Пусть $v_0$ - скорость досок $a$ и $b$ до соударения с доской $c$, а $m$ - масса каждой из досок. Поскольку трения между досками $a$ и $b$ нет, а доски $b$ и $c$ при ударе скрепляются - сразу после удара скорость доски $a$ равна $v_0$, а скорость досок $b$ и $c$ равна $v_0/2$ из закона сохранения импульса.
Введём ось $x$ по направлению скорости $v_0$. Поскольку горизонтальная поверхность гладкая - центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной $v_{цм}=2v_0/3$. В момент удара центр масс системы опережает центр доски $a$ на величину $L/3$, а к моменту, когда доска $a$ целиком оказалась на доске $c$, центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину $L/3$. Тогда для перемещения доски $a$ получим:
$$\Delta{x}=\Delta{x}_{цм}+\cfrac{2L}{3}=\cfrac{2(v_0\tau+L)}{3}
$$где $\tau$ - время движения доски $a$ относительно досок $b$ и $c$.
Далее объединим доски $b$ и $c$ в одно тело массой $2m$ и будем характеризовать его индексом $2$. Доску $a$ будем характеризовать индексом $1$.
Пусть $\vec{F}$ - сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а $x$ - их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок $a$ и $c$. Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому $F_x=-\mu mgx/L$.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел:
$$m\vec{a}_1=\vec{F}\qquad 2m\vec{a}_2=-\vec{F}
$$откуда:
$$\vec{a}_1-\vec{a}_2=\vec{a}_{отн}=\cfrac{\vec{F}}{m}+\cfrac{\vec{F}}{2m}=\cfrac{3\vec{F}}{2m}
$$Тогда получим уравнение движения для переменной $x$:
$$\ddot{x}=-\cfrac{3\mu gx}{2L}
$$Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega=\sqrt{3\mu g/2L}$. Его общее решение:
$$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)
$$Определим $A$ и $\varphi_0$ из начальных условий:
$$\begin{cases}
x(0)=A\sin\varphi_0=0\\
\dot{x}(0)=\cfrac{v_0}{2}=\omega A\cos\varphi_0
\end{cases}
\Rightarrow{
\begin{cases}
\varphi_0=0\\
A=\cfrac{v_0}{2\omega}
\end{cases}
}
$$Величина $A$ имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна $L$, поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска $a$ целиком оказывается на доске $c$. Таким образом, имеем связь:
$$\cfrac{v_0}{2\omega}=L
$$Время движения $\tau$ является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0$, откуда:
$$\tau=\cfrac{\pi}{2\omega}
$$Тогда для перемещения центра масс имеем:
$$\Delta{x}_{{цм}}=\cfrac{2v_0\tau}{3}=\cfrac{2\pi L}{3}
$$и окончательно находим: