Измерение магнитных моментов электрона и мюона — одно из самых точных в современной физике. Оно позволяет с очень большой точностью проверить предсказания современной теории элементарных частиц. В рассматриваемом эксперименте используются положительно заряженные мюоны, которые также называются антимюонами. Масса антимюона примерно в 200 раз больше массы электрона, а заряд равен модулю заряда электрона. Далее для краткости будем называть положительные мюоны просто мюонами, везде в задаче рассматривается случай положительного заряда.

У мюона (как и у электрона) есть момент импульса $\vec{s}$, который не связан с его пространственным движением. Этот момент импульса называется спином мюона. Для спина справедливо уравнение моментов: производная спина равна приложенному к нему моменту сил. Кроме этого, мюон обладает магнитным моментом
$$
\vec{\mu} = g_\mu \frac{q}{2m_\mu} \vec{s}.
$$
Здесь $m_\mu$ и $q$ — масса и заряд мюона, а безразмерная постоянная $g_\mu = 2 (1 + a_\mu)$. Величина $a_\mu$ параметризует малые отклонения магнитного момента от «нормального» значения (которому отвечает $g_\mu = 2$). В этой задаче будет обсуждаться эксперимент, позволяющий определить аномальную составляющую магнитного момента мюона $a_\mu$. Мюоны движутся по окружности в однородном магнитном поле, измеряется частота прецессии его магнитного момента.

В физике частиц энергии как правило измеряются в электронвольтах (эВ),  а вместо массы частиц $m$ используют значение энергии покоя $mc^2$, которое также измеряется в электронвольтах.

При решении задачи вам могут потребоваться следующие данные:

• $1 ~\text{эВ} = 1.602\cdot 10^{-19} ~\text{Дж}$
• Скорость света в вакууме $c = 2.998\cdot 10^{8} ~\text{м}/\text{с}$
• Масса мюона $m_\mu  c^2 = 105.7~\text{МэВ}$
• Заряд антимюона $q = 1.602 \cdot 10^{-19} ~\text{Кл}$
• Мюон — нестабильная частица, его время жизни в системе отсчета, где он покоится —  $\tau = 2.197\cdot 10^{-6}~\text{с}$

Для описания вращений используется вектор угловой скорости $\vec{\omega}$, который направлен вдоль оси вращения, причем направление вращения согласуется с направлением $\vec{\omega}$ по правилу винта. Если некоторый вектор $\vec{A}$ вращается относительно лабораторной системы отсчета с угловой скоростью $\vec{\omega}$, его производная по времени задается выражением
$$
\frac{d\vec{A}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{A}.
$$

Пусть система отсчета $B$ (координаты и время $x', y',z', t'$) движется относительно лабораторной системы отсчета $A$ (координаты и время в этой системе отсчета $x, y, z, t$) со скоростью $V$ вдоль оси $x$. Тогда координаты в этих системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца
$$
x = \gamma \left(x' +V t'\right), \quad
t = \gamma \left(t' + \frac{V}{c^2} x'\right),
\quad y = y', \quad z = z', \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- V^2/c^2}}.
$$
При записи всех ответов для упрощения формул вы можете использовать определенное выше обозначение $\gamma$.

Если некоторая частица движется относительно системы отсчета $B$ со скоростью $\vec{v}'$, проекции которой на координатные оси равны $v_x', v_y', v_z'$, то проекции ее скорости относительно лабораторной системы отсчета имеют вид
$$
v_x = \frac{v_x' + V}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}, \quad v_y = \frac{v_y' \sqrt{1 - V^2/c^2}}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}, \quad \quad v_z = \frac{v_z' \sqrt{1 - V^2/c^2}}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}.
$$

Энергия и импульс релятивистской частицы массы $m$, движущейся со скоростью $\vec{v}$, имеют вид
$$
E = \gamma m c^2, \quad \vec{p} = \gamma m \vec{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
$$
Если на частицу действует сила $\vec{F}$, уравнение движения имеет вид
$$
\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} .
$$

В вопросах, в которых требуется найти численное значение, получите его с тремя значащими цифрами.

Часть A. Динамика в магнитном поле (4.5 балла)

В эксперименте по измерению аномального магнитного момента пучок мюонов движется в однородном магнитном поле $B = 1.450~\text{Тл}$, импульсы мюонов перпендикулярны магнитному полю и равны $p c = 3.094~\text{ГэВ}$. Далее везде будем считать, что магнитное поле направлено вдоль оси $z$.

A1  ^1.00 Для мюона из пучка найдите отличие скорости движения от скорости света $\Delta v = c - v$ (формулу и численное значение).

A2  ^0.50 Для мюона из пучка найдите кинетическую энергию $E_k$, то есть полную энергию минус энергию покоя (формулу и численное значение в ГэВ).

A3  ^1.00 Найдите радиус орбиты мюона $R$ и период его обращения $T$. (Формулы и численные значения.)

A4  ^0.80 Из-за нестабильности мюон может двигаться по окружности только ограниченное время. Найдите число оборотов $N$, которое он совершит до распада.

Пусть теперь мюон покоится в магнитном поле той же величины $B$, что и в предыдущих частях.

A5  ^0.70 Запишите выражение для скорости изменения вектора спина мюона $d\vec{s}/dt$, выразите ответ через вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$, $\vec{s}$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные.

A6  ^0.50 Найдите проекцию на ось $z$ угловой скорости прецессии спина мюона в магнитном поле $\omega_z$. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные.

Часть B. Прецессия Томаса (3.5 балла)

Спин мюона не связан с его пространственным движением, поэтому его нужно описывать в системе отсчета, в которой мюон в данный момент времени неподвижен (она называется сопутствующей). Если мюон движется с ускорением, в каждый момент времени нужно выбирать свою сопутствующую систему отсчета. Оказывается, что если последовательно перейти из лабораторной системы отсчета $A$ (координаты $x, y, t$) в подвижную $B$ (координаты $x', y', t'$), а из нее в следующую $C$ (координаты $x'', y'', t''$), то результирующее преобразование не будет сводиться к движению со скоростью, полученной по формуле сложения скоростей. Преобразование будет также содержать дополнительный поворот, что приведет к дополнительной прецессии спина. Это явление называется прецессией Томаса. Прецессия Томаса — чисто кинематическое явление, поэтому для его описания нам не нужно рассматривать динамику магнитного момента.

Пусть система $B$ движется со скоростью $v_x$, направленной вдоль оси $x$, относительно $A$. В свою очередь система $C$ движется со скоростью $v_y'$ (направленной вдоль оси $y$) относительно $B$. Далее можно везде считать, что $v_y' \ll v_x$ и оставлять только линейные по $v_y'$ слагаемые. Для упрощения записи ответов используйте величину $\gamma = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$.

B1  ^0.50 Найдите проекции скорости $\vec{v}_C$ системы $C$ относительно лабораторной системы отсчета $A$. Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$.

B2  ^0.70 Найдите проекции $\vec{v}_A''$ системы отсчета $A$ относительно системы отсчета $C$ на оси $x'', y''$. При вычислениях учитывайте малость $v_y''$.

B3  ^0.60 Оказывается, что $\vec{v}_A'' \neq - \vec{v}_C$. Это связано с тем, что оси подвижной системы координат повернуты относительно осей лабораторной системы координат. Поэтому все вектора, связанные с системой отсчета $C$ также повернуты относительно системы отсчета $A$. Найдите угол поворота $\Delta \theta$, определяемый как угол между векторами $- \vec{v}_A''$ и $\vec{v}_C$. Этот угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму производится в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси $z$. (Оси $x,y,z$ образуют правую тройку.) Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$, $\gamma = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$, $c$.

B4  ^1.00 Пусть относительно лабораторной системы отсчета $A$ со скоростью $\vec{v}$, направленной вдоль оси $x$ движется частица. Ускорение частицы в рассматриваемый момент направлено вдоль оси $y$, его проекция равна $a_y$. Система отсчета $B$ — сопутствующая для частицы в данный момент времени, то есть в ней скорость частицы равна нулю и поэтому $B$ движется со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Через время $dt$ по часам лабораторной системы отсчета скорость частицы будет равна $\vec{v} + d\vec{v}$, а соответствующей сопутствующей системой отсчета будет $C$. Из предыдущего пункта следует, что при ускоренном движении оси сопутствующей системы координат будут вращаться. Используя результаты предыдущего пункта, получите проекцию угловую скорости вращения сопутствующей системы отсчета $\omega_T$ (угловая скорость Томасовской прецессии) на ось $z$ (в рассматриваемом случае вращение все время происходит вдоль оси $z$). Выразите ответ через $v_x$, $a_y$, $\gamma$.

B5  ^0.70 Пусть мюон движется в однородном магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$, скорость мюона перпендикулярна магнитному полю. Найдите проекцию угловой скорости Томасовской прецессии на ось $z$. Выразите ответ через $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

Часть C. Прецессия магнитного момента (2 балла)

Вернемся к задаче о мюоне, движущемся в однородном магнитном поле. Прецессия его спина связана с двумя факторами: непосредственное воздействие магнитного поля и прецессия Томаса за счет ускоренного движения мюона. Оказывается, что при вычислении угловой скорости прецессии за счет магнитного поля можно использовать ответ, полученный в пункте A6 для случая неподвижного мюона в магнитном поле. Далее везде будем считать, что спин мюона параллелен плоскости движения мюона.

С1  ^0.70 Запишите выражение для проекции на ось $z$ угловой скорости $\omega_s$ прецессии спина мюона относительно лабораторной системы отсчета. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

С2  ^0.50 На практике удобнее рассматривать поворот спина относительно направления импульса мюона. Запишите выражение для угловой скорости $\omega_a$ вращения спина мюона относительно направления его импульса (то есть для производной по времени угла между импульсом и спином). Выразите ответ через $B$, $a_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

С3  ^0.80 Экспериментальное значение частоты прецессии магнитного момента относительно импульса мюона составляет $f_a = 229 081~\text{Гц}$. Получите формулу для аномального магнитного момента мюона $a_\mu$. Выразите ответ через $f_a$, $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. Найдите численное значение $a_\mu$.