Мы обсудим стабильность тяжелых ядер и оценим массу нейтронных звезд теоретически и из экспериментальных данных.

Часть A. Масса и стабильность ядер (2.5 балла)

Энергия покоя ядра $m(Z,N) c^2$, состоящего из $Z$ протонов и $N$ нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов, далее будем называть их нуклонами, на энергию связи $B(Z,N)$. Здесь $c$ — скорость света в вакууме. Игнорируя малые поправки, мы можем приблизить энергию связи суммой объемного вклада с коэффициентом $a_V$, поверхностного вклада с коэффициентом $a_S$, электростатической (кулоновской) энергии с коэффициентом $a_C$, и симметричного слагаемого с коэффициентом $a_{\rm sym}$ следующим образом.

\[m(Z,N) c^2 = A m_N c^2 - B(Z,N) ,\qquad B(Z,N) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\mathrm{sym}} \frac{(N-Z)^2}{A},\tag{1}\]

где $A=Z+N$ — массовое число, $m_N$ — масса нуклона. При вычислениях, используйте $a_V \approx 15.8 \;МэВ$, $a_S \approx 17.8 \;МэВ$, $a_C \approx 0.711 \;МэВ$, и $a_{\rm sym} \approx 23.7 \;МэВ$ (МэВ = $10^6$ электронвольт).

A1  ^0.90 При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна.

A2  ^0.90 Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\ast$, используя уравнение (1).

A3  ^0.70 Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер — fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями
$$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$
Пусть это соотношение записано в виде
$$Z^2/A > C_{\rm fission} \frac{a_S}{a_C} ,$$
получите $C_{\rm fission}$ с двумя значащими цифрами.

Часть B. Нейтронная звезда как гигантское ядро (1.5 балла)

Очень тяжелые ядра с массовым числом $A>A_c$, где $A_c$ — пороговое значение, могут оставаться стабильными относительно распада при достаточно большой гравитационной энергии связи.

B1  ^1.50 Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи
$$B_{\rm grav} = \frac{3}{5}\frac{GM^2}{R},$$
где $M=m_N A$ — масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \simeq 1.1\times 10^{-15}\;м = 1.1\;фм$ — радиус ядра.
Для гравитационной энергии связи $B_{\rm grav}=a_{\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \simeq 939\;МэВ$ и $G=\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\simeq 1.22 \times 10^{22}\;МэВ$ и $\hbar c \simeq 197\;МэВ\cdot фм$.

Часть C. Нейтронная звезда в двойной системе (6.0 баллов)

Некоторые нейтронные звезды являются пульсарами, испускающими электромагнитные волны, которые мы для простоты будем называть светом, с постоянным периодом. Нейтронные звезды часто образуют двойные системы с белыми карликами. Рассмотрим конфигурацию звезд, показанную на рисунке 1. Импульс света от нейтронной звезды N движется к Земле E и проходит мимо белого карлика W (White Dwarf) в двойной системе. Проводя измерения с этими импульсами, можно точно определить массу W, как это объясняется дальше, с помощью чего можно оценить массу N.

C1  ^1.00 Как показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F.

Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\Delta\tau_F = \Delta\tau_{\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\Delta\tau_{\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\Delta\tau_{\rm II}$.

Выразите $\Delta\tau_{\rm II}$ через $\Delta\tau_{\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\Delta\phi/c^2$, где $\Delta\phi=g\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу.

C2  ^1.80 Если гравитационный потенциал равен $\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\phi(r=\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\phi/c^2$ равна$$c_{\rm eff} \approx \left( 1 + \frac{2\phi}{c^2} \right)\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой.

Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \,(<0)$ — $x$-координата N, $x_E\, (>0)$ — координата E, и $d$ — расстояние между W и световым лучом.

Найдите изменение времени распространения света $\Delta t$ от N к E, вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \ll 1$, $d/x_E \ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу.

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\biggr) + C.$$

C3  ^1.80 Как показано ниже, в двойной системе N и W движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к E от $G$, $L$ — расстояние между N и W, $M_{\text{WD}}$ — масса белого карлика. Далее будем считать $\varepsilon \ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от N к E далеко от N. Путь света к E меняется со временем с изменением конфигурации N и W. Время задержки светового импульса на пути до E достигает максимального значения $\Delta t_{\rm max}$ при $x_N \simeq -L$ и достигает минимального значения $\Delta t_{\rm min}$ при $x_N \simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от W, сокращаются при вычислении разности $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$.

C4  ^0.80 На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\varphi$ для двойной звездной системы с $L \approx 6\times 10^6\,км$ и
$\cos\varepsilon \approx 0.99989$. Оцените $M_{\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\odot}$ и приведите значение $M_{\rm WD} / M_{\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\odot}/c^3 \approx 5\, мкс$.

C5  ^0.40 В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\omega$, тогда формула $\omega = \chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\chi$ , которая не зависит ни от $\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$.

C6  ^0.20 Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d).