A1  ^1.50 Измерьте напряжение между винтами струбцин $U^*$, прикладывая контакты мультиметра непосредственно к винтам. Найдите две точки фольги с максимальным напряжением между ними. Отметьте эти точки на схематичном рисунке. Измерьте напряжение $U_0$ между этими точками. Совпадают ли величины $U^*$ и $U_0$? Если нет, то почему? Рассчитайте отношение $R_0={U_0}/{I_0}$.

A2  ^1.00 Введем систему координат как показано на рисунке 1. Начало координат поместите в одну из точек, между которыми измерялось $U_0$. Будем указывать координаты точек в формате $(x,y)$, где $x$ и $y$ указаны в см. Измерьте напряжения $U_i$ между парами точек $(\Delta x \cdot (i-1),0)$ и $(\Delta x \cdot i,0)$ в диапазоне $i$ от 1 до 10 для $\Delta x = 3 \; см$.

Проведем измерения величин $U_i$, занесем данные в таблицу.

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$U_i,~мВ$	$6.2$	$3.9$	$2.6$	$1.7$	$1.2$	$0.8$	$0.6$	$0.4$	$0.3$	$0.2$
$U_i/U_{i-1}$	$0$	$0.63$	$0.67$	$0.65$	$0.71$	$0.67$	$0.75$	$0.67$	$0.75$	$0.67$
$\ln(U_i/мВ)$	$1.82$	$1.36$	$0.96$	$0.53$	$0.18$	$-0.22$	$-0.51$	$-0.92$	$-1.20$	$-1.61$
$\sigma_{\ln(U_i/мВ)}$	$0.02$	$0.03$	$0.04$	$0.06$	$0.08$	$0.13$	$0.17$	$0.25$	$0.33$	$0.50$

A3  ^1.00 Докажите, что измеренные напряжения $U_i$ соответствуют предложенной модели.

Для оценки состоятельности модели проверим, будет ли постоянным отношение ${\alpha_i=U_i/U_{i-1}}$, поскольку именно так себя ведет напряжения на резисторах $R_1$ в бесконечной цепочке. Это можно сделать напрямую, но поскольку точность полученных данных невысока, то лучше построить график $\ln{(U_i)}(i)$. Действительно, если считать, что $\alpha_i=\alpha$ постоянно, то для напряжения с индексом $i$ можно записать: \begin{equation} U_i=U_1\alpha^i. \end{equation} Прологарифмировав это выражение получим: \begin{equation} \ln{(U_i)}=\ln{(U_1)}+i\ln{\alpha}. \end{equation} То есть, если предложенный график линейный, то модель выполняется. Рассчитаем величины $\ln({U_i})$. Погрешность величин оценим как относительную погрешность $U_i$. Построим график $\ln{(U_i)}(i)$.

Видно, что точки хорошо ложатся на прямую с угловым коэффициентом \begin{equation} k=\ln{(\alpha)}=(-0.37\pm0.06). \end{equation} Откуда для величины отношения напряжений имеем \begin{equation} \alpha=e^k=(0.69\pm0.04). \end{equation} Относительная погрешность $\alpha$ равна абсолютной погрешности углового коэффициента графика.

A4  ^1.40 Рассчитайте модельные сопротивления $R_1$ и $R_2$.

Свяжем величину $\alpha$ с модельными сопротивлениями $R_1 \ и \ R_2$. Пусть на одном из резисторов $R_1$ напряжение равно $U$, тогда на его соседе справа напряжение будет равно $\alpha U$, а на соседе через одного $\alpha^2 U$ (рисунок 7).

Рассмотрим контур, обозначенный на рисунке буквой «A». Найдем токи на соседствующих с рассматриваемыми резисторами $R_1$ резисторах $R_2$. На основе закона Кирхгофа для суммы токов в узловых точках получим, что токи на левом и правом резисторах $R_2$: \begin{equation} I_2=\frac{U}{R_1}-\frac{\alpha U}{R_1},\qquad I'_2=\frac{\alpha U}{R_1}-\frac{\alpha^2 U}{R_1} \end{equation} Тогда для напряжения на этих резисторах имеем: \begin{equation} U_2=U(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1},\qquad U'_2=U\alpha(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1} \end{equation} Запишем равенство нулю суммарного падения напряжений в контуре, обозначенном на рисунке буквой «A». \begin{equation} U(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}=U\alpha(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}+2\alpha U. \end{equation} Откуда легко получить связь между отношением сопротивлений и величиной $\alpha$: \begin{equation} p=\frac{R_1}{R_2}=\frac{(1-\alpha)^2}{2\alpha}=(7\pm2) \cdot 10^{-2}. \end{equation} Погрешность определения этого параметра оценим методом границ. Видно, что относительная погрешность крайне большая.

Для поиска самих величин модельных сопротивлений необходимо еще одно уравнение, связывающее сопротивление фольги с модельными сопротивлениями. То есть необходимо провести вычисление сопротивления бесконечной цепи. Составим для этого уравнение, отражающее тот факт, что при удалении одного звена из цепи ее сопротивление не меняется:\begin{equation}
R_0=\frac{(R_0+2R_1)R_2}{R_0+2R_1+R_2}=\frac{(R_0+2pR_2)R_2}{R_0+2pR_2+R_2}.
\end{equation}Приведем уравнение к виду квадратного:\begin{equation}
2pR^2_2-2pR_2R_0-R^2_0=0.
\end{equation}Найдем его решение, выбрав только положительный корень:

Погрешность нахождения $R_2$ оценим методом границ, основной вклад в нее внесет неточность определения параметра $p$.

Оценим величину $R_1$:

A5  ^1.40 Для малых $\Delta x$ ($\Delta x \ll 3 \ см$) можно сделать предположение, что сопротивление $R_1=A\Delta x$, а сопротивление $R_2=B/\Delta x$. Рассчитайте модельные сопротивления $R'_1$ и $R'_2$ для $\Delta x ' = 0.1 \ см$. Определите величины $A \ и \ B$.

Для расстояний в $0.1~см$ между исследуемыми точками экспериментально получить отношение напряжений невозможно, однако эту величину несложно вычислить на основе уже полученных данных. Если на расстоянии в $3~см$ напряжение падает в $\alpha$, то так как на $3~см$ укладывается 30 расстояний по $0.1~ см$, то напряжение на этом расстоянии будет уменьшаться в: \begin{equation} \alpha'=\alpha^{1/30} = (0.9877\pm0.0019). \end{equation} Для расчета погрешности $\alpha'$, поделим относительную погрешность $\alpha$ на 30.

Рассчитаем величину отношения сопротивлений в этом случае $p'=(7.7\pm2.2)\cdot10^{-5}$. Погрешность вычислим в соответствии с формулой:\begin{equation}
\sigma_{p'}=p'\frac{\sigma_{\alpha'}}{1-\alpha'}.
\end{equation}Вычислим значения модельных сопротивлений:

Тогда для искомых констант:

A6  ^1.50 Измерьте зависимость напряжения $U_{9y}$ между точками $(9,0)$ и $(9,y)$ от координаты $y$. Измерьте зависимость напряжения $U_{12y}$ между точками $(12,0)$ и $(12,y)$ от координаты $y$. Нанесите обе измеренные зависимости на один график.

Проведем измерения $U_{9y}$ и $U_{12y}$. Занесем данные в таблицу и построим графики зависимостей $U_{9y} (y)$ и $U_{12y} (y)$.

A7  ^0.50 Можно ли считать измеренные зависимости линейными? Если нет, то можно ли считать с учетом точности эксперимента, что зависимости имеют одинаковый профиль? (все измеренные точки одной зависимости можно получить умножением всех точек другой зависимости на некоторую одинаковую для всех точек константу).

B1  ^1.70 Измерьте поверхностное сопротивление выданной вам фольги.