Обозначим за $r$ расстояние от центра трубки и рассмотрим воду, находящуюся внутри этого цилиндра. Запишем условие стационарности, т.е. в нашем случае движения без ускорения:
\[ \Delta p \pi r^2 + \eta 2 \pi r L_0 \dfrac{\text{d}v}{\text{d}r} = 0 \]\[ \text{d}{v} = - \frac{\Delta p }{2\eta L_0} r \text{d}{r} \]\[ v(r) = -\frac{\Delta p}{4 \eta L_0} r^2 + C \]Краевые условия на функцию $v(r)$ такие: $v(R_0) = 0$, значит
\[ v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta L_0} (R_0^2 - r^2). \]
Обозначим за $h$ уровень воды в нижнем шприце, в верхнем шприце тогда уровень воды равен $h_0 - h$, а скорость увеличения уровня воды в нижнем шприце обозначим за $u = \dot{h}$. Запишем закон сохранения энергии на промежутке времени длительностью $\text{d} t$.
\begin{equation*}
\begin{split}
&\frac{\rho S_0 h_0 u^2}{2} +
\rho g S_0 (h_0 - h) \cdot \left( H + \frac{h_0-h}{2} \right) +
\rho g S_0 h \cdot \frac{h}{2} =\\&=
\frac{\rho S_0 h_0 (u + \text{d} u)^2}{2} +
\rho g S_0 (h_0 - h - \text{d} h) \cdot \left( H + \frac{h_0 - h- \text{d} h}{2} \right) +\\&+
\rho g S_0 (h + \text{d} h) \cdot \frac{h + \text{d} h}{2} +
W_\text{дис} \text{d} t,
\end{split}
\end{equation*}
где $S_0$ — площадь внутреннего сечения шприцов, $W_\text{дис}$ — мощность диссипаций, связанных с вязкостью воды.
\[ \rho g S_0 h_0 u \text{d}u
- \rho g S_0 \text{d} h \left(H + \frac{h_0-h}{2} \right)
- \rho g S_0 (h_0 - h) \frac{\text{d}h}{2} + \rho g S_0 h \text{d}h + W_\text{дис} \text{d}t = 0 \]
\begin{equation}
\rho S_0 h_0 u \text{d}u
+ \rho g S_0 \text{d}h \left(2h -H - h_0 \right)
- W_\text{дис} \text{d} t = 0
\tag{1}
\end{equation}
Найдем $W_\text{дис}$. Согласно формуле Пуазейля, разность давлений $\Delta p$ приводит к стационарному объемному расходу $Q$, соотвественно мощность диссипативных сил равна:
\[ W_\text{дис} = -\int_0^{R_0} \Delta p v(r) 2\pi r \, \text{d}r = -Q \Delta p = -Q^2 \frac{8 \eta L_0}{R_0^4} = -u^2 \frac{8 \eta L_0 S_0^2}{R_0^4} \]Подставим этот результат в (1) и поделим все уравнение на $u \text{d}t$:
\[ \rho S_0 h_0 \dfrac{\text{d}u}{\text{d}t} + 2\rho g S_0 \left( h - \frac{H + h_0}{2} \right) +u \frac{8 \eta L_0 S_0^2}{R_0^4} = 0. \]
Введем замену $\xi = h - \dfrac{H+h_0}{2}$, $\dot{\xi} = \dot{h}$, $\ddot{\xi} = \ddot{h}$, подставим ее в наш дифур. Также поделим все уравнение на $\rho S_0 h_0$:
\[ \ddot{\xi} + \frac{8 \eta L_0 S_0}{\rho h_0 R_0^4} \dot{\xi} + \frac{2g}{h_0} \xi = 0. \]Для упрощения дальнейшей работы с формулами введем обозначения $\varkappa^2 = \dfrac{g}{2h_0}$, $2 \zeta \varkappa = \dfrac{8 \eta L_0 S_0}{\rho h_0 R_0^4}$, в них диф.уравнение принимает вид
\[ \ddot{\xi} - 2 \zeta \varkappa \dot{\xi} + \varkappa^2 \xi = 0.\]Характеристическое уравнение такое:
\[ \lambda^2 + 2 \zeta \varkappa \lambda + \varkappa^2 = 0. \]Решаем его и получаем общее решение дифура:
\[ \mathcal{D} = 4 \zeta \varkappa ^2 - 4 \varkappa^2, \quad \lambda_{1,2} = \varkappa \left( -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \right)\]\[ \xi = C_1 e^{ (-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) \varkappa t} + C_2 e^{(-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \varkappa t} \]
Определим константы исходя из начальных условий $\xi(0) = -\dfrac{H + h_0}{2}$, $\dot{\xi}(0) = 0$.
\[
\begin{cases}
C_1 + C_2 = -\frac{H+ h_0}{2} \\
C_1 (\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) + C_2 (\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) = 0
\end{cases}
\]
\[ C_1 = - C_2 \frac{-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}}{-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} \]\[ C_2 \left(1 - \frac{-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}}{-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} \right) = -\frac{H+h_0}{2} \]\[
\begin{cases}
C_1 = \frac{H+h_0}{2} \frac{-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}}\\
C_2 = -\frac{H+h_0}{2} \frac{-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}}
\end{cases}
\]
Проведем численную оценку $\zeta$:
\[ \zeta = \frac{4 \eta L_0 S_0}{\rho h_0 R_0^4} \cdot \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \approx 10^2, \]будем считать $\zeta \gg 1$, тогда $\sqrt{\zeta^2-1} \simeq \zeta \left(1 - \dfrac{1}{2 \zeta^2} \right)$. Подставим это в равнее полученные формулы для констант:
\[
\begin{cases}
C_1 = -\frac{H+h_0}{2}\\
C_2 = \frac{H+h_0}{8\zeta^2}
\end{cases}
\]
Итоговое решение:
\[ \xi = h - \frac{H+h_0}{2} = -\frac{H+h_0}{2} e^{-\frac{\varkappa}{2\zeta} t} + \frac{H+h_0}{8 \zeta^2} e^{ - 2\varkappa \zeta t}, \]или
\[ h(t) = \frac{H+h_0}{2} \left( 1 - e^{-\frac{\varkappa}{2\zeta}t} \right) + \frac{H + h_0}{8 \zeta^2} e^{-2 \varkappa \zeta t}. \]