Logo
Logo

Физика дождевых капель

Разбалловка

A1  1,00 Найдите изменение свободной энергии водяного пара, если из него образовать каплю радиуса $r$. Выразите ответ через $r$, $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$.

A1. 1 Записан поверхностный вклад в свободную энергию $
\Delta G_{surf}= 4 \pi \sigma r^2.
$
0,30
A1. 2 Найдено количество вещества в капле $
\nu = \frac{4\pi \rho_L r^3}{3 \mu}.$
0,20
A1. 3 Объемный вклад в свободную энергию $- \frac{4\pi \rho_L }{3 \mu}r^3 R T \ln \varphi$ 0,30
A1. 4 Правильные знаки 0,20
A2  0,80 Найдите критическое значение радиуса капли $r_c$, при котором $\Delta G$ максимально, а также соответствующее значение $\Delta G_с$. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$. Найдите численное значение $r_c$ при $\varphi = 1.01$.

A2. 1 Вычислена производная $\partial \Delta G/\partial r$ 0,20
A2. 2 $
r_c = \frac{2 \sigma \mu}{\rho_L R T \ln \varphi}.
$
0,20
A2. 3 $r_c = 1.15 \cdot 10^{-7}~\text{м}$ 0,10
A2. 4 $$\Delta G_c = \frac{16 \pi}{3} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}$$ 0,30
A2. 5 Ошибка в безразмерном численном коэффициенте в $\Delta G_c$ -0,10
A3  0,70 Рассмотрим каплю критического радиуса $r_c$. Определите время $\tau$, за которое количество молекул в ней увеличится на $g$. Выразите ответ через $r_c$, $g$, $p_s$, $m$, $k$, $T$, $\varphi$. Считайте, что в процессе роста радиус капли не меняется, испарением молекул из капли можно пренебречь.
Известно, что на площадь $dS$ поверхности за время $dt$ попадает
$$
dN = dt dS \frac{p_v}{\sqrt{2\pi m k T}}
$$
молекул. Здесь $p_v$ — давление пара, $m$ — масса молекул, $T$ — температура газа.

A3. 1 $p_v = p_s \varphi$ 0,10
A3. 2 Записан полный поток молекул в каплю 0,30
A3. 3 $$
\tau = \frac{g \sqrt{2\pi m kT}}{4\pi r_c^2 p_s \varphi}.
$$
0,30
A3. 4 Ошибка в численном коэффициенте -0,20
A4  0,60 Найдите количество капель $J$, которые образуются в единицу времени в единице объема перенасыщенного водяного пара. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $p_s$, $r_c$, $T$, $g$.

A4. 1 Использована формула $J = n_c/ \tau$ 0,10
A4. 2 $$
J = \frac{4\pi r_c^2 }{ \sqrt{2\pi m kT}} \frac{p_s^2 \varphi^2}{k T} \frac{1}{g}\exp\left( - \frac{16 \pi}{3 kT} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}\right) =
\frac{4\pi r_c^2 }{ \sqrt{2\pi m kT}} \frac{p_s^2 \varphi^2}{k T} \frac{1}{g}\exp\left( - \frac{4\pi r_c^2 \sigma}{3 k T}\right).
$$
0,40
A4. 3 Концентрация выражена через давление $p_s$ 0,10
A4. 4 Ошибка в численном коэффициенте или в ответе остались не приведенные в условии величины -0,20
A5  0,90 Из результатов предыдущего пункта следует, что скорость образования капель очень сильно зависит от коэффициента перенасыщения пара. Определите численно значение коэффициента перенасыщения пара $\varphi$, при котором при температуре $T = 283~\text{К}$ в $1~\text{см}^3$ воздуха рождается одна капля в секунду. Считайте, что $g = 100$. Остальные численные данные приведены в начале задачи.

A5. 1 Найдены численные значения коэффициента перед экспонентой ($J_0$) и постоянной в экспоненте $A$, или аналогичные им 2 × 0,20
A5. 2 Численный ответ $\varphi \in [3.8, 3.9]$ 0,50
B1  0,80 Для насыщенного пара, находящегося в равновесии с жидкостью, выразите производную давления по температуре $dp_s/dT$ через $p_s$, $L$, $R$, $T$, $\mu$. Используя полученный результат, найдите относительное изменение плотности насыщенного водяного пара $\Delta \rho_s/\rho_s$ при малом изменении температуры $\Delta T$. Выразите ответ через $\Delta T$, $T$, $L$, $\mu$, $R$. Вы можете использовать связь малых изменений давления, плотности и температуры идеального газа
$$
\frac{\Delta p_s}{p_s} = \frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} +\frac {\Delta T}{T}.
$$

B1. 1 Использовано или получено уравнение Клапейрона-Клаузиуса в любом виде 0,30
B1. 2 $$
\frac{dp_s}{dT} = \frac{L \mu p_s}{R T^2}.
$$
0,20
B1. 3 $$
\frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} = \frac{\Delta T}{T} \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right).
$$
0,30
B2  0,20 Выразите $dQ/dt$ через $dM/dt$ и $L$.

B2. 1 $$
\frac{dQ}{dt} = L \frac{dM}{dt}
$$
0,20
B3  0,30 Используя результат предыдущего пункта и уравнение теплопроводности, выразите разность температур капли и атмосферы, $T_r- T$, через $dM/dt$, а также $r$, $L$, $K$.

B3. 1 $$
T_r - T = \frac{1}{4 \pi r K} \frac{dQ}{dt}
$$
0,10
B3. 2 $$
T_r - T = \frac{L}{4 \pi r K} \frac{dM}{dt}.
$$
0,20
B4  0,30 Будем считать, что вблизи поверхности капли плотность водяного пара равна плотности насыщенного пара при температуре капли. Считая разности температур и плотностей малыми и используя результаты $B1$, $B3$ выразите отношение $(\rho_r - \rho_s)/\rho_s$ ($\rho_r$ — давление пара вблизи поверхности капли) через $L$, $r$, $K$, $\mu$, $R$, $T$ и $dM/dt$.

B4. 1 $$
\frac{\rho_r - \rho_s}{\rho_s} = \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{4 \pi r K T} \frac{dM}{dt}.
$$
0,30
B5  0,30 Используя уравнение диффузии, выразите отношение $(\rho_r - \rho_v)/\rho_s$ через $dM/dt$, $r$, $D$, $\rho_s$.

B5. 1 $$
\frac{\rho_r - \rho_v}{\rho_s} = - \frac{1}{4 \pi r \rho_s D} \frac{dM}{dt}
$$
0,30
B5. 2 Ошибка в знаке -0,10
B6  0,60 Исключив из ответов в двух предыдущих пунктах плотность пара вблизи поверхности капли $\rho_r$, получите выражение для $dM/dt$. Выразите ответ через $\varphi$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$, $r$.

B6. 1 Получено корректное соотношение, не содержащее $\rho_r$ 0,30
B6. 2 $$
\frac{dM}{dt} = \frac{4 \pi r (\varphi - 1)}{\left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{R T}{\mu p_s D} }
$$
0,30
B6. 3 Не подставлено значение $\rho_s$ -0,10
B7  0,50 Скорость увеличения радиуса капли имеет вид
$$
\frac{dr}{dt} = \frac{\xi}{r^k}.
$$
Определите $k$ и $\xi$, выразите ответ через $\varphi $, $\rho_L$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$.

B7. 1 $dr/dt$ выражено через $dM/dt$ 0,20
B7. 2 $k = 1$ 0,10
B7. 3 $$
\quad \xi = \frac{\varphi - 1}{\left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{R T}{\mu p_s D} } \frac{1}{\rho_L}.
$$
0,20
B8  0,50 Найдите зависимость радиуса капли от времени. Начальный радиус капли равен $r_0$. Выразите ответ через $r_0$, $\xi$, $t$.

B8. 1 Уравнение корректно проинтегрировано 0,20
B8. 2 $$
r(t) = \sqrt{r_0^2 + 2 \xi t}.
$$
0,30
B8. 3 Ошибка в численном коэффициенте -0,10
B9  0,50 Пусть начальный радиус капли равен $r_0 = 0.7~\text{мкм}$. Найдите численное значение времени, за которое она вырастет до размера $r_1 = 10~\text{мкм}$ при коэффициенте перенасыщения $\varphi = 1.1$. Остальные численные значения приведены в начале этой части.

B9. 1 $$
t = \frac{r_1^2 - r_0^2}{2 \xi}
$$
0,30
B9. 2 $$
t = 5.50~\text{с}.
$$
0,20