Они равны 0, потому что поле не может стремиться к бесконечности на большом удалении от волокна.

Подставим вид решения в волновое уравнение и получим:
\[ \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} + (\omega^2\varepsilon/c^2 - \beta^2)A = 0 \]

Учитывая, что $ \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} \ll \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} $, получаем:

Можно записать закон электромагнитной индукции Фарадея для прямоугольного контура с вершинами в точках $(a/2 - \delta a, y, z), (a/2 - \delta a, y, z + \Delta z), (a/2 + \delta a, y, z), (a/2 + \delta a, y, z)$. При $\delta a \to 0$ производная потока индукции магнитного поля стремится к 0, а величина циркуляции напряженности электрического поля остается постоянной. Отсюда можно сделать вывод, что она тоже равна 0. При $\delta a \to 0$ циркуляцию можно выразить как $\Gamma = (E_{\tau 1} - E_{\tau 2}) \Delta z = 0$, откуда $E_{\tau 1} = E_{\tau 2}$.

Доказательство аналогично A3, только вместо закона электромагнитной индукции используется теорема о циркуляции для напряженности магнитного поля.

Используя закон Фарадея в дифференциальной форме:
\[ -\mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial x} \]
Производную $H_z$ по времени можно выразить как:
\[ \frac{\partial H_z}{\partial t} = i\omega H_z \]

Чтобы найти $H_z$, продифференцируем $A$ по $x$:

\[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{in} \sin (k_{in}x), |x| < a/2 \]
\[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{out} \exp(k_{out}(-a/2 + x)) \cos (k_{in} a/2), |x| > a/2 \]

Приравнивая $H_z$ по обе стороны границы раздела:

Введем обозначение:
\[ \varphi = - \omega \tau (\omega) \]

Тогда:

\[ B_{out}(t) = it_s A_{in}(t) - r_s B_{in}(t) \]
\[ B_{in}(t) = \kappa e^{i\varphi} B_{out}(t)\]

\[ B_{in}(t) = \kappa e^{i\varphi} (it_s A_{in}(t) - r_s B_{in}(t))\]
\[ B_{in}(t) = \frac{it_s \kappa e^{i\varphi} A_{in}(t)}{1 + r_s \kappa e^{i\varphi}} \]

\[ A_{out}(t) = -r_s A_{in}(t) + it_s B_{in}(t) = -A_{in}(t) \Big(r_s + \frac{t_s^2 \kappa e^{i\varphi}}{1 + r_s\kappa e^{i\varphi}} \Big) \]

Приведем правое выражение к общему знаменателю и поделим квадрат модуля числителя на квадрат модуля знаменателя:

• $\kappa=  1- 5 \cdot 10^{-3}$;
• $t_s = 0{.}1$.

При каких значениях $\omega \tau$ отношение $N_2/N_1$ минимально?

Ответ:

Примечание: Резкость — это отношение частоты пика к ширине области частот, для которых провал пропускания не меньше половины от максимального провала конкретного пика.

Найдем глубину пика поглощения, разложив выражение для отношения мощностей в ряд Тейлора:

\[ \eta(\omega_{res}) \approx \frac{(1-\kappa - t^2/2)^2}{(1-\kappa + t^2/2)^2} \approx 0 \]
\[ \Delta \eta_{max} = 1 - \eta(\omega_{res}) \approx 1 \]

Или подставив значение $\varphi$ из прошлого пункта, не раскладывая в ряд:

\[ \eta(\omega_{res}) \approx 1.6 \cdot 10^{-6} \approx 0 \]
\[ \Delta \eta_{max} \approx 1 \]

Резкость — это отношение $\omega$ к ширине области, в которой $\Delta \eta > \Delta \eta_{max}/2$. Оценим ширину этой области.

\[ \varphi = \delta + \pi(1+2n), \delta \ll \pi \]

Разложим в ряд Маклорена по $\delta$:

\[ \eta \approx \frac{\delta^2 + (1-\kappa - t^2/2 + \delta^2/2)^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2 + \delta^2/2)^2} \approx \frac{\delta^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2)^2} = \frac{1}{2} \]

Отсюда получаем:

\[ \delta \approx 1 - \kappa + t^2/2 \approx 0.01 \]

Амплитуда поля на выходе из ЭОМ будет равна

\[ E_{EOM}(t) = f(t)\cos(\omega (t) t) = \beta \cos (\omega t) + \frac{1-\beta}{2} \Big( \cos (\Omega + \omega)t + \cos (-\Omega + \omega) t \Big) \]

где $\omega = \omega(t) = \omega_0 + \alpha t$. В этом случае на ВР падают три волны, частоты которых сдвинуты относительно друг друга ровно на $\Omega$. Поэтому теперь количество пиков поглощения утроится: их можно будет наблюдать на частотах $\omega_{res}, \omega_{res} + \Omega, \omega_{res} - \Omega$, где $\omega_{res}$ — частота, соответствующая минимуму пропускания (определена в В6).

Ответ:

Мы можем измерить один период, меняя $\Omega$ так, чтобы пики поглощения были на расстоянии $\omega_{max}$ друг от друга по частоте. Тогда абсолютная погрешность будет порядка $\omega_0/Q = 24 MHz$, а относительная $\omega_0/(Q\Omega_{max}) = 0.02$

Вычислим производные и подставим в уравнение (сократив на $iF_0 \exp(i\sigma z)$):
\[ \frac{\sigma}{\cosh \theta s} + \frac{\beta_2 \theta^2}{2\beta_1^2} \Big( - \frac{2}{\cosh^3 \theta s} + \frac{1}{\cosh \theta s} \Big) = \frac{\gamma F_0^2}{\cosh^3 \theta s} \]

Откуда получаем:

Подсказка: критерий собственной частоты ВР: $B_{in}(t)$ и $ B_{in}(t-\tau(\omega_\mu))$ имеют одну фазу.

Используем результат пункта В3, получим:

\[ \beta (\omega(\mu)) L + \pi = 2\pi (\mu + \mu_0) \]

Теперь подставим выражение для $\beta(\omega)$, а в него $\omega(\mu)$. Получим:

\[ \Big( \beta_0 + \beta_1(D_1 \mu + \frac{D_2 \mu^2}{2}) + \frac{\beta_2 D_1^2 \mu^2}{2} \Big)L \approx 2\pi (\mu + \mu_0 + 1/2) \]

Приравняем коэффициенты перед $\mu$ и $\mu^2$ в правой и левой частях:

$F_0^2 > 0$, поэтому $\beta_2 < 0$ и $D_2 > 0$

Спектр будет представлять набор большого числа узких линий, соответствующих собственным частотам резонатора. Качественный график спектра на рисунке.

За этот пункт ставится полный балл если участник нарисовал спектр, состоящий только из узких линий, соответствующих собственным частотам резонатора, с огибающей, которая симметрична относительно $\omega_0$ и убывает при удалении от $\omega_0$.

Ответ:

Мы получаем линейку с шагом $D_1$, абсолютная погрешность порядка половины цены деления — $D_1/2$.