A1  ^0.90 При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна.

A1. 1 $$ \dfrac{B}{A} = a_V - a_S A^{-1/3} - \frac{a_C}{4} A^{2/3} $$	0.20
A1. 2 $$ \frac{d(B/A)}{dA} = 0 $$	0.10
A1. 3 $$ \dfrac{a_S}{3} A^{-4/3} - \frac{a_C}{6} A^{-1/3} = 0 $$	0.20
A1. 4 $$ A = \dfrac{2 a_S}{a_C} $$	0.20
A1. 5 $A = 50$	0.20
A1. 6 $A$ в диапазоне 49.5-50.4	0.10

A2  ^0.90 Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\ast$, используя уравнение (1).

A2. 1 $$ -2 a_C \frac{Z^*}{A^{1/3}} - 4 a_{sym} \frac{2 Z^* - A}{A} = 0 $$	0.30
A2. 2 $$ Z^* = \frac{1}{1 + \frac{a_C}{4 a_{sym} } A^{2/3}} \cdot\frac{A}{2} $$ ($a_c/a_{sym}$) можно заменить на численное значение из интервала 0.007-0.008	0.40
A2. 3 $Z^* = 79$ (баллы не снимаются при $Z^* = 78$)	0.20
A2. 4 Значение $Z^*$ в диапазоне 77.5-79.4	0.10

A3  ^0.70 Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер — fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями
$$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$
Пусть это соотношение записано в виде
$$Z^2/A > C_{\rm fission} \frac{a_S}{a_C} ,$$
получите $C_{\rm fission}$ с двумя значащими цифрами.

A3. 1 $$ a_S \left[A^{2/3} - 2 \left( \frac {A}{ 2} \right)^{2/3} \right] + a_C \left[ \frac{Z^2}{A^{1/3}} - 2 \frac{(Z/2)^2}{(A/2)^{1/3}} \right] > 0 $$ (не ставится, если $a_V$ не сократилось)	0.30
A3. 2 $$ \frac{Z^2}{A} > \frac{2^{1/3 }- 1}{1 - 2^{-2/3}} \frac{a_S}{a_C} $$	0.20
A3. 3 $C = 0.70$	0.20

B1  ^1.50 Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи
$$B_{\rm grav} = \frac{3}{5}\frac{GM^2}{R},$$
где $M=m_N A$ — масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \simeq 1.1\times 10^{-15}\;м = 1.1\;фм$ — радиус ядра.
Для гравитационной энергии связи $B_{\rm grav}=a_{\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \simeq 939\;МэВ$ и $G=\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\simeq 1.22 \times 10^{22}\;МэВ$ и $\hbar c \simeq 197\;МэВ\cdot фм$.

B1. 1 $a_{grav} = \dfrac{3}{5} \dfrac{G m_N^2}{R_0}$	0.40
B1. 2 $a_{grav} = \dfrac{3}{5} \dfrac{\hbar c m_N^2}{R_0 M_P^2}$	0.20
B1. 3 $a_{grav} = 6\times 10^{-37}~\text{МэВ}$ (единицу измерения можно не указывать). Если есть вычисление, предыдущие пункты скорее всего тоже засчитываются, даже если явного выражения через постоянную Планка не было.	0.20
B1. 4 Если верен только порядок величины	0.10
B1. 5 $a_V A - a_{sym} A + a_{grav}A^{5/3} > 0$	0.20
B1. 6 $$ A_c = \left( \frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\right)^{3/2} $$	0.30
B1. 7 $A = 4 \times 10^{55}$ ( $A = 4 \times 10^{55}$ тоже засчитывается)	0.20
B1. 8 Верен только порядок величины	0.10

C1  ^1.00 Как показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F.

Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\Delta\tau_F = \Delta\tau_{\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\Delta\tau_{\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\Delta\tau_{\rm II}$.

Выразите $\Delta\tau_{\rm II}$ через $\Delta\tau_{\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\Delta\phi/c^2$, где $\Delta\phi=g\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу.

C1. 1 $v^2 = 2 g \Delta h = 2 \Delta \phi$	0.30
C1. 2 $\Delta \tau _{II} = \sqrt{1- v^2/c^2} \Delta \tau _{I} = \sqrt{1- 2\Delta \phi/c^2} \Delta \tau _{I}$	0.50
C1. 3 $$ \Delta \tau _{II} = \left(1 - \frac{\Delta \phi}{c^2} \right) \Delta \tau_{I} $$	0.20

C2  ^1.80 Если гравитационный потенциал равен $\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\phi(r=\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\phi/c^2$ равна$$c_{\rm eff} \approx \left( 1 + \frac{2\phi}{c^2} \right)\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой.

Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \,(<0)$ — $x$-координата N, $x_E\, (>0)$ — координата E, и $d$ — расстояние между W и световым лучом.

Найдите изменение времени распространения света $\Delta t$ от N к E, вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \ll 1$, $d/x_E \ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу.

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\biggr) + C.$$

C2. 1 $$ t_{E-N} = \int_{x_N}^{x_E} \frac{dx}{c_{eff}(x)} \quad\text{или}\quad \Delta t_{E-N} = \frac{\Delta x}{c_{eff}(x)} $$	0.50
C2. 2 $$ t_{E-N} \approx \frac{1}{c} \int_{x_N}^{x_E} dx \left( 1 + \frac{2 G M_{WD}}{c^2 \sqrt{x^2 + d^2}}\right) $$	0.40
C2. 3 Если в предыдущей формуле неправильный коэффициент	-0.10
C2. 4 $$ \Delta t = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \int_{x_N}^{x_E} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + d^2}} $$	0.30
C2. 5 Под логарифмом использованы приближения $\sqrt{x_N^2 + d^2} + x_N \approx \dfrac{d^2}{2 |x_N|}$ и $\sqrt{x_E^2 + d^2} - x_E \approx \dfrac{d^2}{2 x_E}$	0.30
C2. 6 $$ \Delta t = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \log \left(\frac{4 |x_N|x_E}{d^2} \right) $$ Баллы не снимаются, если под логарифмом нет 4, $|x_N| = - x_N$, ответ не засчитывается, если другие коэффициенты другие	0.30
C2. 7 Если не использован $|x_N|$	-0.10

C3  ^1.80 Как показано ниже, в двойной системе N и W движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к E от $G$, $L$ — расстояние между N и W, $M_{\text{WD}}$ — масса белого карлика. Далее будем считать $\varepsilon \ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от N к E далеко от N. Путь света к E меняется со временем с изменением конфигурации N и W. Время задержки светового импульса на пути до E достигает максимального значения $\Delta t_{\rm max}$ при $x_N \simeq -L$ и достигает минимального значения $\Delta t_{\rm min}$ при $x_N \simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от W, сокращаются при вычислении разности $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$.

C3. 1 $$ \Delta t_{max} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \log (4 x_E/L \varepsilon^2) $$ (баллы не снижаются, если под логарифмом другой коэффициент, согласованный с C.2)	0.60
C3. 2 Если коэффициент другой	-0.10
C3. 3 При $x_N > 0$ использовано приближение $x_N + \sqrt{x_N^2 + d^2} \approx 2 L$	0.20
C3. 4 $$ \Delta t_{min} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \log(x_E/L) $$	0.40
C3. 5 Если коэффициент неправильный	-0.10
C3. 6 Если $L$ и $x_E$ сокращаются под знаком логарифма	0.30
C3. 7 $$ \Delta t_{max} - \Delta t_{min} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \log (4/ \varepsilon^2) $$	0.30

C4  ^0.80 На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\varphi$ для двойной звездной системы с $L \approx 6\times 10^6\,км$ и
$\cos\varepsilon \approx 0.99989$. Оцените $M_{\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\odot}$ и приведите значение $M_{\rm WD} / M_{\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\odot}/c^3 \approx 5\, мкс$.

C4. 1 $\varepsilon^2 = 2 (1 - 0.99989) = 0.00022$	0.20
C4. 2 Из графика $\Delta t _{max} - \Delta t_{min} \approx 50 ~\text{мкс}$ (значение может лежать в диапазоне 40-50 мкс)	0.20
C4. 3 $$ \frac{M_{WD}}{M_{\bigodot}} = \frac{5}{\log(4/\varepsilon^2)} $$ (числитель может лежать в пределах 4-5)	0.20
C4. 4 $M_{WD}/M_{\bigodot} = 0.5$ (возможны значения из диапазона 0.4-0.5)	0.20

C5  ^0.40 В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\omega$, тогда формула $\omega = \chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\chi$ , которая не зависит ни от $\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$.

C5. 1 $p = -\dfrac{3}{2} = -1.5$ (баллы не ставятся при неправильном знаке)

0.40

C6  ^0.20 Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d).

C6. 1 Профиль (b)

0.20