Механизм образования облаков можно в общих чертах представить следующим образом. Влажный воздух поднимается вверх и охлаждается с высотой, из-за чего водяной пар становится перенасыщенным, то есть его парциальное давление становится больше давления насыщенного пара при соответствующей температуре. При этом водяной пар начинает конденсироваться и образовывать капли воды. Пока эти капли достаточно малы, они падают достаточно медленно и остаются в облаке. Если же размер капель достаточно велик, чтобы они могли долетать до Земли не испарившись, начинается дождь. В этой задаче рассматривается механизм формирования капель в перенасыщенном водяном паре и их дальнейшего роста за счет диффузии.
В задаче используются следующие обозначения и численные значения
Водяной пар во всех частях задачи можно считать идеальным газом.
Пусть атмосфера состоит только из воздуха и водяного пара без примесей. При образовании капли нужно затратить дополнительную энергию на создание поверхности воды. Поэтому даже в случае перенасыщенного водяного пара образование капель затруднено тем, что при малом размере относительная величина поверхностной энергии велика.
Из термодинамики известно, что для процесса при постоянной энергии его возможность определяется значением свободной энергии Гиббса $G$. Чем больше необходимая свободная энергия, тем менее вероятен процесс. Исследуем, как зависит свободная энергия, необходимая для формирования капли, от ее радиуса $r$. Для этого вам потребуются следующие факты:
Пока капля не достигла радиуса $r_c$, ее рост сопровождается увеличением свободной энергии, поэтому маловероятен. Как только радиус превысит критический, дальнейший рост будет происходить без затруднений с уменьшением свободной энергии. Поэтому при исследовании количества возникающих капель можно сосредоточиться на каплях критического радиуса. Капля может сформироваться вокруг любой из молекул воды, однако вероятность такого процесса мала и определяется необходимой свободной энергией. Из статистической механики следует, что концентрация центров, вокруг которых фактически может произойти конденсация, равна
$$
n_c = n e^{- \Delta G_c/ kT},
$$
где $n$ — концентрация молекул воды в паре, $\Delta G_c$ было найдено в предыдущем пункте.
A3
0.70
Рассмотрим каплю критического радиуса $r_c$. Определите время $\tau$, за которое количество молекул в ней увеличится на $g$. Выразите ответ через $r_c$, $g$, $p_s$, $m$, $k$, $T$, $\varphi$. Считайте, что в процессе роста радиус капли не меняется, испарением молекул из капли можно пренебречь.
Известно, что на площадь $dS$ поверхности за время $dt$ попадает
$$
dN = dt dS \frac{p_v}{\sqrt{2\pi m k T}}
$$
молекул. Здесь $p_v$ — давление пара, $m$ — масса молекул, $T$ — температура газа.
Будем считать время $\tau$ характерным временем роста капель из зародыша. За время $\tau$ все имеющиеся в системе зародыши превращаются в капли критического радиуса, а на их месте появляются новые зародыши в таком же количестве.
A5
0.90
Из результатов предыдущего пункта следует, что скорость образования капель очень сильно зависит от коэффициента перенасыщения пара. Определите численно значение коэффициента перенасыщения пара $\varphi$, при котором при температуре $T = 283~\text{К}$ в $1~\text{см}^3$ воздуха рождается одна капля в секунду. Считайте, что $g = 100$. Остальные численные данные приведены в начале задачи.
В этой части будем использовать следующие обозначения (в дополнение к приведенным в начале задачи):
Капля растет за счет диффузии. Скорость изменения массы капли и скорость отвода тепла задается соотношениями
$$
\frac{dM}{dt} = 4 \pi r D (\rho_v - \rho_r); \quad \frac{dQ}{dt} = 4\pi Kr (T_r - T).
$$
Будем считать, что температура капли в процессе ее роста остается постоянной, а все тепло выделяется только за счет конденсации воды.
B1
0.80
Для насыщенного пара, находящегося в равновесии с жидкостью, выразите производную давления по температуре $dp_s/dT$ через $p_s$, $L$, $R$, $T$, $\mu$. Используя полученный результат, найдите относительное изменение плотности насыщенного водяного пара $\Delta \rho_s/\rho_s$ при малом изменении температуры $\Delta T$. Выразите ответ через $\Delta T$, $T$, $L$, $\mu$, $R$. Вы можете использовать связь малых изменений давления, плотности и температуры идеального газа
$$
\frac{\Delta p_s}{p_s} = \frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} +\frac {\Delta T}{T}.
$$
B4
0.30
Будем считать, что вблизи поверхности капли плотность водяного пара равна плотности насыщенного пара при температуре капли. Считая разности температур и плотностей малыми и используя результаты $B1$, $B3$ выразите отношение $(\rho_r - \rho_s)/\rho_s$ ($\rho_r$ — давление пара вблизи поверхности капли) через $L$, $r$, $K$, $\mu$, $R$, $T$ и $dM/dt$.