A1  ^1.00 Для мюона из пучка найдите отличие скорости движения от скорости света $\Delta v = c - v$ (формулу и численное значение).

A1. 1 Использованы соотношения, связывающие энергию и импульс или выражающие скорость через энергию и импульс (засчитывается автоматически, если есть ответ для скорости) $$ E = \sqrt{p^2 c^2 + m_\mu^2 c^4}, \quad v = \frac{c^2 p}{E} $$	0.30
A1. 2 Скорость выражена через импульс $$ v = \frac{c p}{\sqrt{p^2 + m_\mu^2 c^2}} $$	0.30
A1. 3 Ответ (формула) $$ \Delta v = c\left( 1 - \frac{p}{\sqrt{p^2 + m_\mu^2 c^2}}\right) \approx \frac{1}{2} c \left( \frac{m_\mu c}{p}\right)^2 $$	0.30
A1. 4 Ответ (численное значение) $$ \Delta v \approx 1.75 \cdot 10^5~\text{м}/\text{с} $$	0.10

A2  ^0.50 Для мюона из пучка найдите кинетическую энергию $E_k$, то есть полную энергию минус энергию покоя (формулу и численное значение в ГэВ).

A2. 1 Энергия выражена через импульс $$ E = \sqrt{p^2 c^2 + m_\mu^2 c^4} $$	0.20
A2. 2 Ответ (формула) $$ E_k = \sqrt{p^2 c^2 + m_\mu^2 c^4} - m_\mu c^2 $$	0.20
A2. 3 Ответ (численное значение) $$ E_k \approx 2.99~\text{ГэВ} $$	0.10

A3  ^1.00 Найдите радиус орбиты мюона $R$ и период его обращения $T$. (Формулы и численные значения.)

A3. 1 Записано уравнение движения $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B} = \frac{q}{\gamma m_\mu} \vec{p} \times \vec{B} $$	0.30
A3. 2 Период (формула, ответ также может быть выражен через импульс или энергию мюона) $$T = \dfrac{2 \pi m_\mu \gamma}{q B}$$	0.30
A3. 3 Период (численное значение) $$T = 1.49 \cdot 10^{-7}~\text{с}$$	0.10
A3. 4 Радиус (формула, ответ может быть также выражен через скорость или энергию мюона и его массу) $$R = p/qB$$	0.20
A3. 5 Радиус (численное значение) $$R = 7.12 ~\text{м}$$	0.10

A4  ^0.80 Из-за нестабильности мюон может двигаться по окружности только ограниченное время. Найдите число оборотов $N$, которое он совершит до распада.

A4. 1 Учтено релятивистское замедление времени $$t = \gamma \tau$$	0.40
A4. 2 Число оборотов выражено через время жизни и период (или эквивалентная формула) $$N = t/T$$	0.20
A4. 3 Ответ $$N =431$$	0.20

A5  ^0.70 Запишите выражение для скорости изменения вектора спина мюона $d\vec{s}/dt$, выразите ответ через вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$, $\vec{s}$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные.

A5. 1 Записан момент сил, действующих на магнитный диполь $$ \vec{M} = \vec{\mu} \times \vec{B} $$	0.20
A5. 2 Записано уравнение моментов $$ \frac{d\vec{s}}{dt} = \vec{M} $$	0.20
A5. 3 Окончательный ответ (магнитный момент должен быть выражен через спин) $$ \frac{d\vec{s}}{dt} = - g_\mu \frac{q \vec{B}}{2 m_\mu} \times \vec{s} $$	0.30

A6  ^0.50 Найдите проекцию на ось $z$ угловой скорости прецессии спина мюона в магнитном поле $\omega_z$. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные.

A6. 1 В любом виде получена угловая скорость $$ \vec{\omega} = - g_\mu \frac{q \vec{B}}{2 m_\mu} $$	0.20
A6. 2 Ответ для модуля проекции $$ \omega_z = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu} $$	0.20
A6. 3 Правильный знак	0.10

B1  ^0.50 Найдите проекции скорости $\vec{v}_C$ системы $C$ относительно лабораторной системы отсчета $A$. Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$.

B1. 1 $$v_{Cx} = v_x$$	0.20
B1. 2 $$ \quad v_{C y} = v_{y}' \sqrt{1 - v_x^2/c^2} = v_{y}'/\gamma $$	0.30

B2  ^0.70 Найдите проекции $\vec{v}_A''$ системы отсчета $A$ относительно системы отсчета $C$ на оси $x'', y''$. При вычислениях учитывайте малость $v_y''$.

B2. 1 Указано или используется, что скорость системы $B$ относительно $C$ равна $- v_y'$, скорость $A$ относительно $B$ равна $-v_x$	0.20
B2. 2 $$ v_{Ax}'' = - v_x $$	0.30
B2. 3 $$ v_{Ay}'' = - v_y' $$	0.20

B3  ^0.60 Оказывается, что $\vec{v}_A'' \neq - \vec{v}_C$. Это связано с тем, что оси подвижной системы координат повернуты относительно осей лабораторной системы координат. Поэтому все вектора, связанные с системой отсчета $C$ также повернуты относительно системы отсчета $A$. Найдите угол поворота $\Delta \theta$, определяемый как угол между векторами $- \vec{v}_A''$ и $\vec{v}_C$. Этот угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму производится в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси $z$. (Оси $x,y,z$ образуют правую тройку.) Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$, $\gamma = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$, $c$.

B3. 1 Корректный метод определения угла (векторное произведение, теоремы синусов или косинусов для треугольников скоростей)	0.20
B3. 2 Правильный модуль угла поворота $$ \Delta \theta = - \frac{v_y'}{v_x} \left( 1 - \frac{1}{\gamma}\right) $$	0.30
B3. 3 Верный знак	0.10

B4  ^1.00 Пусть относительно лабораторной системы отсчета $A$ со скоростью $\vec{v}$, направленной вдоль оси $x$ движется частица. Ускорение частицы в рассматриваемый момент направлено вдоль оси $y$, его проекция равна $a_y$. Система отсчета $B$ — сопутствующая для частицы в данный момент времени, то есть в ней скорость частицы равна нулю и поэтому $B$ движется со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Через время $dt$ по часам лабораторной системы отсчета скорость частицы будет равна $\vec{v} + d\vec{v}$, а соответствующей сопутствующей системой отсчета будет $C$. Из предыдущего пункта следует, что при ускоренном движении оси сопутствующей системы координат будут вращаться. Используя результаты предыдущего пункта, получите проекцию угловую скорости вращения сопутствующей системы отсчета $\omega_T$ (угловая скорость Томасовской прецессии) на ось $z$ (в рассматриваемом случае вращение все время происходит вдоль оси $z$). Выразите ответ через $v_x$, $a_y$, $\gamma$.

B4. 1 Изменение скорости связано с ускорением $dv_y = a_y dt$	0.10
B4. 2 Правильная связь скоростей в лабораторной и сопутствующей системах отсчета $v_y' = \gamma v_y$	0.30
B4. 3 $$ \omega_T = \frac{d \theta}{dt} $$	0.20
B4. 4 Правильный ответ для модуля угловой скорости $$ \omega_T = - \frac{a_y}{v_x} (\gamma - 1) $$	0.30
B4. 5 Правильный знак	0.10

B5  ^0.70 Пусть мюон движется в однородном магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$, скорость мюона перпендикулярна магнитному полю. Найдите проекцию угловой скорости Томасовской прецессии на ось $z$. Выразите ответ через $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

B5. 1 Использовано уравнение движения $$ \frac{d\vec{p}}{dt}= m_\mu \frac{d(\gamma \vec{v})}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B} $$	0.10
B5. 2 Выражение для ускорения $$ a_y = - \frac{q v_x B}{\gamma m_\mu} $$	0.20
B5. 3 Правильный ответ для модуля $$ \omega_T = \frac{q B}{\gamma m_\mu} (\gamma -1) $$	0.30
B5. 4 Правильный знак	0.10

С1  ^0.70 Запишите выражение для проекции на ось $z$ угловой скорости $\omega_s$ прецессии спина мюона относительно лабораторной системы отсчета. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

С1. 1 $$ \omega_s = \omega_z + \omega_T $$	0.20
С1. 2 Ответ $$ \omega_s = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu} + \frac{q B}{\gamma m_\mu} (\gamma -1) $$	0.50

С2  ^0.50 На практике удобнее рассматривать поворот спина относительно направления импульса мюона. Запишите выражение для угловой скорости $\omega_a$ вращения спина мюона относительно направления его импульса (то есть для производной по времени угла между импульсом и спином). Выразите ответ через $B$, $a_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$.

С2. 1 Использовано выражение для угловой скорости вращения импульса $$ \omega_z = - \frac{q B}{\gamma m_\mu} $$	0.10
С2. 2 $$\omega_a = \omega_s - \omega_c $$	0.10
С2. 3 $$ \omega_a = - a_\mu \frac{q B}{ m_\mu} $$	0.20
С2. 4 Ответ выражен через $a_\mu$	0.10

С3  ^0.80 Экспериментальное значение частоты прецессии магнитного момента относительно импульса мюона составляет $f_a = 229 081~\text{Гц}$. Получите формулу для аномального магнитного момента мюона $a_\mu$. Выразите ответ через $f_a$, $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. Найдите численное значение $a_\mu$.

С3. 1 Связь частоты и угловой скорости $f_a = \omega_a/2\pi$	0.20
С3. 2 Ответ (формула) $$ a_\mu =\frac{2\pi f_a m_\mu}{q B} $$	0.40
С3. 3 Ответ (численное значение) $$ a_\mu = 0.00117 $$	0.20