Данная задача посвящена способам высокоточных измерений частоты. Во время её решения вы познакомитесь с двумя методами измерений частот: с помощью модуляции сигнала (часть $\mathrm{C}$) и с помощью частотной гребенки (часть $\mathrm{D}$).

Зачем нужна высокая точность?

• С научной точки зрения высокая точность физических измерений важна, когда мы определяем значения фундаментальных постоянных. Не раз в истории физики небольшие расхождения между результатами экспериментов и теорией требовали пересмотра всей теоретической модели и приводили к крупным открытиям в фундаментальной физике.
• С технологической точки зрения высокая точность измерения частот нужна для нормального функционирования систем спутниковой связи, навигации, наземных телекоммуникационных систем и т.д. 

В рамках классической физики любое измерение — это сравнение с эталоном. В качестве эталона частоты мы будем использовать собственные частоты кольцевого оптического резонатора, потому что на сегодняшний день самые добротные резонаторы являются кольцевыми. А чем больше добротность, тем точнее значение эталонной собственной частоты.

В части $\mathrm{B}$ вы подробнее разберетесь с кольцевыми резонаторами на примере кольцевого волоконного оптического резонатора.

В части $\mathrm{A}$ вы выведете теорию распространения волн в оптическом волокне, из которого сделан резонатор, описанный в части $\mathrm{B}$.

В самом конце задачи есть справочные материалы: про уравнения Максвелла и про дифференциальные операторы. Если вы знаете все физические законы, которые входят в программу олимпиады, то справочные материалы вам не понадобятся для решения задачи.

Электромагнитное поле в каждой точке пространства описывается четырьмя векторами: $\vec{E}(\vec{r}, t)$, $\vec{H}(\vec{r}, t)$, $\vec{D}(\vec{r}, t)$, $\vec{B}(\vec{r}, t)$ — напряженностью электрического поля, напряженностью магнитного поля, электрической индукцией и магнитной индукцией. Эти векторы связаны с поляризацией $\vec{P}$ и намагниченностью $\vec{M}$ среды отношениями:
$$ \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}{,}
$$
$$\vec{B} = \mu_0 (\vec{H} + \vec{M}){,}
$$
где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная и $\mu_0$ — магнитная постоянная.

При решении задачи пользуйтесь приближениями:

• Все среды немагнитные и $\vec{M} = 0$.
• Свободных зарядов нет.
• Отклик среды мгновенный и локальный, то есть $\vec{P}(\vec{r}, t)$ зависит только $\vec{E}(\vec{r}, t)$.

Уравнения распространения электромагнитных волн.

Применив оператор $\operatorname{rot}$ к уравнениям Максвелла закону индукции Фарадея в дифференциальной форме и теореме о циркуляции напряженности магнитного поля в дифференциальной форме (см. Справочные материалы), мы получил основные уравнения распространения электромагнитных волн:

$$\Delta \vec{E} = \mu_0 \cfrac{\partial^2\vec{D}}{\partial t^2}{.}
$$
$$\Delta \vec{H} = \varepsilon_0 \cfrac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}{.}
$$

Часть А. Профиль поля в оптоволокне (2.5 балла)

В частях $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ будем считать, что поляризация зависит от напряженности электрического поля линейно: $\vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon (\omega) - 1) \vec{E}$, где $\varepsilon(\omega)$ — диэлектрическая проницаемость среды, которая обычно зависит от частоты электромагнитной волны в среде. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна 1.

Тогда уравнения распространения электромагнитных волн можно записать в таком виде:
$$\Delta \vec{E} = \mu_0 \varepsilon \varepsilon_0 \cfrac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}{.}
$$
$$\Delta \vec{H} = \mu_0 \varepsilon \varepsilon_0 \cfrac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}{.}
$$
Плоская монохроматическая электромагнитная волна циклической частотой $\omega$ распространяется по диэлектрическому волноводу вдоль оси $z$ (рис. 1), который представляет собой прямоугольный параллелепипед из материала с диэлектрической проницаемость $\varepsilon(\omega)$ со сторонами $a$, $L_1$ и $L_2$. $L_1, L_2 \to \infty$ и много больше любых характерных длин в этой задаче.

Введем декартову систему координат $Oxyz$. $O$ совпадает с серединой параллелепипеда. Ребра длины $L_1$ параллельны оси $z$, длины $a$ — оси $x$, длины $L_2$ — оси $y$. $(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})$ — правая тройка.

Рассмотрим волну, поляризованную параллельно оси $y$: $\vec{E} || \hat{y}$. Будем искать решение для поля $\vec{E}$ в волноводе в виде:
$$\vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \Re\Big(A(x, y)\exp(i\omega t - i\beta z) \Big) \hat{y}{,}
$$
где $E_0$ имеет размерность электрического поля, а $A(x, y)$ — безразмерная комплексная величина, которая содержит информацию об отношении амплитуд и разности фаз поля разных точках волновода. Символ $\Re$ обозначает взятие действительной части от выражения в скобках. Без ограничения общности $A(0, 0) = 1$

Еще учтем, что $L_2 \gg a$, поэтому будет считать, что $\partial A/\partial y \ll \partial{A}/\partial x$, следовательно $A$ зависит только от $x$.

Решение для $A(x)$ можно искать в виде:
$$A(x)=\begin{cases}
\cos(k_{in} x)\quad\text{при}\quad |x| < a/2\\
C_1 \exp(k_{out}x) + B \exp(-k_{out}x)\quad\text{при}\quad x > a/2\\
B \exp(k_{out}x) + C_2 \exp(-k_{out}x)\quad\text{при}\quad x < -a/2
\end{cases}
$$
где $k_{in} > 0, k_{out} > 0$.

A1  ^0.30 Чему равны коэффициенты $C_1$ и $C_2$?

A2  ^0.50 Выразите $k_{in}$ и $k_{out}$ через $\varepsilon, \omega, \beta$ и скорость света в вакууме $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$, используя волновое уравнение.

Чтобы найти $B$, нужно записать граничные условия для границы $x = a/2$ (для границы $x = -a/2$ получаются такие же уравнения, потому что $A(x)=A(-x)$ — четная функция).

A3  ^0.30 Докажите, что тангенциальные компоненты напряженности электрического поля равны по обе стороны от границы раздела (как в электростатике).

A4  ^0.30 Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты электрического поля. Выразите $B$ через $a, k_{in}, k_{out}$.

Теперь нам нужно получить уравнение для нахождения $\beta(\omega)$. Для этого мы можем записать другое граничное условие — для $\Vec{H}$.

A5  ^0.30 Докажите, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля равны по обе стороны от границы раздела (как в магнитостатике).

A6  ^0.30 Покажите, что
$$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.}
$$

A7  ^0.30 Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля $\vec{H}$. Ответ можно выразить через $k_{in},k_{out}, a$.

A8  ^0.20 Подставьте значения $k_{in}, k_{out}$, определённые в пункте $\mathrm{A2}$, в уравнение из $\mathrm{A7}$. Получите уравнение, из которого можно определить $\beta$ (это уравнение решается только численно). В уравнение могут входить $\beta, \omega, \varepsilon, c, a$.

Часть B. Пропускание волоконного резонатора (3.0 балла)

Излучение внешнего лазера попадает в четырёхполюсный делитель светового потока, представляющий из себя оптическую систему с двумя парами связанных каналов: ($P_1, P_2$) и ($Q_1, Q_2$).

Входящая в делитель монохроматическая волна с комплексной амплитудой $A_{in} (t)$ делится на две выходящие волны меньшей амплитуды, распространяющиеся в том же направлении. Первая из них распространяется по каналу той же пары, что и входящая волна, а ее комплексная амплитуда равна $A_{out}(t) = -r_s A_{in} (t)$. Вторая волна распространяется по каналу другой пары, ее амплитуда равна $B_{out} (t) = it_s A_{in}(t)$. Волны, падающие на $Q_1$ делятся аналогично падающим на $P_1$. Считайте, что $r_s$ и $t_s$ — действительные положительные числа и $t_s \ll 1$.

B1  ^0.20 Считая, что в делителе нет потерь энергии, найдите связь между $r_s$ и $t_s$.

С помощью делителя можно собрать волоконный резонатор. Для этого нужно соединить каналы $Q_1$ и $Q_2$ петлей из одномодового оптоволокна (уравнение для $\beta(\omega)$ имеет единственное решение для частот, рассматриваемых в этой части) длиной $L$. Время прохождения света частотой $\omega$ по петле равно $\tau (\omega)$. Также учтите, что из-за поглощения материала амплитуда волны в петле уменьшается в $1/\kappa$ раз за каждый круг в петле ($1 - \kappa \ll 1$). Во всех пунктах частей $\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ пренебрегайте обратным рассеянием.

Пусть на вход канала $P_1$ падает монохроматическая волна $A_{in}(t) = A_0e^{i\omega t}$ от внешнего лазера.

B2  ^0.30 Выразите амплитуду поля на входе в канал $Q_1$ делителя $B_{in}(t)$ через $\kappa$ и амплитуду поля на выходе $Q_2$ в момент $(t-\tau(\omega))$ — $B_{out}(t-\tau(\omega))$.

Пусть система пришла в установившийся режим, то есть модули комплексных амплитуд поля в любой точке постоянны, а разность фаз поля в двух точках не меняется со временем. Тогда для любой амплитуды $E_i$ (вместо $E_i$ можно подставить $A_{in}, A_{out}, B_{in}, B_{out}$) будут справедливы выражения:
$$E_i(t-t') = e^{-i\omega t'} E_i(t){.}
$$

B3  ^0.30 Используя условия стационарности, выразите $B_{in}(t)$ через $B_{out}(t), \kappa, \omega, \tau$.

B4  ^0.50 Выразите $B_{in}(t)$ через $A_0, r_s, t_s, \kappa, \omega, \tau$ и $t$, используя результат предыдущего пункта.

B5  ^0.50 Чему равна мощность $N_2$, выходящая из канала $P_2$? Выразите ответ через $\omega \tau (\omega), \kappa, r_s$ и мощность $N_1$ в канале $P_1$.

B6  ^0.60 Постройте качественный график $N_2/N_1(\omega \tau)$ для ВР со следующими параметрами:

• $\kappa=  1- 5 \cdot 10^{-3}$;
• $t_s = 0{.}1$.

При каких значениях $\omega \tau$ отношение $N_2/N_1$ минимально?

B7  ^0.60 Найдите резкость $Q$ пика поглощения с номером $n=100$ (он будет $n$ по счету, если начинать с самого близкого к $\omega=0$ пика).

Примечание: Резкость — это отношение частоты пика к ширине области частот, для которых провал пропускания не меньше половины от максимального провала конкретного пика.

Сегодня можно создать волоконный резонатор на базе светоделителя с резкостью пиков порядка $5 \cdot 10^7$ вблизи частоты, соответствующие длине волны $1550$ нм. А если использовать кольцевой микрорезонатор, сделанный из плавленого кварца, то можно получить резкость $10^9$. Резонаторы с такими маленькими потерями открывают нам широкие возможности для точного измерения частот.

То есть с помощью кварцевого микрорезонтатора мы можем получить спектральную линию со средней длиной волны $1550$ нм шириной всего $0.000002$ нм!

Часть C. Калибровка интерферометра Маха-Цендера (2.0 балла)

Рассмотрим установку для калибровки интерферометра, изображенную на рисунке  Теперь частота лазера плавно меняется со временем (производная $\omega \tau$ много меньше обратного времени установления стационарного режима в резонаторе), а его мощность постоянна.

\[ \omega (t) = \omega_0 + \alpha t \]

Поток излучения от лазера делится на два плеча с помощью другого светоделителя, похожего на делитель из части B. В первом плече оптической схемы находится калибруемый интерферометр Маха-Цендера и фотодетектор, измеряющий выходящую из него мощность, а во второй — резонатор и аналогичный фотодетектор. Сигналы от фотодетекторов подаются на осциллограф. Сигнал фотодетектора пропорционален мощности излучения. Осциллограф показывает зависимости напряжений фотодетекторов от времени (не режим XY!).

Параметры лазера:

• $\omega_0 = 1.26 \cdot 10^{15}$ с$^{-1}$
• $\alpha = 5 \cdot 10^{9}$ с$^{-2}$

Параметры резонатора:

• Резкость пиков поглощения вблизи $\omega_0$ равна $5 \cdot 10^7$
• Считайте, что $\tau(\omega)$ не зависит от частоты и равна $ = \tau_0 = 3 \cdot 10^{-11}$ с
• $\kappa = 1 - 1 \cdot 10^{-3}$
• $t_s = 0.1$

Параметры калибруемого интерферометра:

• Его пропускная способности по мощности примерно равна 
     \[ F_{MZI}(\omega) = \cos^2(\omega/ 2\omega_{MZI}) \]
• $\omega_{MZI} \approx 1250 MHz$. Точное значение будет определяться на этой установке

C1  ^0.50 Нарисуйте качественный график показаний осциллографа, если точно известно, что частота излучения перестраиваемого лазера достигает ровно одной из частот, определенных в B6 (это частоты, где пропускание ВР минимально).

Теперь во второе плечо подключают амплитудный электрооптический модулятор. Его пропускная способность по амплитуде не зависит от длины волны излучения и равна:

\[ f_{EOM}(t) = \beta + (1-\beta)\cos(\Omega t) \]

\[ \Omega \ll \omega_0\]

\[ \beta < 1 \]

C2  ^1.00 Нарисуйте, что будет показывать осциллограф, когда $\Omega \approx 220 MHz$. Обратите внимание, что $\alpha \ll \Omega \omega_0$.

C3  ^0.50 Оцените, с какой относительной точностью можно измерить период $\omega_{MZI}$ на этой установке, если максимальная частота сигнала высокочастотного генератора равна $\Omega_{max} = 1250 MHz$?

Часть D. Кубическая нелинейность и солитоны (2.5 балла)

Для прецезионных измерений и создания высокочастотной связи нужно получать очень короткие световые импульсы, которые не меняют свой профиль со временем (такие импульсы называются солитонами). В рамках линейной оптики это невозможно, потому что диэлектрическая проницаемость и постоянная распространения зависят от частоты, и импульсы "расплываются" из-за дисперсии.

К счастью, приближения линейной оптики работают далеко не для всех материалов, и возникающие в них нелинейности способны компенсировать нежелательные эффекты, связанные с дисперсией.

В части $D$ мы будем считать, что проекция $P_i(\vec{r}, t)$ вектора поляризации на произвольную ось $i$ зависит от проекции напряженности электрического поля $E_i(\vec{r}, t)$ в этой же точке в этот момент времени следующим образом:

\[ P_i(\vec{r}, t) = \varepsilon_0 ((\varepsilon(\omega)-1)E_i(\vec{r}, t) + \chi E_i^3(\vec{r}, t)) \]

Импульс представляет из себя сумму электромагнитных волн с частотами, очень близкими к несущей частоте ($\omega \approx \omega_0$), и постоянными распространения, очень близкими к постоянной распространения несущей волны $\beta \approx \beta_0 = \beta(\omega_0)$:

\[ \vec{E}(\vec{r}, t) = \Re \Big( E_0F(z, t)A(x, y)\exp(i\omega_0 t - i \beta_0 z) \Big) \widehat y, \]

Здесь $\beta(\omega)$ — постоянная распространения, найденная в части $A$, $A(x, y)$ — тоже из части $A$, $F(z, t)$ — комплексная функция, которая содержит информацию про профиль импульса.

Функцию $\beta(\omega)$ можно приблизить квадратичной функцией:

\[
\beta = \beta_0 + \beta_1 (\omega - \omega_0) + \beta_2 (\omega - \omega_0)^2/2
\]

Мы можем подставить этот вид решения в волновое уравнение, которое было получено во введении, и путем математических преобразований, выходящих за рамки школьной программы, получить уравнение для $F(z, t)$;

\[
\frac{\partial F}{\partial z} + \beta_1 \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{i\beta_2}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} - i \gamma |F|^2 F = 0
\]

Импульс будет распространяться с групповой скоростью, поэтому разумно перейти в систему отсчета, которая тоже будет двигаться с групповой скоростью. В ней последнее уравнение перепишется в виде:

\[
\frac{\partial F}{\partial z} + \frac{i\beta_2}{2\beta_1^2}\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} = i \gamma |F|^2F,
\]

где $s = t/\beta_1 - z$ — это пространственная координата в системе отсчета солитона, а $\gamma$ — коэффициент кубической нелинейности, который пропорционален $\chi$ (и имеет тот же знак). Полученное уравнение называется нелинейным уравнением Шрёдингера (далее НУШ). В задании части D вы будете анализировать НУШ. Все ответы нужно будет выражать через его коэффициенты.

D1  ^0.10 Выразите групповую скорость $v_g$ через $\beta_1$.

D2  ^0.60 Найдем форму солитона. Решение НУШ можно искать в виде:
\[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \]
Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$.

Пусть одна из собственных частот ВР равна $\omega_0$. Длина ВР такова, что в диапазоне от 0 до $\omega_0$ находится очень много других собственных частот. Тогда для других собственных частот верно равенство: $\omega_\mu \approx \omega_0 + D_1\mu + D_2\mu^2/2$, где $\mu$ — целое число, а $\omega_0 \gg D_1 \gg D_2$.

D3  ^0.50 Выразите $D_1$ и $D_2$ через $\beta_1, \beta_2$ и длину петли ВР $L$.

Подсказка: критерий собственной частоты ВР: $B_{in}(t)$ и $ B_{in}(t-\tau(\omega_\mu))$ имеют одну фазу.

D4  ^0.30 Пусть резонатор сделан из материала с $\chi > 0$. При каких $D_2$ в нем могут существовать солитоны?

D5  ^0.60 Пусть в ВР, описанном в пункте D3 циркулирует солитон с несущей частотой $\omega_0$. Внешний лазер не работает. Постройте спектр излучения резонатора (зависимость удельной мощности от частоты) качественно в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$)

D6  ^0.20 Оцените абсолютную погрешность измерения угловой частоты $\omega$ с помощью спектра из пункта D5.

D7  ^0.20 Выразите время $\tau_s$, за которое солитон проходит один круг в резонаторе, через $D_1$.

Справочные материалы

Введем в пространстве декартову систему координат $Oxyz$. Единичные векторы вдоль соответствующих осей равны $\widehat x, \widehat y, \widehat z$ и образуют правую тройку.

• Оператор $\operatorname{grad}$ преобразует скаляр $\varphi$ в вектор следующим образом: \[\operatorname{grad} \varphi = \widehat x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \widehat y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \widehat z \frac{\partial \varphi}{\partial z}\]
• Оператор $\operatorname{div}$ преобразует вектор $\vec{a} = a_x \widehat x + a_y \widehat y + a_z \widehat z$ в скаляр следующим образом: \[ \operatorname{div} \vec{a} =  \frac{\partial a_x}{\partial x} +  \frac{\partial a_y}{\partial y} +  \frac{\partial a_z}{\partial z} \]
• Оператор $\operatorname{rot}$ преобразует вектор $\vec{a} = a_x \widehat x + a_y \widehat y + a_z \widehat z$ в вектор следующим образом: \[ \operatorname{rot} \vec{a} = \widehat x \Big(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \Big) +  \widehat y \Big(\frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \Big) +  \widehat z \Big(\frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \Big) \] 
• Оператор Лапласа $\Delta$ преобразует скаляр в скаляр или вектор в вектор: \[ \Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}\]  \[ \Delta \vec a = \frac{\partial^2 \vec a}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec a}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec a}{\partial z^2}\]
• Если два раза применить $\operatorname{rot}$ к вектору $\vec{a}$, то получится вектор: \[ \operatorname{rot} \operatorname{rot} \vec{a} = \operatorname{grad}\operatorname{div} \vec{a} - \Delta \vec{a}. \]

Уравнения Максвелла

Каждое уравнение записано сначала в интегральной форме, а потом в дифференциальной:
 

• Теорема Гаусса для индукции магнитного поля (поток индукции магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен 0):  \[ \oint_S (\vec{B} \cdot d\vec{S}) = 0 \]   \[ \operatorname{div} \vec{B} = 0 \] 
• Теорема Гаусса для электрической индукции (поток электрической индукции через замкнутую поверхность равен свободному заряду внутри ограниченного ею объема):  \[ \oint_S (\vec{D} \cdot d\vec{S}) = q_f = \oint_V \rho_f dV  \] \[ \operatorname{div} \vec{D} = \rho_f \] здесь $\rho_f$ — объемная плотность свободных зарядов.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея (скорость изменения потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность, взятая с обратным знаком, равна циркуляции электрического поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности):\[ \oint_l (\vec{E} \cdot d \vec{l}) = - \frac{\partial}{\partial t} \oint_S (\vec{B} \cdot d\vec{S}) \] \[\operatorname{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} \]
• Теорема о циркуляции для напряженности магнитного поля (сумма скорости изменения потока электрической индукции через незамкнутую поверхность и полного электрического тока свободных зарядов через нее равна циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности): \[ \oint_l (\vec{H} \cdot d\vec{l}) = I_f + \frac{\partial}{\partial t} \oint_S (\vec{D} \cdot d\vec{S}) \] \[ \operatorname{rot} \vec{H} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec{j_f} \]