A1  ^1.00 Найдите изменение свободной энергии водяного пара, если из него образовать каплю радиуса $r$. Выразите ответ через $r$, $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$.

За счет энергии поверхностного натяжения свободная энергия увеличится на
$$
\Delta G_{surf} = \sigma A = 4 \pi \sigma r^2.
$$
С другой стороны, при переходе пара в жидкое состояние его свободная энергия уменьшается на
$$
\Delta G _v = \nu R T \ln \varphi,
$$
где количество вещества в капле
$$
\nu = \frac{4\pi \rho_L r^3}{3 \mu}.
$$
Здесь мы использовали формулу для изменения свободной энергии пара и тот факт, что для насыщенного пара свободная энергия равна свободной энергии жидкости.

A2  ^0.80 Найдите критическое значение радиуса капли $r_c$, при котором $\Delta G$ максимально, а также соответствующее значение $\Delta G_с$. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $R$, $T$, $\rho_L$, $\mu$. Найдите численное значение $r_c$ при $\varphi = 1.01$.

Для нахождения максимума найдем производную
$$
\frac{\partial \Delta G}{\partial r} = 8 \pi \sigma r - \frac{4\pi \rho_L }{ \mu} r^2 RT \ln \varphi = 0.
$$
Отсюда
$$
r_c = \frac{2 \sigma \mu}{\rho_L R T \ln \varphi}.
$$
Подставляя в формулу для $\Delta G$, получим
$$
\Delta G_c = \frac{16 \pi}{3} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi} = \frac{4\pi r_c^2 \sigma}{3}.
$$

A3  ^0.70 Рассмотрим каплю критического радиуса $r_c$. Определите время $\tau$, за которое количество молекул в ней увеличится на $g$. Выразите ответ через $r_c$, $g$, $p_s$, $m$, $k$, $T$, $\varphi$. Считайте, что в процессе роста радиус капли не меняется, испарением молекул из капли можно пренебречь.
Известно, что на площадь $dS$ поверхности за время $dt$ попадает
$$
dN = dt dS \frac{p_v}{\sqrt{2\pi m k T}}
$$
молекул. Здесь $p_v$ — давление пара, $m$ — масса молекул, $T$ — температура газа.

На всю площадь поверхности капли за время $dt$ попадает
$$
dN = 4\pi r_c^2 \frac{p_v}{\sqrt{2\pi m kT}} = 4\pi r_c^2 \frac{p_s \varphi}{\sqrt{2\pi m kT}}
$$
молекул. Здесь использовано соотношение $p_v = p_s \varphi$. Поскольку изменением радиуса можно пренебречь, коэффициент пропорциональности постоянен, а значит искомое время
$$
\tau = g \left( 4\pi r_c^2 \frac{p_s \varphi}{\sqrt{2\pi m kT}} \right)^{-1}.
$$

A4  ^0.60 Найдите количество капель $J$, которые образуются в единицу времени в единице объема перенасыщенного водяного пара. Выразите ответ через $\sigma$, $\varphi$, $p_s$, $r_c$, $T$, $g$.

По условию за время $\tau$ все зародыши в объеме превращаются в капли, поэтому
$$
J = \frac{n_c}{\tau} = \frac{4\pi r_c^2 p_s \varphi}{g \sqrt{2\pi m kT}} n\exp\left( - \frac{16 \pi}{3 kT} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}\right).
$$
Выразим концентрацию пара через давление:
$$
n = \frac{p_v}{k T} = \frac{p_s \varphi}{k T},
$$
получим

A5  ^0.90 Из результатов предыдущего пункта следует, что скорость образования капель очень сильно зависит от коэффициента перенасыщения пара. Определите численно значение коэффициента перенасыщения пара $\varphi$, при котором при температуре $T = 283~\text{К}$ в $1~\text{см}^3$ воздуха рождается одна капля в секунду. Считайте, что $g = 100$. Остальные численные данные приведены в начале задачи.

Подставим в результат предыдущего пункта выражение для $r_c$:
$$
J = \frac{4\pi p_s^2}{\sqrt{2\pi m k T}} \frac{4 \sigma^2 \mu^2}{g k T \rho_L^2 R^2 T^2} \frac{\varphi^2}{\ln^2 \varphi}\exp\left( - \frac{16 \pi}{3 kT} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 \ln^2 \varphi}\right) = J_0 \frac{\varphi^2}{\ln^2 \varphi} \exp\left(- \frac{A}{\ln^2 \varphi} \right),
$$
где
$$
J_0 = \frac{16\pi p_s^2}{\sqrt{2\pi m k T}} \frac{ \sigma^2 \mu^2}{g k T \rho_L^2 R^2 T^2} = 2.37 \cdot 10^{30} ~ \text{м}^{-3} \cdot \text{с}^{-1},
$$
$$
A = \frac{16 \pi}{3 kT} \frac{\sigma^3 \mu^2}{\rho_L^2 R^2 T^2 } = 106.
$$
Нам нужно получить значение $J = 10^6 ~ \text{м}^{-3} \cdot \text{с}^{-1}$. Численно находим $\varphi \approx 3.86 $. Приведем также таблицу значений J при близких значениях $\varphi$, видим что рост происходить очень быстро.

$\varphi$	$J, \, \text{м}^{-3} \cdot \text{с}^{-1}$
3.5	$8.4 \cdot 10^1$
3.6	$1.61 \cdot 10^2$
3.7	$2.34 \cdot 10^4$
3.8	$2.79 \cdot 10^5$
3.9	$2.68 \cdot 10^6$

B1  ^0.80 Для насыщенного пара, находящегося в равновесии с жидкостью, выразите производную давления по температуре $dp_s/dT$ через $p_s$, $L$, $R$, $T$, $\mu$. Используя полученный результат, найдите относительное изменение плотности насыщенного водяного пара $\Delta \rho_s/\rho_s$ при малом изменении температуры $\Delta T$. Выразите ответ через $\Delta T$, $T$, $L$, $\mu$, $R$. Вы можете использовать связь малых изменений давления, плотности и температуры идеального газа
$$
\frac{\Delta p_s}{p_s} = \frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} +\frac {\Delta T}{T}.
$$

Зависимость давления насыщенного пара от температуры определяется уравнением Клапейрона-Клаузиуса (считаем, что объем пара много больше соответствующего объема воды при той же температуры):
$$
\frac{dp_s}{dT} = \frac{L \mu p}{R T^2}.
$$
Используя соотношение из условия, найдем
$$
\frac{\Delta \rho_s}{\rho_s} = \frac{\Delta p_s}{p_s} - \frac{\Delta T}{T} =
\frac{\lambda \mu p}{R T^2} \Delta T - \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta T}{T} \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right).
$$

B2  ^0.20 Выразите $dQ/dt$ через $dM/dt$ и $L$.

Поскольку тепло выделяется только за счет конденсации воды $dQ = L dM$

B3  ^0.30 Используя результат предыдущего пункта и уравнение теплопроводности, выразите разность температур капли и атмосферы, $T_r- T$, через $dM/dt$, а также $r$, $L$, $K$.

Из уравнения теплопроводности
$$
T_r - T = \frac{1}{4 \pi r K} \frac{dQ}{dt} = \frac{L}{4 \pi r K} \frac{dM}{dt}.
$$

B4  ^0.30 Будем считать, что вблизи поверхности капли плотность водяного пара равна плотности насыщенного пара при температуре капли. Считая разности температур и плотностей малыми и используя результаты $B1$, $B3$ выразите отношение $(\rho_r - \rho_s)/\rho_s$ ($\rho_r$ — давление пара вблизи поверхности капли) через $L$, $r$, $K$, $\mu$, $R$, $T$ и $dM/dt$.

Из результата B1
$$
\frac{\rho_r - \rho_s}{\rho_s} = \frac{T_r - T}{T} \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right).
$$
Подставляя в него выражение для разности температур, получим

B5  ^0.30 Используя уравнение диффузии, выразите отношение $(\rho_r - \rho_v)/\rho_s$ через $dM/dt$, $r$, $D$, $\rho_s$.

Из уравнения диффузии
$$
\rho_v - \rho_r = \frac{1}{4 \pi r D} \frac{dM}{dt},
$$

B6  ^0.60 Исключив из ответов в двух предыдущих пунктах плотность пара вблизи поверхности капли $\rho_r$, получите выражение для $dM/dt$. Выразите ответ через $\varphi$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$, $r$.

Вычитая друг из друга выражения из двух последних пунктов, получим
$$
\frac{\rho_v - \rho_s}{\rho_s} = \varphi - 1= \frac{1}{4 \pi r}\left( \left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{1}{\rho_s D} \right) \frac{dM}{dt}.
$$
Также выразим плотность насыщенного пара через давление:
$$
\rho_s = \frac{\mu p_s}{R T},
$$
окончательно получим

B7  ^0.50 Скорость увеличения радиуса капли имеет вид
$$
\frac{dr}{dt} = \frac{\xi}{r^k}.
$$
Определите $k$ и $\xi$, выразите ответ через $\varphi $, $\rho_L$, $\mu$, $R$, $T$, $D$, $p_s$, $L$, $K$.

Масса капли связана с радиусом соотношением
$$
M = \frac{4 \pi}{3} \rho_L r^3,
$$
поэтому
$$
\frac{dM}{dt} = 4 \pi \rho_L r^2 \frac{dr}{dt},
$$
а значит
$$
\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4 \pi \rho_L r^2} \frac{dM}{dt} = \frac{1}{r \rho_L} \frac{\varphi - 1}{\left( \frac{\mu L}{R T} - 1\right)\frac{L}{ K T} +\frac{R T}{\mu p_s D} }
$$

B8  ^0.50 Найдите зависимость радиуса капли от времени. Начальный радиус капли равен $r_0$. Выразите ответ через $r_0$, $\xi$, $t$.

Проинтегрируем уравнение
$$
r \frac{dr}{dt} = \xi,
$$
получим
$$
\frac{r^2}{2} - \frac{r_0^2}{2} = \xi t,
$$

B9  ^0.50 Пусть начальный радиус капли равен $r_0 = 0.7~\text{мкм}$. Найдите численное значение времени, за которое она вырастет до размера $r_1 = 10~\text{мкм}$ при коэффициенте перенасыщения $\varphi = 1.1$. Остальные численные значения приведены в начале этой части.

Для параметров из условия
$$
\xi = 9.04 \cdot 10^{-12} ~\text{м}^2 \cdot \text{с}^{-1},
$$
тогда время