Pho.rs: Измерение частот с помощью кольцевых резонаторов

A1 ^0.30 Чему равны коэффициенты $C_1$ и $C_2$?

A1. 1 \[ C_1 = 0 \]	0.15
A1. 2 \[ C_2 = 0 \]	0.15

A2 ^0.50 Выразите $k_{in}$ и $k_{out}$ через $\varepsilon, \omega, \beta$ и скорость света в вакууме $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$, используя волновое уравнение.

A2. 1 Получено уравнение: \[ \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} + (\omega^2\varepsilon/c^2 - \beta^2)=0 \]	0.30
A2. 2 \[ k_{in} = \sqrt{\frac{\omega^2 \varepsilon(\omega)}{c^2} - \beta^2} \]	0.10
A2. 3 \[ k_{out} = \sqrt{\beta^2 - \frac{\omega^2}{c^2}} \]	0.10

A3 ^0.30 Докажите, что тангенциальные компоненты напряженности электрического поля равны по обе стороны от границы раздела (как в электростатике).

A3. 1 Доказано с использованием закона индукции Фарадея

0.30

A4 ^0.30 Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты электрического поля. Выразите $B$ через $a, k_{in}, k_{out}$.

A4. 1 \[B = \exp(k_{out}a/2) \cos (k_{in} a/2)\]

0.30

A5 ^0.30 Докажите, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля равны по обе стороны от границы раздела (как в магнитостатике).

A5. 1 Доказано с использование теоремы о циркуляции для $\vec{H}$

0.30

A6 ^0.30 Покажите, что
$$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.}
$$

A6. 1 \[ \frac{\partial H_z}{\partial t} = i\omega H_z \]	0.10
A6. 2 Из закона электромагнитной индукции Фарадея получено: \[ -\mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial x} \]	0.20

A7 ^0.30 Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля $\vec{H}$. Ответ можно выразить через $k_{in},k_{out}, a$.

A7. 1 \[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{in} \sin (k_{in}x), \|x\| < a/2 \]	0.10
A7. 2 \[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{out} \exp(k_{out}(-a/2 + x)) \cos (k_{in} a/2), x > a/2 \] или \[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{out} B \exp(-k_{out}x), x > a/2 \]	0.10
A7. 3 \[ \tan (k_{in}a/2) = \frac{k_{out}}{k_{in}} \]	0.10

A8 ^0.20 Подставьте значения $k_{in}, k_{out}$, определённые в пункте $\mathrm{A2}$, в уравнение из $\mathrm{A7}$. Получите уравнение, из которого можно определить $\beta$ (это уравнение решается только численно). В уравнение могут входить $\beta, \omega, \varepsilon, c, a$.

A8. 1 \[ \tan \Bigg( \frac{a}{2} \sqrt{\frac{\omega^2\varepsilon(\omega)}{c^2} - \beta^2} \Bigg) = \sqrt{\frac{\beta^2 c^2 - \omega^2}{\omega^2\varepsilon(\omega) - \beta^2c^2}} \]

0.20

B1 ^0.20 Считая, что в делителе нет потерь энергии, найдите связь между $r_s$ и $t_s$.

B1. 1 \[ r_s^2 + t_s^2 = 1 \]

0.20

B2 ^0.30 Выразите амплитуду поля на входе в канал $Q_1$ делителя $B_{in}(t)$ через $\kappa$ и амплитуду поля на выходе $Q_2$ в момент $(t-\tau(\omega))$ — $B_{out}(t-\tau(\omega))$.

B2. 1 \[ B_{in} (t) = \kappa B_{out}(t-\tau(\omega)) \]

0.30

B3 ^0.30 Используя условия стационарности, выразите $B_{in}(t)$ через $B_{out}(t), \kappa, \omega, \tau$.

B3. 2 \[ B_{in}(t) = \kappa e^{-i \omega t} B_{out}(t)\]

0.30

B4 ^0.50 Выразите $B_{in}(t)$ через $A_0, r_s, t_s, \kappa, \omega, \tau$ и $t$, используя результат предыдущего пункта.

B4. 1 \[ B_{in}(t) = \kappa e^{-i \omega \tau} (it_s A_{in}(t) - r_s B_{in}(t))\]	0.20
B4. 2 \[ B_{in}(t) = \frac{it_s \kappa e^{-i \omega \tau} A_0 e^{i \omega t}}{1 + r_s \kappa e^{-i \omega \tau}} \] или \[ B_{in}(t) = \frac{it_s \kappa e^{-i \omega \tau} A_{in}(t)}{1 + r_s \kappa e^{-i \omega \tau}} \]	0.30

B5 ^0.50 Чему равна мощность $N_2$, выходящая из канала $P_2$? Выразите ответ через $\omega \tau (\omega), \kappa, r_s$ и мощность $N_1$ в канале $P_1$.

B5. 1 \[ A_{out}(t) = -r_s A_{in}(t) + it_s B_{in}(t) \]	0.10
B5. 2 \[ A_{out}(t) = -A_{in}(t) \Bigg(r_s + \frac{t_s^2 \kappa e^{-i \omega \tau}}{1 + r_s\kappa e^{-i \omega \tau}} \Bigg) \]	0.20
B5. 3 \[ \eta = \frac{N_2}{N_1} = \frac{\kappa^2 \sin^2 (\omega \tau) + (r_s+\kappa \cos (\omega \tau))^2}{\kappa^2r_s^2\sin^2 (\omega \tau)+(1+r_s \kappa \cos (\omega \tau))^2} \]	0.20

B6 ^0.60 Постройте качественный график $N_2/N_1(\omega \tau)$ для ВР со следующими параметрами:

$\kappa= 1- 5 \cdot 10^{-3}$;
$t_s = 0{.}1$.

При каких значениях $\omega \tau$ отношение $N_2/N_1$ минимально?

B6. 1 Узкие пики поглощения (глубина произвольная), а для остальных $\omega \tau$: $\eta \approx 1$	0.20
B6. 2 Расстояние между пиками поглощения $2\pi$	0.20
B6. 3 \[ \omega_{res}\tau = \pi(1+2n) \]	0.20

B7 ^0.60 Найдите резкость $Q$ пика поглощения с номером $n=100$ (он будет $n$ по счету, если начинать с самого близкого к $\omega=0$ пика).

Примечание: Резкость — это отношение частоты пика к ширине области частот, для которых провал пропускания не меньше половины от максимального провала конкретного пика.

B7. 1 Глубина пика $\Delta \eta_{max} \approx 1$	0.10
B7. 3 Численное значение ширины пика поглощения на графике: $2\delta = 0.02$	0.30
B7. 4 $Q \in [3; 3.5] \cdot 10^4$	0.20

C1 ^0.50 Нарисуйте качественный график показаний осциллографа, если точно известно, что частота излучения перестраиваемого лазера достигает ровно одной из частот, определенных в B6 (это частоты, где пропускание ВР минимально).

C1. 1 Нарисована синусоида от интерферометра	0.20
C1. 2 Указано, что период синусоиды равен $2\pi\omega_{MZI}/\alpha$	0.10
C1. 3 Нарисован хотя бы один пик поглощения	0.20

C2 ^1.00 Нарисуйте, что будет показывать осциллограф, когда $\Omega \approx 220 MHz$. Обратите внимание, что $\alpha \ll \Omega \omega_0$.

C2. 1 Амплитуда поля на выходе из ЭОМ равна: \[ E_{EOM} = f(t)cos(\omega (t) t) \]	0.10
C2. 2 Показано, что спектр поля на выходе из ЭОМ содержит частоты $\omega - \Omega, \omega, \omega + \Omega$	0.40
C2. 3 Нарисована синусоида и указано, что ее период равен $2\pi \omega_{MZI}/\alpha$	0.10
C2. 4 Нарисован хотя бы один основной пик поглощения	0.10
C2. 5 Около каждого основного пика поглощения есть два боковых пика одинаковой глубины на одинаковом расстоянии от него	0.20
C2. 6 Подписано расстояние между основным и боковым пиками поглощения: $\Omega/\alpha$	0.10

C3 ^0.50 Оцените, с какой относительной точностью можно измерить период $\omega_{MZI}$ на этой установке, если максимальная частота сигнала высокочастотного генератора равна $\Omega_{max} = 1250 MHz$?

C3. 1 Абсолютная погрешность равна $\omega_0 / Q = 25 MHz$ (либо число, либо формула)	0.20
C3. 2 Относительная погрешность равна $\omega_0/ (Q \Omega_{max})$ (ставится автоматически, если есть численное значение)	0.20
C3. 3 Численное значение относительной погрешности: 2%	0.10

D1 ^0.10 Выразите групповую скорость $v_g$ через $\beta_1$.

D1. 1 \[v_g = 1/\beta_1 \]

0.10

D2 ^0.60 Найдем форму солитона. Решение НУШ можно искать в виде:
\[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \]
Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$.

D2. 1 \[ F_0^2 = - \frac{\beta_2 \theta^2}{\gamma \beta_1^2} \]	0.30
D2. 2 \[ \sigma = - \frac{\beta_2 \theta^2}{2 \beta_1^2} \]	0.30

D3 ^0.50 Выразите $D_1$ и $D_2$ через $\beta_1, \beta_2$ и длину петли ВР $L$.

Подсказка: критерий собственной частоты ВР: $B_{in}(t)$ и $ B_{in}(t-\tau(\omega_\mu))$ имеют одну фазу.

D3. 1 \[ \beta L = 2\pi \mu + const. \]	0.10
D3. 2 \[ D_1 = \frac{2\pi}{\beta_1 L} \]	0.20
D3. 3 \[ D_2 = - \frac{\beta_2 D_1^2}{\beta_1} \]	0.10
D3. 4 \[ D_2 = - \frac{4\pi^2 \beta_2}{\beta_1^3 L^2} \]	0.10

D4 ^0.30 Пусть резонатор сделан из материала с $\chi > 0$. При каких $D_2$ в нем могут существовать солитоны?

D4. 1 Обосновано, что $D_2 > 0$

0.30

D5 ^0.60 Пусть в ВР, описанном в пункте D3 циркулирует солитон с несущей частотой $\omega_0$. Внешний лазер не работает. Постройте спектр излучения резонатора (зависимость удельной мощности от частоты) качественно в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$)

D5. 1

В спектре присутствуют только узкие полосы, соответствующие собственным частотам резонатора

полный балл, если частоты полос равны \[ \omega_\mu = \omega_0 + D_1 \mu \]
полный балл, если частоты полос равны \[ \omega_\mu = \omega_0 + D_1 \mu + D_2 \mu^2/2\]
0 баллов, если на графике построены узкие полосы, но в работе нет информации об их частотах

0.40

D5. 2 Огибающая симметрична относительно $\omega_0$

0.10

D5. 3 Огибающая монотонно убывает при удалении от $\omega_0$

0.10

D6 ^0.20 Оцените абсолютную погрешность измерения угловой частоты $\omega$ с помощью спектра из пункта D5.

D6. 1 $\Delta \omega = C D_1$ , где $C \in [0.5; 2]$

0.20

D7 ^0.20 Выразите время $\tau_s$, за которое солитон проходит один круг в резонаторе, через $D_1$.

D7. 1 \[ \tau_s = \frac{2\pi}{D_1}\]

0.20

Измерение частот с помощью кольцевых резонаторов

Разбалловка