Уравнение движения бусинки на резинке в магнитном поле $\vec B$ имеет вид\[m{\vec{a}}=-k{\vec{r}}+q\bigl[{\vec{v}}\times{\vec{B}}\bigr],\]то есть (как и отмечено в условии) оно является линейным и однородным уравнением по отношению к закону движения $\vec r(t)$ (сам вектор координаты, откладываемый от положения равновесия бусинки и его производные – скорость и ускорение – входят в уравнение только в первой степени).
При движении по окружности радиуса $r_0$ центростремительное ускорение бусинки создается силой упругости резинки и силой Лоренца, причем в зависимости от направления вращения сила Лоренца либо направлена к центру окружности, либо от него. Значит, величина угловой скорости бусинки при таком движении находится из уравнения\[m\omega^{2}r_{0}=kr_{0}{\pm}q B\omega r_{0}\implies \omega^{2}{\pm}\frac{q B}{m}\omega-\frac{k}{m}=0.\]
Далее введем обозначения $\Omega\equiv\cfrac{qB}{2m}$ и $\omega_0^2\equiv\cfrac{k}{m}$. Тогда, выбирая для каждого случая положительный корень, приходим к выводу, что при вращении по часовой стрелке величина угловой скорости (циклическая частота вращения)
а при вращении против часовой стрелки она равна
Примечание: в обоих случаях угловая скорость не зависит от радиуса окружности! Поэтому величина линейной скорости пропорциональна радиусу описываемой окружности.
Пусть теперь $\vec r_1(t)$ – закон движения бусинки, вращающийся по окружности радиуса $r_0$ по часовой стрелке, а $\vec r_2(t)$ – закон движения бусинки, вращающийся по той окружности против часовой стрелки. Модули скоростей движения у бусинки при этих движениях различаются: легко найти, что $|\vec v_1|=\omega_1r_0$, а $|\vec v_2|=\omega_2r_0$. Если записать суперпозицию этих законов движения в виде\[{\vec{r}}\left(t\right)={\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}{\vec{r}}_{1}\left(t\right)+{\frac{\omega_{1}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}{\vec{r}}_{2}\left(t\right),\]то, в соответствии с линейностью и однородностью уравнения движения (и в соответствии с содержащейся в условии «подсказкой») этот закон тоже удовлетворяют уравнению движения. Легко определить начальные условия, которым он соответствует: поскольку $\vec r_1(0)=\vec r_2(0)\equiv \vec r_0$ и при различных направлениях вращения $|\vec v_1(0)|=\omega_1r_0=\cfrac{\omega_1}{\omega_2}|\vec v_2(0)|$, то $\vec r(0)=\vec r_0$ и $\vec v(0)=0$. Следовательно, полученный закон описывает движение бусинки, запущенной без начальной скорости с расстояния $r_0$ от отверстия! Мы обнаружили, что вектор координаты такой бусинки можно в любой момент времени найти как сумму вектора ${\cfrac{\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}{\vec{r}}_{1}\left(t\right)$ с постоянной длиной ${\cfrac{\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0$, вращающегося с угловой скоростью $\omega_1$ по часовой стрелке, и вектора ${\cfrac{\omega_{1}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}{\vec{r}}_{2}\left(t\right)$ с постоянной длиной ${\cfrac{\omega_{1}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0$, вращающегося с угловой скоростью $\omega_2$ против часовой стрелки от того же начального положения (см. рисунок). Отметим, что угол между этими векторами в момент времени $t$ равен $\varphi(t)=(\omega_1+\omega_2)t$. Поэтому, по теореме косинусов, в этот момент времени расстояние от бусинки до отверстия удовлетворяет уравнению\[r^2(t)=\left({\cfrac{\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0\right)^2+\left({\cfrac{\omega_{1}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0\right)^2+2\cdot{\cfrac{\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0\cdot{\cfrac{\omega_{1}}{\omega_{1}+\omega_{2}}}r_0\cdot\cos\Big[(\omega_1+\omega_2)t\Big].\]Значит,\[r(t)=\frac{r_0}{\omega_1+\omega_2}\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2+2\omega_1\omega_2\cdot\cos\Big[(\omega_1+\omega_2)t\Big]}.\]Таким образом, циклическая частота изменения расстояния от бусинки по положения равновесия равна $\omega_1+\omega_2=2\sqrt{\omega_0^2+\Omega^2}$, причем минимальное значение
расстояние принимает в моменты времени $t_n=\cfrac{\pi}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}\left(n+\cfrac{1}{2}\right)$ (где $n = 0,1,2,\ldots$).
Отметим, что для нахождения $r_{\min}$ не обязательно исследовать закон изменения расстояния $r(t)$: достаточно понять, что расстояние от бусинки до отверстия минимально, когда вектора «составляющих» векторов нашей суперпозиции направлены противоположно. Тогда ясно, что $r_{\min}$ равно разности их модулей.
Из формулы для $r(t)$ видно, что максимальное расстояние от бусинки до отверстия равно начальному $r_{\max}=r_0$, и оно достигается в моменты времени $t'_n=\cfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2+\Omega^2}}n$ (где $n = 0,1,2,\ldots$). Как видно, впервые после отпускания это произойдет в момент времени
Как и в предыдущем пункте, можно получить этот ответ без нахождения $r(t)$ – достаточно образного представления движения. Тогда ясно, что расстояние максимально, когда вращающиеся навстречу друг другу вектора «составляющих» векторов суперпозиции встречаются, и $\tau=\cfrac{2\pi}{\omega_1+\omega_2}=\cfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2+\Omega^2}}$.
При таком соотношении параметров $\Omega^2=\omega_0^2/8$, и поэтому $\omega_1=\omega\cdot\sqrt{2}$, а $\omega_2=\omega_0/\sqrt{2}$. Значит, отношение угловых скоростей $\omega_1:\omega_2=2:1$, то есть общее движение периодическое, и траектория оказывается замкнутой. В этом случае\[\vec r_1(t)=\frac{1}{3}\vec r_1(t)+\frac{2}{3}\vec r_2(t),\]длины векторов, сумма которых дает $\vec r(t)$, равны $r_0/3$ и $2r_0/3$, а закон изменения расстояния\[r(t)=\frac{r_0}{3}\sqrt{5+4\cdot\cos\Big[3\omega_2t\Big]}.\]Ясно, что период движения – наименьшее общее кратное периодов двух составляющих движений, которое в нашем случае равно периоду меньшей частоты $\omega_2$. Поэтому впервые после отпускания бусинка окажется в исходной точке спустя время
Период изменения расстояния от отверстия\[T=\frac{2\pi}{\omega_1+\omega_2}=\frac{2\pi\sqrt2}{3\omega_0}=\frac{1}{3}T_2.\]Поэтому за один период движения бусинка трижды достигает максимального расстояния $r_0$, и трижды – минимального $r_0/3$. Таким образом, траектория за «полный оборот» вокруг оси отверстия трижды проходит от окружности с радиусом $r_0$ до окружности с радиусом $r_0/3$ и обратно, причем вблизи общих точек с большей окружностью бусинка движется по радиусу (траектория касается радиуса), в общих точках с меньшей окружностью радиальная скорость бусинки обращается в ноль при ненулевой угловой скорости – бусинка движется перпендикулярно радиусу, и ее траектория касается меньшей окружности в общих точках. По этим сведениям можно достаточно корректно изобразить вид траектории (см. рисунок).
Другой способ изучить траекторию – записать закон движения бусинки в декартовых координатах $(x,y)$. Удобно совместить начало координат с осью отверстия, а ось $x$ направить так, чтобы она проходила через начальное положение бусинки. Проецируя закон движения на эти оси, получим:\[\left\{\begin{array}l x(t)=\frac{r_0}3\Big[2\cos(\omega_2t)+\cos(2\omega_2t)\Big]\\y(t)=\frac{r_0}3\Big[2\sin(\omega_2t)-\sin(2\omega_2t)\Big]\end{array}\right.\]Тогда можно построить траекторию «по точкам», выбрав несколько характерных значений $\omega_2t$. Впрочем, и в этом случае удобно в первую очередь построить положение точек, отвечающих моментам, когда бусинка находится на максимальном и минимальном расстояниях от отверстия, то есть $\omega_2t=0,\cfrac{\pi}3,\cfrac{2\pi}3,\pi,\cfrac{4\pi}3,\cfrac{5\pi}3$.
