A1  ^?? Измерьте длину проволоки $l$, которая будет испытывать кручение. Измерьте зависимость показаний весов от угла $\varphi$ поворота резервуарной части шприца (угла закручивания проволоки), сначала монотонно увеличивая угол закручивания, а после монотонно его уменьшая. Проведите измерения до угла закручивания не меньшего чем $l \cdot 20 \; ^\circ/\text{см}$.

Обратите внимание, что весы в вертикальном положении могут «залипать» в положении нуля. Следует проводить измерения так, чтобы при определенном угле закручивания проволоки определять изменение показаний весов при оттягивании конца линейки от измерительной платформы весов.

Проведем измерения показаний весов $m^*$ от угла кручения проволоки. Длина проволоки при этом составит:

A2  ^?? Рассчитайте момент сил кручения, действующих на проволоку, для каждого угла $\varphi$. Постройте график зависимости $M({\varphi}/{l})$ момента сил кручения от угла поворота единицы длины проволоки.

Момент сил кручения складывается из действия на линейку весов и шприца. Так как шприц и весы располагаются на концах линейки, то силы, которые они оказывают на проволоку равны. Рассчитаем момент сил кручения как: \begin{equation} M=2m^*g\frac{L}{2}=m^*gL, \end{equation}где $L=(16.0\pm0.1)~см$. Погрешность измерения показаний весов оценим как $0.03~г$, погрешность определения угла примем равной $5^\circ$. Погрешность измерения момента силы будем рассчитывать на основе относительной погрешности измерения массы, так как относительная погрешность измерения длины линейки пренебрежимо мала.

Построим график исследованной зависимости.

A3  ^?? В каком диапазоне углов поворота единицы длины проволоки выполняется закон, выражаемый формулой $(1)$? Рассчитайте величину $\gamma_{{ст}}$, модуля кручения единицы длины проволоки. Индекс «ст» означает, что измерения проведены статическим методом. Рассчитайте величину момента кручения $M_{{пласт}}$, отвечающего началу пластической деформации проволоки.

Видно, что график хорошо описывается линейно функцией вплоть до значений момента закручивающих сил

Начиная приблизительно с этого момента сил проволока деформируется пластически. Линейное приближение, описываемое формулой $(1)$ выполняется в диапазоне ${\varphi}/{l} \in [0;11] ~^\circ/\text{см}$. При величинах моментов сил ниже критического деформации можно считать упругими - график хорошо описывается линейно функцией. Угловой коэффициент линейной части графика равен $\alpha=(1.01\pm 0.05) \cdot10^{-6} ~{\text{H}\cdot\text{м}^2}/{\,^\circ}$.

Рассчитаем на основе величины углового коэффициента графика модуль кручения единицы длин проволоки.

B1  ^?? Измерьте зависимость периода крутильных колебаний линейки от длины проволоки $l$.

Измерим зависимость периода колебаний линейки от длины подвеса. Измерения длины подвеса всегда будем проводить между фиксированными точками. Для повышения точности следует засекать период не одного, а нескольких колебаний $N$.

B2  ^?? Опишите полученную зависимость теоретически. При выводах можете воспользоваться фактом, что кинетическая энергия вращательного движения линейки $W_{к}$ в таких колебаниях может быть записана как:
\begin{equation}
W_{к}=\frac{mL^2}{12}\frac{\omega^2}{2},
\end{equation}где $m$ — масса линейки, $L$ — ее длина, $\omega$ — угловая скорость вращения.

Для получения теоретического выражения для периода колебаний запишем энергию колебательного процесса в некоторый момент времени:
\begin{equation}
W=w_{упр}+T= \frac{\gamma \varphi^2}{2(l+l_0)}+\frac{mL^2}{12}\frac{\dot{\varphi}^2}{2},
\end{equation}где $l_0$ — некоторая эффективная длина участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении $l$. Из вида полученной функции энергии получаем выражение для периода колебаний:

B3  ^?? Выберите координаты, в которых зависимость периода колебаний линейки от длины подвеса будет линейной, обоснуйте свой выбор. Дайте физическую интерпретацию возможному смещению графика относительно начала координат. Постройте график в предложенных вами координатах. Определите $\gamma_{{к}}$.

Возведем выражение в квадрат:
\begin{equation}
T^2=\pi^2\frac{mL^2(l+l_0)}{3\gamma}.
\end{equation}

Видно, что в координатах $T^2(l)$ зависимость является линейной функцией. Величина $l_0$ характеризует смещение графика относительно точки с координатами $(0,0)$. Возведем измеренные значения периодов колебаний в квадрат и построим график исследованной зависимости. По оси длины погрешность не превышает $2 ~мм$. Погрешность измерения времени $t$ оценим в $0.3~ с$ (характерное время реакции человека). Тогда погрешность квадрата наибольшего из измеренных периодов составит:
\begin{equation}
\sigma_{T^2}=2T\sigma_T=2\,\frac{t}{N}\frac{\sigma_t}{N}=2\frac{0.3\cdot23.2}{10^2}=0.14 \ \text{c}^2.
\end{equation}Угловой коэффициент графика составляет $\beta=(11.8\pm0.5) ~{\text{c}^2}/{\text{м}}$. С учетом массы линейки $m=(5.23\pm0.03)~ г$ рассчитаем модуль кручения единицы длины проволоки:

Погрешность оценим сложив относительные погрешности массы линейки, ее длины и величины углового коэффициента графика.

C1  ^?? Кратко объясните расхождения между величинами $\gamma_{{ст}}$ и $\gamma_{{к}}$. Какое из этих значений ближе к истинному?

Измерения, проведенные статическим способом, не позволяют определить $\gamma$ с хорошей точностью. Одна из причин состоит в том, что в кручении участвует не только проволока подвеса, но и часть проволоки, которой прикреплена линейка. Колебательный метод учитывает $l_0$ — некоторую эффективную длину участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении $l$, поэтому модуль кручения единицы длины проволоки, определенный колебательным методом $\gamma_к$ ближе к истинному и для дальнейших расчетов нужно использовать его.

C2  ^?? Известно, что модуль кручения единицы длины $\gamma$ проволоки выражается через модуль сдвига $G$ материала, из которого она изготовлена, следующим образом:
\begin{equation}
\gamma= \dfrac{\pi G d^4}{32},
\end{equation}где $d$ — диаметр проволоки (указан в оборудовании). Рассчитайте модуль сдвига меди.

Рассчитаем, чему равняется модуль сдвига меди:

D1  ^?? Пластичность медной проволоки позволяет навить из нее пружину. Изготовьте из проволоки несколько пружин разных диаметров. Пружины должны содержать не менее 15 витков. Измерьте жесткость одного витка $k$ изготовленных вами пружин.

Навьем из проволоки пружинки разных диаметров $D$. Обозначим количество витков в них за $Q$. Для измерения жесткости соберем установку, изображенную на рисунке 1.

Поставим весы под лапку штатива, положим на весы грузик. Запишем показания весов. Прикрепим к ушку грузика один конец пружины, растянем пружину и закрепим второй ее конец на лапке штатива (для этого удобно воспользоваться зажимающим винтом лапки). Измерим показания весов $m^*$ и длину пружины в растянутом положении $h$. Открепим конец пружины от грузика и измерим длину пружины в нерастянутом положении $h_0$ и показания весов в этом случае $m_0^*$. Необходимо при этом следить, чтобы пружина испытывала упругие деформации. Занесем данные в таблицу и рассчитаем жесткости витков пружин по формуле:
\begin{equation}
k=Q\frac{(m^*_0 - m^*)g}{h-h_0}.
\end{equation}Погрешность измерения коэффициентов жесткости рассчитаем через сложение относительных погрешностей изменения показаний весов $\sigma_{m_0^*}=\sigma_{m^*}=0.01\; г$, изменения длины пружины и количества витков в ней:
\begin{equation}
\sigma_k=k\cdot\Big(\dfrac{2\sigma_{m^*}}{m_0^*-m^*}+\frac{2\sigma_h}{h-h_0}+\frac{\sigma_Q}{Q}\Big),
\end{equation}где $\sigma_h = 1~мм$, $\sigma_Q = 0.5$. Погрешность измерения диаметра витков примем равной $\sigma_D=1~мм$.

D2  ^?? Зависимость жесткости $k$ одного витка пружины от его диаметра $D$ и модуля кручения единицы длины проволоки $\gamma$, из которой изготовлена пружина, можно описать степенной функцией:
\begin{equation}
k = A \gamma^j D^i,
\end{equation}где $i$ и $j$ — целые числа, а $A$ — некоторая константа. По полученным экспериментальным данным определите степень $i$.

Для определения степени $i$ рассчитаем логарифмы диаметров и коэффициентов жесткости пружин. Погрешности логарифмов величин равны относительным погрешностям самих величин.

$\ln(k\cdotм/Н)$	$3.30$	$3.00$	$2.77$	$2.56$	$1.95$
$\ln(D/мм)$	$0.92$	$1.75$	$2.38$	$3.04$	$4.76$
$\sigma_{\ln(k\cdotм/Н)}$	$0.03$	$0.01$	$0.01$	$0.00$	$0.00$
$\sigma_{\ln(D/мм)}$	$0.04$	$0.05$	$0.06$	$0.08$	$0.14$

Построим график зависимости $\ln{k}$ от $\ln{D}$.

Видно, что экспериментальные точки хорошо описываются линейной зависимостью с угловым коэффициентом $(-2.9\pm0.2)$. В данный диапазон попадает лишь одно целое число, значит степень зависимости

D3  ^?? Проволока, из которой навита пружина, испытывает деформацию кручения. Получите теоретически рассчитанные величины $i$, $j$ и $A$.

Получим теоретическую связь между модулем кручения единицы длины проволоки и жесткостью одного витка пружины из этой проволоки. Пусть на виток действует сила $F$, из-за чего он растянулся на величину $h$. Разобьем один виток проволоки на кусочки длиной $\mathrm dz$. Каждый из кусочков будет поворачиваться на некоторый угол $\mathrm d\varphi$. Этот угол будет связан с вкладом этого кусочка в общую деформацию витка через диаметр витка:
\begin{equation}
\mathrm dh=\mathrm d\varphi \cdot\frac{D}{2}.
\end{equation}С другой стороны на каждый виток действует скручивающий момент силы:
\begin{equation}
M=F\,\frac{D}{2}.
\end{equation}Из закона Гука для кручения кусочка получаем:
\begin{equation}
\varphi=\frac{M~\mathrm dz}{\gamma}=\frac{FD~\mathrm dz}{2\gamma}.
\end{equation}Таким образом вклад малого кусочка в общее удлинение витка связан с длиной кусочка прямо пропорционально:
\begin{equation}
\mathrm dh=F\,\frac{D^2}{4\gamma}~\mathrm dz.
\end{equation}Откуда, с учетом длины витка $z=\pi D$, получаем для полного растяжения витка:
\begin{equation}
h=\pi F\,\frac{D^3}{4\gamma}.
\end{equation}Тогда коэффициент жесткости одного витка можно вычислить как:
\begin{equation}
k=\frac{F}{h}=\frac{4\gamma}{\pi D^3}.
\end{equation}Иным словами:

То есть, теоретическая степень зависимости жесткости одного витка его диаметра совпадает с полученным ранее экспериментальным значением.

D4  ^?? По данным зависимости $k(D)$, измеренной в пункте D1, постройте график в координатах $k^{1/i}(D)$. По угловому коэффициенту графика и значению $\gamma$, выбранному вами в пункте C1, определите значение константы $A_{эксп}$. Совпадает ли определенная вами величина с ее теоретическим значением?

Построим график зависимости жесткости одного витка пружины от диаметра витка в линейных координатах.

Пересчитаем данные в таблице и построим по ним требуемый график. Относительную погрешность степенной функции от $k$ найдем умножив относительную погрешность $k$ на показатель степени. \begin{equation} \sigma_{k^{-1/3}}=\dfrac{1}{3}k^{-1/3}\frac{\sigma_k}{k}. \end{equation}

$D,~мм$	$27.00$	$20.00$	$16.00$	$13.00$	$7.00$
$k^{-1/3},~(мм/Н)^{1/3}$	$0.73$	$0.56$	$0.45$	$0.36$	$0.20$
$\sigma_D,~мм$	$1.00$	$1.00$	$1.00$	$1.00$	$1.00$
$\sigma_{k^{-1/3}},~(мм/Н)^{1/3}$	$0.007$	$0.001$	$0.001$	$0.000$	$0.000$

Угловой коэффициент графика составляет $\kappa=(0.027\pm0.003)~  \left[\dfrac{1}{мм^2 \cdot Н}\right]^{1/3} $.

Вычислим экспериментальное значение константы  $A$, используя значение модуля кручения единицы длины проволоки, полученное колебательным способом $\gamma_к$:

Теоретическое значение $A_{теор}=\frac{4}{\pi}=1.27$ совпадает с полученным экспериментально с учетом погрешности.

D5  ^?? Для пружины диаметром $D \approx 20\ мм$, состоящей из 15 витков, измерьте зависимость удлинения пружины $\Delta x$ от растягивающей ее силы $F$. Сначала монотонно увеличивайте силу до значения $F_{1\max} = 55\; \text{мН}$, а затем монотонно уменьшайте до нулевого значения. Проведите измерения повторно, используя ту же пружину, растягивая ее в диапазоне сил от $0$ до $F_{2\max} = 70 \; \text{мН}$. Нанесите экспериментальные данные зависимости $F(\Delta x)$ на график.

Для измерения зависимости $F(\Delta x)$ воспользуемся установкой, изображенной на рис. 1. Соберем установку таким образом, чтобы недеформированной пружине соответствовало нулевое показание весов $m^*_0=0 \;г$. Будем монотонно удлинять пружину и следить за показаниями весов. Дойдя до значения $F_{\max_1}$, которое соответствует показанию весов $m^*_{\max_1}=m^*_0-{F_{\max_1}}/{g}= - 5.6 \;г$, начнем монотонно уменьшать длину пружины, вплоть до нулевого значения силы. Повторим измерения, монотонно дойдя до силы $F_{\max_2}$, которое соответствует показанию весов $m^*_{\max_2}=m^*_0-{F_{\max_2}}/{g}= - 7.1\; г$. Измерения занесем в таблицу. По данным таблицы построим график $F(\Delta x)$.

D6  ^?? Опишите отличия поведения проволоки при её деформации в областях пластичности по данным измерений пунктов A1 и D5.

При наблюдении пластических деформаций проволоки в пункте A1, силовая характеристика (крутящий момент) оставался постоянным при увеличении деформации в области пластичности. Наблюдение пластической деформации в пружине показывает, что силовая характеристика (сила упругости) растет с увеличением деформации как в области упругости, так и в области пластических деформаций пружины.