A1  ^0.90 При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна.

Запишем выражение для энергии связи на один нуклон:
$$
\frac{B}{A} = a_V - a_S A^{-1/3} - \frac{a_C}{4} A^{2/3}.
$$
Для того, чтобы найти максимум, продифференцируем по $A$ и приравняем производную к нулю:
$$
\frac{d}{dA} \left( \frac{B}{A} \right) = \frac{a_S}{3} A^{-4/3} - \frac{a_C}{6} A^{-1/3} =0,
$$
откуда
$$
A = \frac{2 a_S}{a_C}.
$$
Окончательный численный ответ нужно округлить с учетом того, что $A$ — целое число.

A2  ^0.90 Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\ast$, используя уравнение (1).

При фиксированном $A$ энергия связи в зависимости от $Z$ имеет вид
$$
B = a_V A - a_S A^{2/3} - a_c \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \frac{(2 Z - A)^2}{A}.
$$
Дифференцируя по $Z$, найдем
$$
- 2 a_c \frac{Z}{A} - 4 a_{sym} \frac{2 Z^* - A}{A} = 0,
$$
откуда
$$
Z^* = \frac{1}{1 + (a_C/4 a_{sym}) A^{2/3}} \frac{A}{2}.
$$
При нахождении численного значения нужно учесть, что значение $Z^*$ целое и из двух соседних целых значений выбрать то, для которого энергия больше.

A3  ^0.70 Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер — fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями
$$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$
Пусть это соотношение записано в виде
$$Z^2/A > C_{\rm fission} \frac{a_S}{a_C} ,$$
получите $C_{\rm fission}$ с двумя значащими цифрами.

Перепишем соотношение между энергиями через энергии связи:
$$
B(Z, N) < 2B(Z/2, N/2).
$$
Подставляя формулу для энергии связи, получим
$$
a_V A- a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \frac{(N - Z)^2}{A} < 2 \left( \frac{a_V}{2} A - \frac{a_S}{2^{2/3} }A^{2/3} - \frac{a_C}{ 2^{5/3}} \frac{Z^2}{A^{1/3}} - \frac{a_{sym}}{2} \frac{(Z - N)^2}{A}\right).
$$
Слагаемые с $a_V$ и $a_{sym}$ сокращаются, остается
$$
a_c \frac{Z^2}{A^{1/3}}(1 - 2^{-2/3}) >a_s A^{2/3}( 2^{1/3} -1),
$$
$$
\frac{Z^2}{A} > \frac{2^{1/3}-1}{1 - 2^{-2/3}} \frac{a_S}{a_C}.
$$

B1  ^1.50 Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи
$$B_{\rm grav} = \frac{3}{5}\frac{GM^2}{R},$$
где $M=m_N A$ — масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \simeq 1.1\times 10^{-15}\;м = 1.1\;фм$ — радиус ядра.
Для гравитационной энергии связи $B_{\rm grav}=a_{\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \simeq 939\;МэВ$ и $G=\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\simeq 1.22 \times 10^{22}\;МэВ$ и $\hbar c \simeq 197\;МэВ\cdot фм$.

Гравитационная энергия шара радиуса $R$, массы $M$ с постоянной плотностью равна
$$
U = - \frac{3 G M^2}{5 R}.
$$
Тогда энергия связи $B_{grav} = - U$, подставляя формулы для радиуса и массы получим
$$
B_{grav} = \frac{3 G m_N^2 A^2}{5 R_0 A^{1/3}} = a_{grav}A^{5/3},
$$
где
$$
a_{grav} = \frac{3}{5} \frac{G m_N^2}{R_0}.
$$
Используя формулу для гравитационной постоянной, выраженной через массу Планка $M_P$, получим
$$
a_{grav} = \frac{3}{5} \frac{\hbar c}{R_0} \frac{m_N^2}{M_P^2} = 6 \times 10^{-37}~\text{МэВ}.
$$
Энергия связи нейтронной звезды с учетом объемной и симметрийной энергии
$$
B = a_V A - a_{sym} A + a_{grav}A^{5/3}.
$$
Для того, чтобы нейтронная звезда не распалась, нужно, чтобы энергия связи была положительной, поэтому
$$
a_{grav} A^{5/3} \ge (a_{sym} - a_V) A, \quad A \ge \left( \frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\right)^{3/2}.
$$
Тогда критическое значение
$$
A_c = \left( \frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\right)^{3/2} = 4 \times 10^{55}.
$$

C1  ^1.00 Как показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F.

Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\Delta\tau_F = \Delta\tau_{\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\Delta\tau_{\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\Delta\tau_{\rm II}$.

Выразите $\Delta\tau_{\rm II}$ через $\Delta\tau_{\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\Delta\phi/c^2$, где $\Delta\phi=g\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу.

Скорость падающих часов в момент пролета мимо нижних часов II найдем из закона сохранения энергии
$$
\frac{m v^2}{2} = m \Delta \varphi, \; v^2 = 2 \Delta \varphi.
$$
Поскольку в условии указано, что замедление времени можно получить, считая часы II пролетающими со скоростью $v$ мимо падающих часов, для времени получаем
$$
\Delta \tau_{II} = \Delta \tau_F \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}= \Delta \tau_I \sqrt{1 - \frac{2 \Delta \phi}{c^2}} \approx \Delta \tau_I \left( 1 - \frac{\Delta \phi}{c^2}\right)
$$

Отметим, что с точки зрения общей теории относительности приведенный выше вывод формулы для замедления времени некорректен. Действительно, в слабом гравитационном поле интервал задается соотношением
$$
ds^2 = c^2 \left( 1 + \frac{2 \varphi}{c^2}\right) dt^2 - \left( 1- \frac{2 \varphi}{c^2}\right)dx^2.
$$
Будем считать, что ускорение свободного падения направлено вдоль оси $x$, начало координат находится в точке первых часов, а потенциал $\phi (x = 0) = 0$. Тогда зависимость потенциала от координат имеет вид $\phi = - g x$. Движение часов нерелятивистское, поэтому $x = g t^2/2$. Поэтому показания свободно падающих часов
$$
d\tau_F^2 = ds^2/c^2 = \left(1 - \frac{2 g}{c^2} \frac{g t^2}{2} \right) dt^2 - \frac{v^2}{c^2} dt^2 = dt^2 \left( 1 - \frac{2 g^2 t^2}{c^2}\right).
$$
Видим, что показания падающих часов не совпадают с показаниями неподвижных часов I, которые находятся в точке $x = 0$, для которых $dx = 0$, а значит $d\tau_I = dt$. Для вторых часов $d\tau _{II} = \sqrt{1 - \frac{2 \Delta \phi}{c^2}}dt$ (это и есть правильный ответ для замедления времени, полученных из общей теории относительности, он следует напрямую из выражения для интервала). Показания падающих часов можно найти, интегрируя выражение для $d \tau_F$,
$$
\Delta \tau_F = \int_0^{t_0} dt \left( 1 - \frac{ g^2 t^2}{c^2}\right) = t_0 \left(1 - \frac{ g^2 t^2_0}{3 c^2} \right),
$$
где время движения $t_0 = \sqrt{2h/g} = \Delta \tau_I$, и окончательно
$$
\Delta \tau _F = \Delta \tau_I \left(1 - \frac{2 g h}{3 c^2} \right).
$$
Этот ответ в 2 раза меньше, чем если бы мы учитывали только замедление времени за счет скорости (по формулам специальной теории относительности).

C2  ^1.80 Если гравитационный потенциал равен $\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\phi(r=\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\phi/c^2$ равна$$c_{\rm eff} \approx \left( 1 + \frac{2\phi}{c^2} \right)\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой.

Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \,(<0)$ — $x$-координата N, $x_E\, (>0)$ — координата E, и $d$ — расстояние между W и световым лучом.

Найдите изменение времени распространения света $\Delta t$ от N к E, вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \ll 1$, $d/x_E \ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу.

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\biggr) + C.$$

Пусть $c_{eff}(x)$ — эффективная скорость света в точке с координатой $x$, а значит время движения
$$
t = \int_{x_N}^{x_E} \frac{dx}{c_{eff}(x)}.
$$
Гравитационный потенциал в точке с координатой $x$ равен
$$
\phi = -\frac{G M_{WD}}{\sqrt{x^2 + d^2}}.
$$
Тогда эффективная скорость света
$$
c_{eff} = c \left( 1 - \frac{2 G M_{WD}}{c^2\sqrt{x^2 + d^2}}\right).
$$
Тогда время
$$
t = \int_{x_N}^{x_E} \frac{dx}{c \left( 1 - \frac{2 G M_{WD}}{c^2\sqrt{x^2 + d^2}}\right)} \approx
\frac{1}{c} \int_{x_N}^{x_E} dx \left( 1 + \frac{2 G M_{WD}}{c^2\sqrt{x^2 + d^2}} \right).
$$
Первое слагаемое под интегралом задает время движения без учета гравитационного поля, поэтому время задержки
$$
\Delta t = \frac{1}{c} \int_{x_N}^{x_E} dx \frac{2 G M_{WD}}{c^2\sqrt{x^2 + d^2}}.
$$
Используя интеграл из условия, получим
$$
\Delta t = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \left.\frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{x^2 + d^2} + x}{\sqrt{x^2 + d^2} - x}\right|_{x_N}^{x_E} = \frac{ G M_{WD}}{c^3} \ln \left( \frac{\sqrt{x^2_E + d^2} + x_E}{\sqrt{x^2_E + d^2} - x_E} \frac{\sqrt{x^2_N + d^2} - x_N}{\sqrt{x^2_N + d^2} + x_N}\right).
$$
С учетом знаков ($x_N < 0$, $x_E > 0$) и неравенств $|x_N|, x_E \gg d$ упростим выражения под знаком логарифма:
$$
\sqrt{x_E^2 + d^2} + x_E \approx 2 x_E, \quad \sqrt{x_E^2 + d^2} - x_E \approx \frac{d^2}{2 x_E}.
$$
$$
\sqrt{x_N^2 + d^2} + x_N \approx \frac{d^2}{2 |x_N|}, \quad \sqrt{x_N^2 + d^2} - x_N \approx 2 |x_N|.
$$
Тогда окончательно получим
$$
\Delta t = \frac{ G M_{WD}}{c^3} \ln \left( \frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )} \frac{2 |x_N|}{d^2 /(2 |x_N|)}\right) = \frac{ G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{16 |x_N|^2 x_E^2}{d^4} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{4 |x_N| x_E}{d^2}.
$$

C3  ^1.80 Как показано ниже, в двойной системе N и W движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к E от $G$, $L$ — расстояние между N и W, $M_{\text{WD}}$ — масса белого карлика. Далее будем считать $\varepsilon \ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от N к E далеко от N. Путь света к E меняется со временем с изменением конфигурации N и W. Время задержки светового импульса на пути до E достигает максимального значения $\Delta t_{\rm max}$ при $x_N \simeq -L$ и достигает минимального значения $\Delta t_{\rm min}$ при $x_N \simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от W, сокращаются при вычислении разности $\Delta t_{\rm max} - \Delta t_{\rm min}$.

Полученный в предыдущем пункте ответ применим в случае, когда $x_N < 0$. Задержка максимальна, когда $x_N \approx - L$, поэтому
$$
\Delta t_{max} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{4 L x_E}{d^2}
$$ Когда нейтронная звезда находится по другую сторону от белого карлика, задержка времени минимальна при $x_N = L$ и равна
$$
\Delta t_{min} =
\frac{ G M_{WD}}{c^3} \ln \left(\frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )}\frac{d^2/(2L)}{2L}\right) = \frac{ G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{x_E^2}{L^2} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{x_E}{L}.
$$
Отсюда разность максимального и минимального времен задержки
$$
\Delta t_{max} - \Delta t_{min} = \frac{2 G M_{WD}}{c^3}\ln \frac{4 L^2}{d^2} = \frac{4 G M_{WD}}{c^3} \ln \frac{2 L}{d}.
$$
Минимальное расстояние от белого карлика до траектории света $d = L \sin \varepsilon \approx L \varepsilon$.

C4  ^0.80 На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\varphi$ для двойной звездной системы с $L \approx 6\times 10^6\,км$ и
$\cos\varepsilon \approx 0.99989$. Оцените $M_{\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\odot}$ и приведите значение $M_{\rm WD} / M_{\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\odot}/c^3 \approx 5\, мкс$.

Поскольку рассматриваемый угол мал, $cos \varepsilon = 1- \varepsilon^2/2$, откуда
$\varepsilon^2 = 2 \times (1 - 0.99988) = 0.00022$. Из графика в условии видим $\Delta t_{max} - \Delta t_{min} = 50~\text{мкс}$. Из результатов предыдущего пункта получим
$$
\frac{\Delta t_{max} - \Delta t_{min}}{G M_{\odot}/c^3} = 2 \frac{M_{WD}}{M_{\odot}}\ln \frac{4}{\varepsilon^2} \approx 10,
$$
откуда отношение масс
$$
\frac{M_{WD}}{M_{\odot}} = \frac{5}{ \ln (4/\varepsilon^2)} \approx 0.5.
$$

C5  ^0.40 В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\omega$, тогда формула $\omega = \chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\chi$ , которая не зависит ни от $\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$.

При движении по окружности $\mu v^2/R = G m_1 m_2/R^2$ ($\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ — приведенная масса). Отсюда угловая скорость
$$\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{ \frac{G(m_1 + m_2)}{R^3}}, $$
то есть $\omega \sim R^{-3/2}$

C6  ^0.20 Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d).

При излучении гравитационных волн двойная система теряет энергию, которая равна $- Gm_1m_2/(2R)$, расстояние между звездами уменьшается, а частота вращения возрастает. Значит частота излучаемых волн также возрастает. Мощность излучения пропорциональна
$$
P \sim R^2 \omega^2 \sim R^2 R^{-3} \sim \frac{1}{R},
$$
поэтому мощность излучения возрастает. Этим двум условиям удовлетворяет зависимость (b).