220
0.25	0.9049	0.2587	0.0070	0.0238	0.0308	1.074	0.717	1.395
0.30	0.9486	0.3051	0.0033	0.0154	0.0187	0.762	0.614	1.629
0.35	0.9811	0.35331	0.0016	0.0066	0.0082	0.361	0.568	1.761
0.40	0.9847	0.4025	0.0007	0.0061	0.0068	0.138	1.232	0.812
0.45	0.9949	0.4519	0.0002	0.0023	0.0025	0.125	0.500	2.000
0.50	0.9972	0.5017	0.0000	0.0014	0.0014	$-$	$-$	$-$

Положение плоскости Матано $x_M=-0.0017~мкм$. Эффектом Киркендалла вновь можно пренебречь.

A6  ^2.00 Постройте линеаризованный график для зависимости $D(n/n_0)$. Найдите численно коэффициенты $a$ и $b$. Обязательно исключите из рассмотрения «плохие» точки.

Линеаризуем зависимость, построив график $D^{-1}(n{/}n_0)$. В «хвостах» профилей действительно наблюдается большое число выбросов, однако их очень легко обнаружить и провести прямую по «правильным» точкам. Обработка «сырых» данных из предыдущих пунктов без графического представления не принимается.

Графически определяем значения коэффициентов $a$ и $b$:\[a=0.5\hspace{3 cm}b=1.0\]График в удобном диапазоне показан на рисунке выше.

B1  ^0.50 Какой из коэффициентов будет больше, если $D_2{/}D_1 > 1$: $D_\|$ или $D_\perp$?

\[D_\|/D_\perp=\frac1{D_2/D_1}\big[1-\alpha+\alpha\cdot D_2/D_1\big]\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_2/D_1\big]=\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_2/D_1\big]\big[\alpha+(1-\alpha)\cdot D_1/D_2\big]=\]\[=(1-\alpha)^2+\alpha^2+\alpha(1-\alpha)(D_1/D_2+D_2/D_1) > 1,\]поскольку $x+1/x > 2$ при $x\ne1$.

Таким образом, больше будет коэффициент $D_\|$.

B2  ^1.50 По приведённому контурному графику определите отношение $D_y{/}D_x$ в данной системе.

Кривая $n(x,y)=\operatorname{const}$ — эллипс. Отношение его полуосей связано с коэффициентами диффузии как:\[a^2/D_y=b^2/D_x\implies D_y/D_x=(a/b)^2.\]
Определим по сетке полуоси эллипсов и усредним результаты:

$n/n_0$	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
$2a$	20	29	37	44	52	59	68	79	94
$2b$	13	19	24	29	34	39	44	52	62
$(a/b)^2$	2.37	2.33	2.38	2.30	2.34	2.29	2.39	2.31	2.30

Усредним полученные результаты:\[D_y/D_x=\overline{(a/b)^2}\approx2.3\]

B3  ^0.70 Используя выражения для $D_\|$ и $D_\perp$, получите квадратное уравнение на коэффициент заполнения $\alpha$ через отношение $D_2{/}D_1$ и отношение $D_y{/}D_x$.

Учитывая результат пункта B1, $D_y/D_x=D_\|/D_\perp$, поэтому:\[(1-\alpha)^2+\alpha^2+\alpha(1-\alpha)(D_1/D_2+D_2/D_1) =D_y/D_x\implies\]\[\implies \alpha^2-\alpha+\frac{D_y/D_x-1}{(\sqrt{D_2/D_1}-\sqrt{D_1/D_2})^2}=0\]

B4  ^0.30 Найдите $\alpha$ численно, если известно, что в используемом материале $D_2{/}D_1=10.0$.

Примечание. Можно считать, что коэффициент заполнения $\alpha<1/2$.

Подставим числа:\[\alpha^2-\alpha+0.16=0\implies\alpha\approx0.2\]