A1  ^1.00 Найдите изменение свободной энергии водяного пара, если из него образовать каплю радиуса $r$. Выразите ответ через $r$, $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$.

A1. 1 Записан поверхностный вклад в свободную энергию $ \Delta G_{surf}= 4 \pi \sigma r^2. $	0.30
A1. 2 Найдено количество вещества в капле $ \nu = \frac{4\pi \rho_L r^3}{3 \mu}.$	0.20
A1. 3 Объемный вклад в свободную энергию $- \frac{4\pi \rho_L }{3 \mu}r^3 R T \ln \varphi$	0.30
A1. 4 Правильные знаки	0.20

A2  ^0.80 Найдите критическое значение радиуса капли $r_c$, при котором $\Delta G$ максимально, а также соответствующее значение $\Delta G_с$. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$. Найдите численное значение $r_c$ при $\varphi = 1.01$.

A2. 1 Вычислена производная $\partial \Delta G/\partial r$	0.20
A2. 2 $ r_c = \frac{2 \sigma \mu}{\rho_L R T \ln \varphi}. $	0.20
A2. 3 $r_c = 1.15 \cdot 10^{-7}~\text{м}$	0.10
A2. 4 $$\Delta G_c = \frac{16 \pi}{3} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}$$	0.30
A2. 5 Ошибка в безразмерном численном коэффициенте в $\Delta G_c$	-0.10

A3  ^0.70 Рассмотрим каплю критического радиуса $r_c$. Определите время $\tau$, за которое количество молекул в ней увеличится на $g$. Выразите ответ через $r_c$, $g$, $p_s$, $m$, $k$, $T$, $\varphi$. Считайте, что в процессе роста радиус капли не меняется, испарением молекул из капли можно пренебречь.
Известно, что на площадь $dS$ поверхности за время $dt$ попадает
$$
dN = dt dS \frac{p_v}{\sqrt{2\pi m k T}}
$$
молекул. Здесь $p_v$ — давление пара, $m$ — масса молекул, $T$ — температура газа.

A3. 1 $p_v = p_s \varphi$	0.10
A3. 2 Записан полный поток молекул в каплю	0.30
A3. 3 $$ \tau = \frac{g \sqrt{2\pi m kT}}{4\pi r_c^2 p_s \varphi}. $$	0.30
A3. 4 Ошибка в численном коэффициенте	-0.20

A4  ^0.60 Найдите количество капель $J$, которые образуются в единицу времени в единице объема перенасыщенного водяного пара. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $p_s$, $r_c$, $T$, $g$.

A4. 1 Использована формула $J = n_c/ \tau$	0.10
A4. 2 $$ J = \frac{4\pi r_c^2 }{ \sqrt{2\pi m kT}} \frac{p_s^2 \varphi^2}{k T} \frac{1}{g}\exp\left( - \frac{16 \pi}{3 kT} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}\right) = \frac{4\pi r_c^2 }{ \sqrt{2\pi m kT}} \frac{p_s^2 \varphi^2}{k T} \frac{1}{g}\exp\left( - \frac{4\pi r_c^2 \sigma}{3 k T}\right). $$	0.40
A4. 3 Концентрация выражена через давление $p_s$	0.10
A4. 4 Ошибка в численном коэффициенте или в ответе остались не приведенные в условии величины	-0.20

A5  ^0.90 Из результатов предыдущего пункта следует, что скорость образования капель очень сильно зависит от коэффициента перенасыщения пара. Определите численно значение коэффициента перенасыщения пара $\varphi$, при котором при температуре $T = 283~\text{К}$ в $1~\text{см}^3$ воздуха рождается одна капля в секунду. Считайте, что $g = 100$. Остальные численные данные приведены в начале задачи.

A5. 1 Найдены численные значения коэффициента перед экспонентой ($J_0$) и постоянной в экспоненте $A$, или аналогичные им	2 × 0.20
A5. 2 Численный ответ $\varphi \in [3.8, 3.9]$	0.50

B1  ^0.80 Для насыщенного пара, находящегося в равновесии с жидкостью, выразите производную давления по температуре $dp_s/dT$ через $p_s$, $L$, $R$, $T$, $\mu$. Используя полученный результат, найдите относительное изменение плотности насыщенного водяного пара $\Delta \rho_s/\rho_s$ при малом изменении температуры $\Delta T$. Выразите ответ через $\Delta T$, $T$, $L$, $\mu$, $R$. Вы можете использовать связь малых изменений давления, плотности и температуры идеального газа
$$
\frac{\Delta p_s}{p_s} = \frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} +\frac {\Delta T}{T}.
$$

B1. 1 Использовано или получено уравнение Клапейрона-Клаузиуса в любом виде	0.30
B1. 2 $$ \frac{dp_s}{dT} = \frac{L \mu p_s}{R T^2}. $$	0.20
B1. 3 $$ \frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} = \frac{\Delta T}{T} \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right). $$	0.30

B2  ^0.20 Выразите $dQ/dt$ через $dM/dt$ и $L$.

B2. 1 $$ \frac{dQ}{dt} = L \frac{dM}{dt} $$

0.20

B3  ^0.30 Используя результат предыдущего пункта и уравнение теплопроводности, выразите разность температур капли и атмосферы, $T_r- T$, через $dM/dt$, а также $r$, $L$, $K$.

B3. 1 $$ T_r - T = \frac{1}{4 \pi r K} \frac{dQ}{dt} $$	0.10
B3. 2 $$ T_r - T = \frac{L}{4 \pi r K} \frac{dM}{dt}. $$	0.20

B4  ^0.30 Будем считать, что вблизи поверхности капли плотность водяного пара равна плотности насыщенного пара при температуре капли. Считая разности температур и плотностей малыми и используя результаты $B1$, $B3$ выразите отношение $(\rho_r - \rho_s)/\rho_s$ ($\rho_r$ — давление пара вблизи поверхности капли) через $L$, $r$, $K$, $\mu$, $R$, $T$ и $dM/dt$.

B4. 1 $$ \frac{\rho_r - \rho_s}{\rho_s} = \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{4 \pi r K T} \frac{dM}{dt}. $$

0.30

B5  ^0.30 Используя уравнение диффузии, выразите отношение $(\rho_r - \rho_v)/\rho_s$ через $dM/dt$, $r$, $D$, $\rho_s$.

B5. 1 $$ \frac{\rho_r - \rho_v}{\rho_s} = - \frac{1}{4 \pi r \rho_s D} \frac{dM}{dt} $$	0.30
B5. 2 Ошибка в знаке	-0.10

B6  ^0.60 Исключив из ответов в двух предыдущих пунктах плотность пара вблизи поверхности капли $\rho_r$, получите выражение для $dM/dt$. Выразите ответ через $\varphi$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$, $r$.

B6. 1 Получено корректное соотношение, не содержащее $\rho_r$	0.30
B6. 2 $$ \frac{dM}{dt} = \frac{4 \pi r (\varphi - 1)}{\left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{R T}{\mu p_s D} } $$	0.30
B6. 3 Не подставлено значение $\rho_s$	-0.10

B7  ^0.50 Скорость увеличения радиуса капли имеет вид
$$
\frac{dr}{dt} = \frac{\xi}{r^k}.
$$
Определите $k$ и $\xi$, выразите ответ через $\varphi $, $\rho_L$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$.

B7. 1 $dr/dt$ выражено через $dM/dt$	0.20
B7. 2 $k = 1$	0.10
B7. 3 $$ \quad \xi = \frac{\varphi - 1}{\left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{R T}{\mu p_s D} } \frac{1}{\rho_L}. $$	0.20

B8  ^0.50 Найдите зависимость радиуса капли от времени. Начальный радиус капли равен $r_0$. Выразите ответ через $r_0$, $\xi$, $t$.

B8. 1 Уравнение корректно проинтегрировано	0.20
B8. 2 $$ r(t) = \sqrt{r_0^2 + 2 \xi t}. $$	0.30
B8. 3 Ошибка в численном коэффициенте	-0.10

B9  ^0.50 Пусть начальный радиус капли равен $r_0 = 0.7~\text{мкм}$. Найдите численное значение времени, за которое она вырастет до размера $r_1 = 10~\text{мкм}$ при коэффициенте перенасыщения $\varphi = 1.1$. Остальные численные значения приведены в начале этой части.

B9. 1 $$ t = \frac{r_1^2 - r_0^2}{2 \xi} $$	0.30
B9. 2 $$ t = 5.50~\text{с}. $$	0.20